Исследование операций и методы оптимизации

Автономная некоммерческая организация высшего образования
«ПЕРМСКИЙ ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ»
Кафедра прикладной информатики и естественнонаучных дисциплин
УТВЕРЖДЕНО
на заседании кафедры прикладной информатики и
естественнонаучных дисциплин
Протокол от «04» сентября 2015 г. № 01
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине «Исследование операций и методы оптимизации»
для студентов заочной формы обучения
направление: 09.03.03 «Прикладная информатика»
Пояснительная записка
Контрольно-измерительные материалы по дисциплине «Исследование операций и методы
оптимизации» составлены в соответствии с требованиями Федерального государственного
образовательного стандарта высшего профессионального образования.
Целью преподавания дисциплины является освоение студентами современных математических
методов анализа, научного прогнозирования поведения экономических объектов. Основное
внимание в содержании данного курса уделяется вопросам математического моделирования
экономических процессов, протекающих в реальных экономических объектах на микро- и
макроуровнях.
Содержание контрольной работы
Выбор варианта: по первой букве фамилии.
Выполнение варианта контрольной работы включает 3 задачи в соответствии с табл. 1, по которой
выбор из имеющихся задач производится по первой букве фамилии студента. Так, например,
студент Константинов С.Ф. должен выполнить следующие номера задач: 10,35,60
Первая буква
фамилии
А
Б
В
Г
Д
Е
Ж
3
И
К
Л
М
Н
О
П
Р
С
Т
У
Ф
Х
Ц
Ч
Ш, Щ
Э, Ю, Я
Номера задач для контрольного задания
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
1
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
51
52
53
54
55
Дополнительные требования: контрольная работа состоит из:
1. Решения задачи линейного программирования на основе ее геометрической интерпретации
(графический метод).
2. Моделирования экономических процессов коммерческого предприятия и решение моделей
симплексным методом.
3. Решения задачи в условиях неопределенности.
Оценка контрольной работы:
В итоге работа может быть оценена на «зачтено» или «незачтено». «Зачет» ставится, если
выполнено не менее 70%, в решении не содержится грубых ошибок. «Незачет» ставится, если
студент не справился с заданием (выполнено менее 70% задания варианта), в решении имеются
грубые ошибки.
Методические указания к решению задач
1. Графический метод решения задач линейного программирования
Общей задачей линейного программирования ОЗЛП называется задача, которая состоит в
определении максимального (минимального) значения линейной целевой функции:
 
n
F X   c j  x j  max min 
j 1
При условиях-ограничениях
п
 a i j  x j  bi , i  1, k ;
 i n1

 a i j  x j bi , i  k  1, m ,
 j 1
 x j  0, j  1, i; i  n ,


aij , bi ,c j

1


2

3
где
-заданные постоянные величины и k  m .
Стандартной (или симметричной) задачей линейного программирования называется задача,
которая состоит в определении максимального (минимального) значения целевой функции при
выполнении условий 1 и 3 , где k  m и 1  n .
Канонической (или основной) задачей линейного программирования называется задача, которая
состоит в определении максимального (минимального) значения целевой функции при
выполнении условий 2 и 4, где k  0 и 1  n .
x , x
,..., xn 
Совокупность чисел X = 1 2
допустимым решением (или планом).
x , x
,..., x
удовлетворяющих ограничениям задачи, называется

n , при котором целевая функция задачи принимает максимальное
План X = 1 2
(минимальное) значение, называется оптимальным.
 
F X  c1 x1  c2 x2  ...  cn xn можно перейти
F  X    F  X   c1 x1  c2 x2  ...  cn xn
к нахождению максимума функции
, так как min
F  X    max F  X  .
Ограничение-неравенство исходной задачи линейного программирования, имеющее вид "  ",
В случае, когда требуется найти минимум функции
преобразуется в ограничение-равенство добавлением к левой части дополнительных
неотрицательной переменной, а ограничение неравенство вида "  " - в ограничение-равенство
вычитанием из левой части дополнительной неотрицательной переменной.
Допустим ограничения задачи отображают наличие производственных ресурсов, тогда числовое
значение дополнительной переменной в плане задачи, записанной в форме основной, равно
объему неиспользуемого соответствующего ресурса.
2
X  x , x ,..., x

