Задачи отборочного этапа 2014 года

IV Республиканская математическая олимпиада им. П.Л.Чебышёва
Отборочный этап, 5 класс
1. Расставьте в клетках квадратной таблицы 4×4 десять звёздочек так, чтобы
звёздочек в каждом столбце было нечётным, а в каждой строке – чётным.
количество
2. Произведение четырёх последовательных натуральных чисел равно 7920. Найдите эти
числа.
3. На математическом конкурсе участники решали несколько простых и несколько
сложных задач. За решение сложной задачи давалось 3 очка, за решение простой – 2 очка.
Кроме того, за каждую нерешённую простую задачу с участника снимали 1 очко. Вася решил
10 задач и набрал 14 очков. Сколько было простых задач?
4. После того как двузначное число увеличили на 4, сумма его цифр стала равна половине
суммы цифр исходного числа. Сколько существует таких двузначных чисел?
5. Четыре друга – Андрей, Борис, Виктор и Григорий на соревнованиях по бегу заняли
первые четыре места. На вопрос, какое место кто из них занял, трое ответили так:
1. Виктор – второй, а Гриша – третий;
2. Виктор – первый, а Борис – второй;
3. Андрей – второй, а Гриша – четвёртый.
В каждом из трёх ответов одна часть правда, а другая – ложь. Кто какое место занял?
IV Республиканская математическая олимпиада им. П.Л.Чебышёва
Отборочный этап, 5 класс
1. Расставьте в клетках квадратной таблицы 4×4 десять звёздочек так, чтобы
звёздочек в каждом столбце было нечётным, а в каждой строке – чётным.
количество
2. Произведение четырёх последовательных натуральных чисел равно 7920. Найдите эти
числа.
3. На математическом конкурсе участники решали несколько простых и несколько
сложных задач. За решение сложной задачи давалось 3 очка, за решение простой – 2 очка.
Кроме того, за каждую нерешённую простую задачу с участника снимали 1 очко. Вася решил
10 задач и набрал 14 очков. Сколько было простых задач?
4. После того как двузначное число увеличили на 4, сумма его цифр стала равна половине
суммы цифр исходного числа. Сколько существует таких двузначных чисел?
5. Четыре друга – Андрей, Борис, Виктор и Григорий на соревнованиях по бегу заняли
первые четыре места. На вопрос, какое место кто из них занял, трое ответили так:
1. Виктор – второй, а Гриша – третий;
2. Виктор – первый, а Борис – второй;
3. Андрей – второй, а Гриша – четвёртый.
В каждом из трёх ответов одна часть правда, а другая – ложь. Кто какое место занял?
IV Республиканская математическая олимпиада им. П.Л.Чебышёва
Отборочный этап, 6 класс
1. Найдите все такие двузначные числа (с ненулевыми цифрами), каждое из которых при
перестановке его цифр становится меньше исходного не менее чем в три раза.
2. В мешке лежат золотые монеты: дублоны, дукаты и пиастры, одинаковые на ощупь. Если
из мешка вынуть 10 монет, то среди них обязательно окажется хотя бы один дублон, если
вынуть 9 монет – окажется хотя бы один дукат, если же вынуть 8 монет, - хотя бы один
пиастр. Какое наибольшее количество монет могло быть в мешке?
3. Можно ли составить из цифр 1,2,3,…,8,9 такое девятизначное число, что между цифрами 1
и 2 стоит нечётное количество цифр, между цифрами 2 и 3 – также нечётное количество
цифр, … , между цифрами 8 и 9 – также нечётное количество цифр?
4. Имеется 50 кирпичей – красных, белых и синих. Белых кирпичей в 11 раз больше, чем
синих. Красных кирпичей больше, чем синих, но меньше, чем белых. На сколько красных
кирпичей меньше, чем белых?
5. Из 16 спичек сложен ромб со стороной в две спички и разбит на
треугольники со стороной в одну спичку. А сколько спичек
потребуется, чтобы сложить ромб со стороной в 10 спичек,
разбитый на такие же треугольники со стороной в одну спичку?
