Центр 7», 26-е марта 2009 года.

Матбой «Центр 6» — «Центр 7», 26-е марта 2009 года.
Конкурс капитанов: напишите в строку пять чисел, чтобы сумма любых двух соседних
чисел была отрицательна, а сумма всех чисел — положительна.
1. Костя выписал подряд все числа некоторого месяца: 123456789101112... и покрасил три
дня (дни рождения своих друзей), никакие два из которых не идут подряд. Оказалось, что
все непокрашенные участки состоят из одинакового количества цифр. Докажите, что
первое число месяца покрашено.
2. Можно ли на окружности расставить 100 натуральных чисел так, чтобы каждое из них
было либо суммой, либо разностью соседних?
3. На каждом километре шоссе между сёлами Ёлкино и Палкино стоит столб с табличкой, на
одной стороне которой написано, сколько километров до Ёлкино, а на другой — до
Палкино. Костя заметил, что на каждом столбе сумма всех цифр равна 13. Каково
расстояние от Ёлкино до Палкино?
4. Можно ли увезти из каменоломни 50 камней, веса которых равны 370, 372, 374, ... , 468 кг,
на семи трехтонках?
5. На шести елках сидят шесть чижей, на каждой елке — по чижу. Елки растут в ряд с
интервалом в 10 метров. Если какой-то чиж перелетает с одной елки на другую, то какойто другой чиж тут же перелетает на столько же метров, но в обратном направлении. Могут
ли все чижи собраться на одной елке?
6. В Конторе работают 201 психически здоровый и 2009 сумасшедших сотрудников.
Однажды каждый сотрудник направил директору сообщение, в котором перечислил 2009
своих коллег, которые, по его мнению, сошли с ума. Известно, что каждый психически
здоровый сотрудник верно указал всех сумасшедших, а сумасшедшие сотрудники могли
назвать кого угодно, кроме себя. Докажите, что директор может на основании только этих
данных выявить по крайней мере 200 сумасшедших. Все сообщения подписаны.
Резерв:
7. Каким наименьшим числом прямых можно разрезать все клетки шахматной доски 3×3?
Нарисуйте такие прямые и докажите, что меньшим числом прямых обойтись нельзя.
(Чтобы клетка была разрезана, прямая должна проходить через внутреннюю точку этой
клетки.)
8. Из натурального числа вычли сумму его цифр и получили 2007. Каким могло быть
исходное число?
9. 175 шалтаев стоят дороже, чем 125 болтаев, но дешевле, чем 126 болтаев. Докажите, что
на трех шалтаев и одного болтая не хватит 100 рублей. (Цена и шалтая, и болтая — целое
число рублей).
10. Лестница имеет 100 ступенек. Коля хочет спуститься по лестнице, при этом он двигается
начиная сверху прыжками вниз и вверх по очереди. Прыжки бывают трёх типов - на шесть
ступенек (через пять на шестую), на семь и на восемь. Два раза на одну ступеньку Коля не
становится. Сможет ли он спуститься?