1
2
n
План
называется опорным планом основной задачи линейного
программирования, если система векторов, входящих в разложение с положительными
коэффициентами
Xj
линейно независима.
A
Так как векторы i являются m-мерными, то из определения опорного плана следует, что число
его положительных компонент не может превышать m.
Опорный план называется невырожденным, если он содержит ровно m положительных
компонент, в противном случае - план вырожденный.
Свойства основной задачи линейного программирования связаны со свойствами выпуклых
множеств.
Множество точек называется выпуклым, если оно вместе с любыми двумя точками содержит и их
произвольную выпуклую линейную комбинацию.
Геометрический смысл этого определения состоит в том, что множеству вместе с его двумя
произвольными точками полностью принадлежит и прямолинейный отрезок, их соединяющий.
Примерами выпуклых множеств являются прямолинейный отрезок, полуплоскость, круг, шар,
куб, полупространство и др.
Угловыми точками выпуклого множества называются точки, не являющиеся выпуклой
комбинацией двух произвольных точек множества. Например, угловыми точками треугольника
являются его вершины, круга - точки окружности, которые его ограничивают.
Множество планов основной задачи линейного программирования является выпуклым (если оно
не пусто). Непустое множество планов называется многогранником решений, а всякая угловая
точка многогранника решений - вершиной.
Если основная задача линейного программирования имеет оптимальный план, то максимальное
значение целевая функция задачи принимает в одной из вершин многогранника решений. Если
максимальное значение достигается более чем в одной вершине, то целевая функция принимает
его во всякой точке, являющейся выпуклой линейной комбинацией этих вершин.
Непустое множество планов основной задачи линейного программирования образует выпуклый
многогранник, каждая вершина которого определяет опорный план. Для одного из опорных
планов (т.е. в одной из вершин многогранника решений) значение целевой функции является
максимальным (при условии, что функция ограничена сверху на множестве планов).
Вершину многогранника решений, в которой целевая функция принимает максимальное значение,
можно найти достаточно просто, если задача в стандартной форме содержит не более двух
переменных:
F  X   c1 x1  c2 x2
при условиях



ai1 x1  ai 2 x 2  bi , i  1, k ; x1  0; x 2  0


 x j  0,  j  1,2 
Каждое из неравенств системы ограничений задачи геометрически определяет полуплоскость
допустимых значений переменных соответственно с граничными прямыми


ai1 x1  ai 2 x2  bi , i  1, k ; x1  0; x2  0
Если система неравенств совместна, то областью допустимых решений задачи является выпуклое
множество, которое называется многоугольником решений. Стороны этого многоугольника лежат
на прямых, уравнения которых получаются из исходной системы ограничений заменой знаков
неравенств на знаки точных равенств.
Решение задачи линейного программирования графическим методом включает следующие этапы.
1.
2.
3.
4.
5.
На плоскости X 1OX 2 строят прямые, уравнения которые получаются в результате замены в
ограничениях знаков неравенств на знаки точных равенств.
Находят полуплоскости, определяемые каждым из ограничений задачи.
Строят многоугольник решений.
Строят вектор N c1 ,c 2  , направление которого указывает на возрастание целевой функции.
Строят начальную прямую c1 x1  c2 x2  0 и передвигают ее в направлении вектора N до
крайней угловой точки многоугольника решений. В результате находят точку, в которой
целевая функция принимает максимальное значение, либо множество точек с одинаковым
максимальным значением целевой функции, если начальная прямая сливается с одной из
сторон многоугольника решений, либо устанавливают неограниченность сверху функции на
3
  

множестве планов F X   .
6. Определяют координаты точки максимума функции и вычисляют значение целевой функции
в этой точке.
Минимальное значение линейной функции цели находится путем передвижения начальной
прямой c1 x1  c2 x2  0 , в направлении,
противоположном вектору N c1 ,c 2  .
Пример:
Найти максимум и минимум линейной функции :
F x  2x1  3x2  extr при условиях:
6 x1  2 x2  12,
 x  2 x  5,
 1
2

x

x

 1 2 1,
 x1 , x2  0.
Решение:
Построим на плоскости X 1OX 2 многоугольник решений рис.1.
Для этого в неравенствах системы ограничений и условиях неотрицательности переменных знаки
неравенств заменим на знаки точных равенств.
6 x1  2 x 2  12,
 x  2 x  5,
 1
2

x

0
,
 1
 x 2  0.
Построив полученные прямые, найдем соответствующие полуплоскости и их пересечение
6 x1  2 x2  12,
 x  2 x  5,
2
 1
 x1  x2  1,
 x  0,
 1
 x2  0.
(1)
( 2)
(3)
( 4)
(5)
Построив полученные прямые, найдем соответствующие полуплоскости и их пересечение.
4
Многоугольником решений задачи является пятиугольник АВ-СДЕ, координаты точек
которого удовлетворяют условию неотрицательности и неравенствам системы ограничений
задачи.
 
