О структуре множества сходимости равномерно ограниченной

Проблема состоит в следующем: описать структуру множества,
принадлежащего компакту на комплексной плоскости, для которого
существует последовательность полиномов, равномерно ограниченная на
компакте, сходящаяся поточечно на рассматриваемом множестве и
расходящаяся в каждой точке, не принадлежащей множеству.
В данной работе задача решена для множества E  ( E1 E2 )  D , где
E1  D , E2  D , где D - ограниченная, замкнутая область не разделяющая
комплексной плоскости C , D - граница области D , D - множество
внутренних точек D , а последовательность полиномов равномерно ограничена
на D .
Некоторые результаты получены А.Я. Хинчиным, М.А. Лаврентьевым,
М.В. Келдышем, С.В. Колесниковым. С.Н. Мергелян, в частности получил
следующий результат.
Теорема 1. Для того, чтобы существовало семейство А полиномов такое,
что множество точек конечности mA ( z )  sup | P( z ) | совпадало с E , E  C ,
A
необходимо и достаточно, чтобы E имело представление:
E

n1
Fn , Fn Fn1 , Fn - замкнутое множество, не разделяющее плоскость C .
Отсюда следует, что область D не должна разделять плоскость C .
Нами получены следующие результаты.
Теорема 2. Пусть последовательность полиномов равномерно ограничена
на D . Для того, чтобы из поточечной сходимости данной последовательности
полиномов на E1  D следовала сходимость этой последовательности на D
необходимо и достаточно чтобы гармоническая мера E1 была больше 0.
В дальнейшем для множества E2 , E2  D , потребуется понятие множества
единственности класса функций H  ( D) , где H  ( D) есть класс аналитических
и ограниченных в D функций.
Определение. Множество M , M  D , называется множеством
единственности класса функций H  ( D) , если f ( z )  H  ( D) из равенства
нулю f ( z ) на M следует, что f ( z )  0 в D .
Следующая известная теорема дает характеристику множества M .
Теорема 3. Для того, чтобы множество M , M  D , было множеством
единственности функций класса H  ( D) , необходимо и достаточно
существование множества различных точек {Z k }k 1  M , для которого

 (1 |  (Zk ) |)   ,
где
 ( z)
- конформное, однолистное отображение
1
односвязной области D на круг
.
Теорема 3. Для того, чтобы множество E  ( E1 E2 )  D , где E1  D ,
E2  D , было множеством сходимости равномерно ограниченной
последовательности полиномов в D необходимо и достаточно выполнение
следующих условий: E1 типа F , гармоническая мера E1 равна 0, E2 не
является множеством единственности класса функций H  ( D) .
Теорема 4. Для того, чтобы множество E  E1 D , E1  D , было
множеством сходимости равномерно ограниченной последовательности
полиномов, необходимо и достаточно чтобы множество E1 было множеством
типа F .
Литература.
1. Мергелян С.Н. Некоторые проблемы математики и механики.//
Новосибирск. - 1961. - с.133-172
2. Беляев В.А.// В сб.: Теория функций и приближений. - Саратов. - 1987.т. 1. - с.147-149.