IV Республиканская математическая олимпиада им. П.Л.Чебышёва
Отборочный этап, 6 класс
1. Найдите все такие двузначные числа (с ненулевыми цифрами), каждое из которых при
перестановке его цифр становится меньше исходного не менее чем в три раза.
2. В мешке лежат золотые монеты: дублоны, дукаты и пиастры, одинаковые на ощупь. Если
из мешка вынуть 10 монет, то среди них обязательно окажется хотя бы один дублон, если
вынуть 9 монет – окажется хотя бы один дукат, если же вынуть 8 монет, - хотя бы один
пиастр. Какое наибольшее количество монет могло быть в мешке?
3. Можно ли составить из цифр 1,2,3,…,8,9 такое девятизначное число, что между цифрами 1
и 2 стоит нечётное количество цифр, между цифрами 2 и 3 – также нечётное количество
цифр, … , между цифрами 8 и 9 – также нечётное количество цифр?
4. Имеется 50 кирпичей – красных, белых и синих. Белых кирпичей в 11 раз больше, чем
синих. Красных кирпичей больше, чем синих, но меньше, чем белых. На сколько красных
кирпичей меньше, чем белых?
5. Из 16 спичек сложен ромб со стороной в две спички и разбит на
треугольники со стороной в одну спичку. А сколько спичек
потребуется, чтобы сложить ромб со стороной в 10 спичек,
разбитый на такие же треугольники со стороной в одну спичку?
IV Республиканская математическая олимпиада им. П.Л.Чебышёва
Отборочный этап, 7 класс
1. Три трёхзначных числа записаны всеми цифрами от 1 до 9 (без нуля), их сумма
равна 1665. В каждом из этих чисел поменяли местами первую и последнюю цифры.
Чему может быть равна сумма получившихся трёх трёхзначных чисел?
2. Какое наименьшее количество сомножителей надо вычеркнуть в произведении
1×2×3×…×99 так, чтобы произведение оставшихся сомножителей оканчивалось на
цифру 2?
3. На квадратной доске 10×10 клеток расставлены шашки так, что на всех
вертикалях стоит разное (возможно, нулевое) количество шашек, и на всех
горизонталях стоит разное (возможно, нулевое) количество шашек. Сколько всего
шашек может быть на доске? Перечислите все ответы, и докажите, что других нет.
4. Сколько существует способов разделить 10 одинаковых карандашей между тремя
девочками так, чтобы каждая получила хотя бы один карандаш?
5. В десятичной записи числа
больше: полученное число или
вычеркнули 2013-ю цифру после запятой. Что
?
IV Республиканская математическая олимпиада им. П.Л.Чебышёва
Отборочный этап, 7 класс
1. Три трёхзначных числа записаны всеми цифрами от 1 до 9 (без нуля), их сумма
равна 1665. В каждом из этих чисел поменяли местами первую и последнюю цифры.
Чему может быть равна сумма получившихся трёх трёхзначных чисел?
2. Какое наименьшее количество сомножителей надо вычеркнуть в произведении
1×2×3×…×99 так, чтобы произведение оставшихся сомножителей оканчивалось на
цифру 2?
3. На квадратной доске 10×10 клеток расставлены шашки так, что на всех
вертикалях стоит разное (возможно, нулевое) количество шашек, и на всех
горизонталях стоит разное (возможно, нулевое) количество шашек. Сколько всего
шашек может быть на доске? Перечислите все ответы, и докажите, что других нет.
4. Сколько существует способов разделить 10 одинаковых карандашей между тремя
девочками так, чтобы каждая получила хотя бы один карандаш?
5. В десятичной записи числа
больше: полученное число или
вычеркнули 2013-ю цифру после запятой. Что
?
5 класс, добавка
6. Имеется 10 последовательных натуральных чисел. Сумма первых четырёх (наименьших)
из них равна 226. Чему равна сумма последних четырёх (наибольших)?
7. Карлсон и Малыш гуляли по крышам домов. Длина шага Малыша - 80 см, а Карлсона - 60
см. Их шаги совпали 601 раз, в том числе в самом начале и в конце пути. Какое расстояние
они прошли?