Для нахождения точек экстремума построим начальную прямую F X  0  2 x1  3 x2 и
 
вектор N  2,3 . Передвигая прямую F X  0 параллельно самой себе в направлении
вектора N , найдем точку С, в которой начальная прямая принимает положение опорной
прямой. Следовательно, в точке С целевая функция принимает максимальное значение, так
как точка С получена в результате пересечения прямых 1 и 2 , то ее координаты
удовлетворяют уравнениям этих прямых:
6 x1  2 x2  12,

 х1  х2  5.
Решив систему уравнений, получим:
х1  3,4; х2  4,2;
 
F X  2  3,4  3  4,2  6,8  12,6  19,4.
Для нахождения минимального значения целевой функции задачи перемещаем начальную прямую
в направлении, противоположном вектору N . Начальная прямая займет положение опорной
прямой в вершине Е. Целевая функция принимает минимальное
 
значение в угловой точке Е, где x1  1, x2  0, a F X  2 1  3  0  2.
Найдем координаты угловых точек В, Д и А. Для этого решим следующие системы уравнений:
 x1  2 x2  5,

 x1  0.
 x1  x2  1,

 x1  0.
6 x1  2 x2  12,

 x2  0.
В результате получим координаты точек В (0;2,5), Д (2,0) и А (0,1).
Вычислим значения целевой функции во всех угловых точках многоугольника решений АВСДЕ:
 
B 0; 2,5 F X   2  0  3  2,5  7,5.
C 3,4; 4,2  F X   2  3,4  3  4,2  19,4 max .
Д 2,0  F X   2  2  3  0  4.
E 1,0  F X   2  1  3  0  2 min .
A 0,1 F X  2  0  3  1  3.
2. Симплексный метод решения задачи линейного программирования.
Симплексный метод основан на последовательном переходе от одного опорного плана задачи
линейного программирования к другому, при этом значение целевой функции изменяется.
Рассмотрим алгоритм симплексного метода на примере задачи планирования товарооборота.
Коммерческое предприятие реализует несколько n -товарных групп, располагая m

b i  1, m

ограниченными материально-денежными ресурсами i
. Известны расходы ресурсов
i

каждого
вида на реализацию продажи единицы товарооборота товаров по каждой группе,
представленной в виде матрицы
A  aij , bi  0, m  n
и прибыль
cj
получаемая предприятием
от реализации единицы товарооборота товаров j группы. Определить объем и структуру
x j j  1, n


товарооборота
. при которых прибыль коммерческого предприятия была бы
максимальной.
1. Математическую модель задачи запишем следующим образом:
Определить
X  x1 , x2 ,..., xn  , который удовлетворяет ограничениям вида:
5


n
 aij  x j  bi , i  1, m
 j 1
 x  0 j  1, n
 j


и обеспечивает максимальное значение целевой функции
 
n
F X   c j  x j  max .
j 1
Алгоритм симплексного метода включает следующие этапы.
2.
Составление первого опорного плана.
Система ограничений задачи, решаемой симплексным методом, задана в виде системы неравенств.
Перейдем от системы неравенств к системе уравнений путем введения неотрицательных
дополнительных переменных. Векторы-столбцы при этих переменных представляют собой
единичные векторы и образуют базис, а соответствующие им переменные называются базисными:
n
a
j 1
где
ij
 x j  xn1  bi , i  1, m
xni 
базисные переменные.
xj 
свободные переменные.
Решим эту систему относительно базисных переменных:
n
xn1  bi   aij  x j , ( i  1, m).
j 1
а функцию цели перепишем в таком виде:
 n

F X  0     c j  x j .
 j 1

 
Полагая, что основные переменные
x1  x2  x3  ...xn  0
 
X  0, 0,...,0 , b , b ,..., b ; F X  0
1
1
1 2
m
.получим первый опорный план
, (заносим его в
симплексную таблицу 3, которая состоит из коэффициентов системы ограничений и свободных
членов. Последняя строка таблицы называется индексной. Она заполняется коэффициентами
функции цели, взятыми с противоположным знаком.
3.
Проверка плана на оптимальность.
Если все коэффициенты индексной строки симплексной таблицы при решении задачи на
максимум неотрицательны (  0), то
X  x , x ,..., x

