Вопросы к зачету 4 курс полиномыx

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
ПОЛИНОМЫ ОТ ОДНОЙ И НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Определение полиномов и операций с ними. Кольцо полиномов. Стандартная запись
полиномов.
Отношение делимости в кольце полиномов от одной переменной. Свойства.
Деление с остатком в кольце полиномов от одной переменной. Теорема о делении с
остатком.
Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное полиномов. Алгоритм Евклида.
Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное полиномов. Линейное
выражение НОД. Взаимно простые полиномы и их свойства.
Неприводимые полиномы. Примеры, свойства.
Разложение полинома на неприводимые множители. Единственность разложения на
неприводимые множители.
Каноническое разложение на неприводимые множители. Нахождение НОК и НОД
полиномов.
Функциональное и алгебраическое равенства полиномов.
Полиномиальные отображения. Корни полинома. Деление полинома на линейный двучлен.
Теорема Безу.
Схема Горнера. Теорема Безу.
Первая теорема о рациональных корнях полиномов над полем рациональных чисел.
Вторая теорема о рациональных корнях полиномов над полем рациональных чисел.
Производная полинома. Определение и свойства производной полинома.
Кратные множители. Определение и свойства.
Кратные корни полинома. Определение и свойства.
Производная полинома. Формула Тейлора.
Полиномы, неприводимые над алгебраически замкнутыми полями. Полиномы,
неприводимые над полем комплексных чисел.
Полиномы, неприводимые над полем действительных чисел.
Рациональные корни полиномов. Критерий Эйзенштейна. Полиномы, неприводимые над
полем рациональных чисел.
Алгебраические уравнения 2-ой степени над полем комплексных чисел.
Алгебраические уравнения 3-ой степени над полем комплексных чисел.
Алгебраические уравнения 4-ой степени над полем комплексных чисел.
Определение полиномов от нескольких переменных. Операции над полиномами от
нескольких переменных.
Определение полиномов от нескольких переменных . Кольцо полиномов от нескольких
переменных.
Степени полиномов от нескольких переменных. Однородные многочлены.
Лексикографическое упорядочение полиномов от нескольких переменных.
Симметрические полиномы. Элементарные симметрические полиномы.
Теорема Виета. Применение.
Элементарные симметрические полиномы. Алгебраическая независимость.
Основная теорема о симметрических полиномах и ее приложение к вычислению
выражений от корней многочлена.
Дискриминант полиномов.
Результант полиномов.
ВСЕ УТВЕРЖДЕНИЯ – С ДОКАЗАТЕЛЬСТВАМИ