8. Можно ли увезти 50 камней, массы которых 370 кг, 372 кг, 374 кг, 376 кг, . . . , 468 кг, на
семи грузовиках, грузоподъёмностью три тонны каждый?
5 класс, добавка
6. Имеется 10 последовательных натуральных чисел. Сумма первых четырёх (наименьших)
из них равна 226. Чему равна сумма последних четырёх (наибольших)?
7. Карлсон и Малыш гуляли по крышам домов. Длина шага Малыша - 80 см, а Карлсона - 60
см. Их шаги совпали 601 раз, в том числе в самом начале и в конце пути. Какое расстояние
они прошли?
8. Можно ли увезти 50 камней, массы которых 370 кг, 372 кг, 374 кг, 376 кг, . . . , 468 кг, на
семи грузовиках, грузоподъёмностью три тонны каждый?
5 класс, добавка
6. Имеется 10 последовательных натуральных чисел. Сумма первых четырёх (наименьших)
из них равна 226. Чему равна сумма последних четырёх (наибольших)?
7. Карлсон и Малыш гуляли по крышам домов. Длина шага Малыша - 80 см, а Карлсона - 60
см. Их шаги совпали 601 раз, в том числе в самом начале и в конце пути. Какое расстояние
они прошли?
8. Можно ли увезти 50 камней, массы которых 370 кг, 372 кг, 374 кг, 376 кг, . . . , 468 кг, на
семи грузовиках, грузоподъёмностью три тонны каждый?
5 класс, добавка
6. Имеется 10 последовательных натуральных чисел. Сумма первых четырёх (наименьших)
из них равна 226. Чему равна сумма последних четырёх (наибольших)?
7. Карлсон и Малыш гуляли по крышам домов. Длина шага Малыша - 80 см, а Карлсона - 60
см. Их шаги совпали 601 раз, в том числе в самом начале и в конце пути. Какое расстояние
они прошли?
8. Можно ли увезти 50 камней, массы которых 370 кг, 372 кг, 374 кг, 376 кг, . . . , 468 кг, на
семи грузовиках, грузоподъёмностью три тонны каждый?
6 класс, добавка
6. На листе клетчатой бумаги со стороной клетки 1 см нарисован прямоугольник, стороны
которого идут по сторонам клеток. Прямоугольник разрезали на четыре прямоугольника
двумя прямолинейными разрезами, также идущими по сторонам клеток. Шестиклассник
Петя нашел, что у трех из этих прямоугольников площади составляют 4 см2, 8 см2 и 16 см2.
Чему равна площадь исходного прямоугольника? Найдите все варианты ответа.
7. Муравей ползет из вершины А по ребрам единичного куба, нигде не
повторяя отрезки своего пути, и возвращается в вершину А. Каков его
максимальный путь (длина ребра куба 1 см)?
8. В Васином классе в олимпиаде участвовало 25 школьников (включая Васю). За каждую
верно решенную задачу участник получает «+», за неверно решенную он получает «-». Если
участник не решал задачу, то он не получает за нее никакой оценки. В конце олимпиады
оказалось, что у любых двух участников разное число плюсов или разное число минусов.
Кроме того, каждый участник набрал с Васей или поровну плюсов, или поровну минусов.
Какое наименьшее количество задач могло быть в олимпиаде?
6 класс, добавка
6. На листе клетчатой бумаги со стороной клетки 1 см нарисован прямоугольник, стороны
которого идут по сторонам клеток. Прямоугольник разрезали на четыре прямоугольника
двумя прямолинейными разрезами, также идущими по сторонам клеток. Шестиклассник
Петя нашел, что у трех из этих прямоугольников площади составляют 4 см2, 8 см2 и 16 см2.
Чему равна площадь исходного прямоугольника? Найдите все варианты ответа.
7. Муравей ползет из вершины А по ребрам единичного куба, нигде не
повторяя отрезки своего пути, и возвращается в вершину А. Каков его
максимальный путь (длина ребра куба 1 см)?