1
2
n
план табл.3
задачи табл. 2 является оптимальным. Если найдется хотя бы один
коэффициент индексной строки меньше нуля, то план не оптимальный и его можно улучшить.
Тогда переходим к следующему этапу алгоритма.
4.
Определение ведущих столбца и строки.
Из отрицательных коэффициентов индексной строки выбираем наибольший по абсолютной
величине, что и определяет ведущий столбец, который показывает, какая переменная на
следующей итерации перейдет из свободных в базисные.
Затем элементы столбца свободных членов симплексной таблицы делим на соответствующие
только положительные элементы ведущего столбца. Результаты заносим в отдельный столбец  .
Строка симплексной таблицы, соответствующая минимальному значению  , является ведущей.
Она определяет переменную
свободной.
xj
которая на следующей итерации выйдет из базиса и станет
6
Элемент симплексной таблицы, находящейся на пересечении ведущих столбца и строки,
называют разрешающими и выделяет кружком.
5.
Построение нового опорного плана
Переход к новому плану проводится пересчетом симплексной таблицы по методу Жордана-
х
x
Гаусса. Сначала заменим переменные в базисе, т.е. вместо i в базис войдет переменная j ,
соответствующая направляющему столбцу.
Разделим все элементы ведущей строки предыдущей симплексной таблицы на разрешающий
элемент и результаты деления занесем в строку следующей симплексной таблицы,
x
соответствующую введенной в базис переменной j . В результате этого на месте разрешающего
элемента в следующей симплексной таблице будем иметь 1 , а в остальных клетках j столбца,
включая клетку столбца индексной строки, записываем нули. Остальные новые элементы
A B
нового плана находятся по правилу прямоугольника: HЭ  СТЭ - РЭ ,
где СТЭ  элемент старого плана, РЭ  разрешающий элемент,
А и В - элементы старого плана, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ .
6. Полученный новый опорный план опять проверяется на оптимальность в соответствии с
этапом 3 алгоритма.
При решении задачи линейного программирования на минимум целевой функции, признаком
оптимальности плана является отрицательные значения всех коэффициентов индексной строки
симплексной таблицы.
Если в направляющем столбце все коэффициенты
 
а ij 
0,то функция цели
 
F X неограниченна
на множестве допустимых планов, т.е. F X   и задачу решить нельзя.
Если в столбце симплексной таблицы содержатся два или несколько одинаковых наименьших
значения, то новый опорный план будет вырожденным (одна или несколько базисных
переменных станут равными нулю). Вырожденные планы могут привести к зацикливанию, т.е.
многократному повторению процесса вычислений, не позволяющему завершить задачу. С целью
исключения этого для выбора направляющей строки используют способ Креко, который
заключается в следующем. Делим элементы строк, имеющие одинаковые наименьшее значение
 , на предполагаемые разрешающие элементы, а результаты заносим в дополнительные строки.
За ведущую строку выбирается та, в которой раньше встречается меньшее число при чтении
таблицы слева направо по столбцам.
x
Если в оптимальный план вошла дополнительная переменная n i , то при реализации такого
плана имеются недоиспользованные ресурсы i  гo вида в количестве, полученном в столбце
свободных членов симплексной таблицы.
Если в индексной строке симплексной таблицы оптимального плана находится нуль,
принадлежащий свободной переменной, не вошедшей в базис, а в столбце, содержащем этот нуль,
имеется хотя бы один положительный элемент, то задача имеет множество оптимальных планов.
Свободную переменную, соответствующую указанному столбцу, можно внести в базис, выполнив
соответствующие этапы алгоритма. В результате будет получен второй оптимальный план с
другим набором базисных переменных.
Пример решения задачи симплексным методом
Торговое предприятие, располагающее материально-денежНЫМИ ресурсами, реализует три группы
товаров А, В и С. Плановые нормативы затрат ресурсов на тыс. руб. товарооборота, прибыль от
продажи товаров на тыс. руб. товарооборота, а также объем ресурсов заданы в таблице 2.
Определить плановый объем продажи и структуру товарооборота так, чтобы прибыль торгового
предприятия была максимальной.
Таблица 2
затрат
материально-денежных Объём ресурсов
Виды
материально- Норма
ресурсов
на_ед. Втоварооборота,
руб.
денежных ресурсов
А
_ группа
группа
Стыс.
группа
bi
Рабочее время продавцов, 0,1
0,2
0,4
1100
2
чел./ч
Площадь торговых залов, м 0,05
0,02
0,02
120
Площадь
складских 3
1
2
8000
2
помещений,
м
Прибыль, тыс.руб.
3
5
4
max
7
1. Запишем математическую модель задачи.
Определить
X  x11 , x2 , x3  , который удовлетворяет условиям
 0,1х1  0,2 х 2  0,4 х3  1100,
0,05 х  0,02 х  0,02 х  120,

1
2
3

3
х

х

2
х

8000
,
1
2
3


х1  0, х 2  0, х3  0.
и обеспечивают максимальное значение целевой функции
 
F X  3x1  5x2  4 x3  max .
Для построения первого опорного плана систему неравенств, приведем к системе уравнений.
 0,1x1  0,2 x2  0,4 x3  x4  1100,

0,05 x1  0,02 x2  0,02 x3  x5  120,

3x1  x2  2 x3  x6  8000.

В матрице этой системы уравнений
А  aij 
имеет:
 0,1 0,2 0,4 1 0 0 


A   0,05 0,02 0,02 0 1 0 
 3
1
2
0 0 1 

А ,А ,А
Векторы 4 5 6 - линейно независимы, так как определитель, составленный из компонент этих
векторов, отличен от нуля:
1 0 0
0 1 0  0.
0 0 1
x ,x ,x
Соответствующие этим векторам переменные 4 5 6 будут базисными.
Решим систему уравнений относительно базисных переменных.
 х4  1100  0,1х1  0,2 х2  0,4 х3 ,

 х5  120  0,05 х1  0,02 х2  0,02 х3 ,

х6  8000  3х1  х2  3х3 .

Функцию цели запишем в виде:
 
F X  0   3x1  5x2  4x3 .
х
2. Полагая, что свободные переменные х1 =0, х 2 =0, 3 =0, получим первый опорный план
 
X 1 =(0,0,01100,120,8000), F X 1 = 0, в котором базисные переменные x 4 =1100, х5 =120, х 6 =8000,
следовательно товары не продаются и прибыль равна нулю, а ресурсы не используются.
8
I
план
Инд.
Строка
II
план
х4
х5
х6
 
F X1
х4
х5
х6
 
Ресурсы плана
Базисные
переменные
План
Заносим первый опорный план 1 в симплексную таблицу.
Симплексная таблица
Значения коэффициентов при переменных
х1
х2
х3
х4
х5
х6
1100
120
8000
0,1
0,05
3
0,2
0,02
1
0,4
0,02
2
1
0
0
0 1
0
0
0
1
5500
6000
8000
0
5500
10
2500
-3
0,5
0,04
2,5
-5
1
0
0
-4
2
-0,02
0
0
5
-0,1 5
0
0
1
0
0
0
0
1
11000
250
1000
0
0
Инд.
Строка
III план
F X2
27500
-0,5
0
6
25
х2
х1
х6
5375
250
1 875
0
1
0
1
0
0
2,25
-0,5
1,25
6,25 - -12,5
2,5
25
1,25
-62,5
00
1
Инд.
строка
F X3
27625
0
0
5,75
23,75
0
 

12,5
Первый опорный план 1 не оптимальный, так как в индексной строке находятся отрицательные
коэффициенты - -3,-5,-4.
За ведущий столбец выберем столбец, соответствующий переменной х 2 , так как сравнивая по
модулю имеем:
|- 5| >  |- 3I, |- 4I} Рассчитываем значения 9 по строкам, как частное от деления
наименьшее:
b
min  i
a
 ij
bi
a ij
и выбираем