8. В Васином классе в олимпиаде участвовало 25 школьников (включая Васю). За каждую
верно решенную задачу участник получает «+», за неверно решенную он получает «-». Если
участник не решал задачу, то он не получает за нее никакой оценки. В конце олимпиады
оказалось, что у любых двух участников разное число плюсов или разное число минусов.
Кроме того, каждый участник набрал с Васей или поровну плюсов, или поровну минусов.
Какое наименьшее количество задач могло быть в олимпиаде?
6 класс, добавка
6. На листе клетчатой бумаги со стороной клетки 1 см нарисован прямоугольник, стороны
которого идут по сторонам клеток. Прямоугольник разрезали на четыре прямоугольника
двумя прямолинейными разрезами, также идущими по сторонам клеток. Шестиклассник
Петя нашел, что у трех из этих прямоугольников площади составляют 4 см2, 8 см2 и 16 см2.
Чему равна площадь исходного прямоугольника? Найдите все варианты ответа.
7. Муравей ползет из вершины А по ребрам единичного куба, нигде не
повторяя отрезки своего пути, и возвращается в вершину А. Каков его
максимальный путь (длина ребра куба 1 см)?
8. В Васином классе в олимпиаде участвовало 25 школьников (включая Васю). За каждую
верно решенную задачу участник получает «+», за неверно решенную он получает «-». Если
участник не решал задачу, то он не получает за нее никакой оценки. В конце олимпиады
оказалось, что у любых двух участников разное число плюсов или разное число минусов.
Кроме того, каждый участник набрал с Васей или поровну плюсов, или поровну минусов.
Какое наименьшее количество задач могло быть в олимпиаде?
7 класс, добавка
6. Дан квадрат ABCD. На его стороне AD взята точка Е, а на стороне ВС точки K,L,M,N, которые
делят её на 5 равных отрезков (так, что AE = BK = KL = LM = MN =
). Чему равна сумма
углов AKE+ALE+AME+ANE+ACE?
7. Сравните дроби
, и расположите их в порядке
возрастания.
8. Сколько существует различных способов расстановки трёх шахматных королей на
шахматной доске 8×8 так, чтобы каждый из них бил каждого из остальных (доска
неподвижна, расстановки, получающиеся друг из друга поворотом доски на 90, на 180 или
на 270 считаются различными).
7 класс, добавка
6. Дан квадрат ABCD. На его стороне AD взята точка Е, а на стороне ВС точки K,L,M,N, которые
делят её на 5 равных отрезков (так, что AE = BK = KL = LM = MN =
). Чему равна сумма
углов AKE+ALE+AME+ANE+ACE?
7. Сравните дроби
, и расположите их в порядке
возрастания.
8. Сколько существует различных способов расстановки трёх шахматных королей на
шахматной доске 8×8 так, чтобы каждый из них бил каждого из остальных (доска
неподвижна, расстановки, получающиеся друг из друга поворотом доски на 90, на 180 или
на 270 считаются различными).
7 класс, добавка
6. Дан квадрат ABCD. На его стороне AD взята точка Е, а на стороне ВС точки K,L,M,N, которые
делят её на 5 равных отрезков (так, что AE = BK = KL = LM = MN =
). Чему равна сумма
углов AKE+ALE+AME+ANE+ACE?
7. Сравните дроби
, и расположите их в порядке
возрастания.
8. Сколько существует различных способов расстановки трёх шахматных королей на
шахматной доске 8×8 так, чтобы каждый из них бил каждого из остальных (доска
неподвижна, расстановки, получающиеся друг из друга поворотом доски на 90, на 180 или
на 270 считаются различными).
7 класс, добавка
6. Дан квадрат ABCD. На его стороне AD взята точка Е, а на стороне ВС точки K,L,M,N, которые
делят её на 5 равных отрезков (так, что AE = BK = KL = LM = MN =
углов AKE+ALE+AME+ANE+ACE?
). Чему равна сумма
7. Сравните дроби
, и расположите их в порядке
возрастания.
8. Сколько существует различных способов расстановки трёх шахматных королей на
шахматной доске 8×8 так, чтобы каждый из них бил каждого из остальных (доска
неподвижна, расстановки, получающиеся друг из друга поворотом доски на 90, на 180 или
на 270 считаются различными).