  min 1100 ; 120 ; 8000   5500.
 0.2 0.02 1 




Следовательно, первая строка является ведущей.
Разрешающий элемент равен 0,2 и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки
и выделен кругом.
3. Формируем следующую симплексную таблицу. Вместо переменной x 4 в план II войдет
переменная х 2 . Строка, соответствующая переменной х 2 в плане II, получена в результате
деления всех элементов строки x 4 плана I на разрешающий элемент PЭ  0,2 . На месте
разрешающего элемента в плане II получаем 1. В остальных клетках столбца х 2 плана II
записываем нули.
Таким образом в новом плане II заполнены строки х 2 и столбец х 2 . Все остальные элементы
нового плана II, включая элементы индексной строки определяется по правилу прямоугольника.
Для этого выбираем из старого плана 4 числа, которые расположены в вершинах прямоугольника
и всегда включают разрешающий элемент PЭ  0,2 . Во второй вершине по диагонали находится
старое значение элемента, например, значение целевой функции F K1   0  CЭ , которое
указывает на место расположение нового НЭ в новом плане II. Третий элемент А=1100 и
четвертый элемент В=-5 завершают построение прямоугольника в недостающих двух вершинах и
расположены по другой диагонали. Значение нового элемента в плане II находится из выражения:
9
НЭ  СЭ   А  В  / РЭ  0 
1100   5
 27500.
0,2
Элементы строки определяются аналогично:
1100  0,02
 10
0,2
0,4  0,02
0,02 
 0,02
0,2
0,1 0,02
 0,04
0,2
0,02 1
0
 0,1
0,2
120 
0,05 
Все элементы, расположенные на пересечении строк и столбцов, соответствующих
одновременным базисным элементам равны 1, остальные элементы столбца в базисах векторов,
включая индексную строку, равны 0. Аналогично проводятся расчеты по всем строкам таблицы,
включая индексную.
Выполняя последовательно веб этапы алгоритма, формируем план II.
4. На третьей интеракции таблицы 3 получаем план III, который является оптимальным, так как
все коэффициенты в индексной строке  0.
Оптимальный план можно записать так:
 

F X  27625 тыс. руб.
X = (250,5375,0,0,0,1875),
Следовательно, необходимо продавать товаров первой группы А 250 ед., а второй группы В - 5375
ед. При этом торговое предприятие получает максимальную прибыль в размере 27625 тыс. руб.
Товары группы С не реализуются.
"В оптимальном плане среди базисных переменных находится дополнительная переменная
х 6 .Это указывает, что ресурсы третьего вида (площадь складских помещений) недоиспользована
х
на 1875 м2 , так как переменная 6 была введена в третье ограничение задачи, характеризующее
собой использование складских помещений.
х ,х ,х
В индексной строке оптимального плана в столбцах переменных 3 4 5 не вошедших в состав
базисных, получены ненулевые элементы, поэтому оптимальный план задачи линейного
программирования является единственным.
Литература.
1. Фомин Г.П. Математические методы и модели в коммерческой деятельности. Учебник. М.:
Финансы и статистика. 2004.
2. Беляев А.А., Артамонов В.А., Фомин Г.П. Прикладная Математика. Учеб. пособие ч.1. М.:
РГТЭУ, 2002.
3. Кузнецов Ю.П. Математическое программирование. М.: Высшая школа, 1980.
4. Спирин А.А., Фомин Г.П. Экономике- математические методы и модели в торговле. М.:
Экономика, 1988.
10
Игровые методы и модели в экономике
При изучении этой темы следует иметь ввиду, что при решении задач возникает необходимость
выбора оптимального экономического решения не только в условиях определенности, но и в
условиях риска и неопределенности. Особенностью таких условий является неясность исходов,
последствий выбираемых решении одной стороной, обусловленных или влиянием случайных
факторов, или неизвестностью поведения, реакции, например, покупателей на новые виды
товаров;
неясностью
погодных
условий
при
перевозки
грузов;
недостаточной
информированностью о торговых операциях, закупках, сделках; наличием очень большого числа
вариантов поведения противоположной стороны. В таких случаях наблюдаются разнообразные по
своей природе противоречия или столкновения интересов, целей и т.д. участвующих сторон.
Решением подобного рода задач и занимается теория игр и статистических решений,
позволяющая находить оптимальные решения в условиях риска и неопределенности.
Схематизированное описание (математическая модель) конфликтной ситуации называется игрой;
стороны - участники конфликта (отдельные лица или коллективы) называются игроками, а исход
конфликта выигрышем.
Задача состоит в выборе такого решения, которое обеспечивает наибольший выигрыш или
наименьший проигрыш.
Неопределенность в коммерческой деятельности связана с действием заранее непредсказуемых
внешних и внутренних факторов в процессе работы организаций и предприятий. В этом случае
между сторонами, участниками отсутствует "антагонизм", и такие ситуации называют "играми с
природой", а решаются с помощью методов теории статистических решений.
Первая сторона (например, торговая организация) выбирает решение стратегии, а вторая сторона
"природа" не оказывает первой стороне сознательного, активною противодействия, но ее реальное
поведение неизвестно.
Т , Т , Т ,..., Т i ,..., Tm и допустим
Пусть Т  коммерческое предприятие имеет m стратегий: 1 2 3
П , П , П ,..., П ,..., П
2
3
j
имеется n возможных состояний "природы": 1
. Поскольку "природа" не
является заинтересованной стороной, исход любого сочетания поведения сторон можно оценить с
помощью выигрышей
bi j
, первой стороны для каждой парк стратегий
Ti ,- и П j .
b
Все показатели игры записываются в виде матрицы i j , которая называется платежной.
Неоднозначность и неопределенность условий (в силу вероятного описания) не позволяют
получить одну количественную (единую) оценку вариантов решений. Более наглядный показ
условий неопределенности дают характерные оценки платежной матрицы, получаемые для
конкурирующих вариантов. Каждая из этих оценок является односторонней и не внушает полного
доверия, однако вычисление их для анализа необходимо. Рассмотрим наиболее интересные из
них.
Минимальный выигрыш:
max
Bi j
j
Bimin 
определяется как наименьшая из величин в строке (наиболее пессимистическая оценка).
Максимальный выигрыш:
Bimax 
max
Bi j
j
Определяется как наибольшая из величин строки платежной матрицы
T
и характеризует то наилучшее, что дает выбор этого варианта i (оптимистическая оценка).
При анализе "игры с природой" вводится показатель, позволяющий оценить, насколько то или
r
иное состояние "природы" влияет на исход ситуации. Этот показатель называется риском i j .
r
П
T
j
Риском i j при пользовании стратегией i и состоянием "природы"
называется разность
между максимально возможным выигрышем при данном состоянием "природы" и
Bimax 
max
Bi j
j
11
ri j
Пользуясь этими положениями, строим матрицу рисков
.
Теперь можно записать еще одну характерную оценку: максимальное значение риска для каждого
Ti .
решения
rimax  max ri j
Для решения игровых задач существуют специальные Критерии принятия решения.
1. Критерий, основанный на известных вероятностях состояния:
природы,
покупательского спроса, по данным анализа за прошлые годы:
а) если в этом случае известны вероятности состояний «природы»
например,
Р1  Р П1 , Р2  Р П2 , Р3  Р П3 ,..., Рп  Р Пп  ,
р1 , р2 , р3 ,..., рп  1,0 , то в качестве показателя эффективности
и при этом полагаем, что
T
стратегии i берется среднее значение (математическое ожидание) - выигрыш при применение
этой стратегии:
Bi  Bi1 P1  Bi 2 P2  Bi 3 P3  ...  Bin Pn
,
а оптимальной стратегией считается такая, для которой этот показатель эффективности имеет
максимальное значение, т.е.
B  max Bi  Tb ;
i
б) если каждому решению
вероятностями соответственно
Ti соответствует множество возможных результатов Bi j с
pi j
, то среднее значение выигрыша определяется по формуле:
Bi  Bi1P1  Bi 2 P2  Bi 3 P3  ...  Bij Pij  ...  Bi n Pi n
,
а оптимальной является такая стратегия, для которой получается максимальная величина
B  max Bi  Ti ;
i
В этом случае можно пользоваться значением среднего риска
ri  ri1Pi1  ri 2 Pi 2  ri 3 Pi 3  ...  rin Pin
,
который следует выбрать минимальным, т.е. определить такую стратегию Т , для которой
величина г обращается в минимум:
r  max ri  Tr ;
i
2.Максиминный критерий Вальда. Выбирается решение торговой организации
гарантируется максимальный выигрыш в наихудших условиях:
Tw , при котором
W  max min Bi j  max Bimin  Tw
j
i
i
.
3. Критерий пессимизма - оптимизма Гурвица.
Представляется логичным, чтобы при выборе решения вместо двух крайностей в оценке
ситуации (оптимизм - пессимизм) придерживаться некоторой промежуточной позиции,
учитывающей возможность как наихудшего так и наилучшего поведения природы. В
соответствии с этим компромиссным критерием для каждого решения определяется линейная
комбинация минимального и максимального выигрышей и выбирается та, для которой эта
величина окажется наибольшей.
G  max  x min Bi j  1  x max Bi j   TG

j
i
j

.
4. Критерий минимаксного риска Сэвиджа. По этому критерию выбирается та стратегия, при
которой величина риска имеет минимальное значение в самой неблагоприятной ситуации:
S  min max ri j  TS
i
j
.
12
Сущность критерия заключается в том, чтобы избежать большого риска при выборе решения.
Каждый из этих критериев не может быть признан вполне удовлетворительным для
окончательного выбора решений, однако их комплексный анализ позволяет более наглядно
представить следствия принятия тех или иных решений.
ЗАДАНИЕ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
Задачи 1-25.
Построить на плоскости область решений системы линейных неравенств и найти
максимальное и минимальное значения линейной функции в этой области.
1.
  x1  5 x2  0,
 x  2 x  14,
2
 1
 6 x1  36
 2 x  2 x  4,
2
 1
 3 x1  2 x2  6,
x1  0,
5.
 x1  2 x 2  0,
 6 x  9 x  27,
2
 1
  x1  x 2  4

x 2  5,

 3 x1  2 x 2  6,
x2  0.
x1  0,
F ( x )  2 x1  3x2  extr
F ( x )  6 x1  4 x2  extr
2.
 7 x1  3 x 2  21,
 x  x  0,
2
 1
 5 x1  x 2  5,

x1  1,

 3 x1  2 x 2  6,
x1  0,
x2  0.
F ( x )  14x1  6x2  extr
3.
 x1  x 2  2,
 x  6,
1

 3 x1  x 2  3,
 x  x  5,
2
 1
 x 2  6,
x1  0,
x2  0.
F ( x )  6x1  4x2  extr
4.
 x1  x 2  7,
 x  4 x  0,
2
 1
 x1  x 2  3,
4 x  x  0,
2
 1
 x 2  3
x1  0, x2  0.
F ( x )  3x1  3x2  extr
x2  0.
 x1  7 x 2  7,
 x  x  7,
2
 1
 x1  2 x 2  0,
5 x  2 x  0,
2
 1
x 2  4,

6. 
x1  0,
x2  0.
F ( x )  3x1  3x2  extr
 5 x1  x 2  10,
2 x  3 x  6,
2
 1
5
x

x
 1
2  20,
 5 x  x  0,
2
 1
x 2  7,

7. 
x1  0,
x2  0.
F ( x )  10x1  2x2  extr
8.
 x1  x 2  11,

x1  8,

 3 x1  6 x 2  18,

x 2  4,

 2 x1  3 x 2  7,
x1  0, x2  0.
F ( x )   x1  2x2  extr
13
9.
 3 x1  8 x 2  24,
 3 x  2 x  6,
1
2

 7 x1  9 x 2  63,
 x  5 x  5,
2
 1

  x1  5 x 2  0,
 3 x  x  0,

1
2

 7 x1  5 x 2 ` 35,
6 x  14 x 2  21,
10.  1
F ( x )  1,5x1  x2  extr
11.
x1  0,
x2  0.
 7 x1  3 x 2  21,
 3 x  3 x  6,
2
 2
x 2  4,


2 x1  5,

 3 x1  2 x 2  6,
12.
x1  0,
x2  0.
F ( x )  14x1  6x2  extr
13.
 5 x1  x 2  5,
 x  7 x  7,
2
 1
x 2  6,

2 x  2 x  14,
2
 1
 x1  x 2  2,
x1  0,
14.
 5 x1  x 2  5,
5 x  7 x  35,
2
 1
 2 x1  7 x 2  6,
 x  x  0,
2
 1

x 2  4,
x1  0, x2  0.
F ( x )  9x1  9x2  extr
 7 x1  2 x 2  14,
 x  11x  11,
 1
2

x

x
1
2  3,

 5 x1  7 x 2  35
15. 
F ( x )  14x1  4x2  extr
 2 x1  5 x 2  10,
 7 x  8 x  56,
2
 1
 5 x1  3 x 2  15,

x1  6,

 3 x1  2 x 2  6,
16. 
x1  0,
x2  0.
F ( x )  15x1  21x2  extr
17.
x1  0,
 2 x1  3 x 2  6,
 3 x  2 x  6,
2
2

 3 x1  2 x 2  12,

x 2  4,

  3 x1  2 x 2  6,
x1  0, x2  0.
F ( x )  4x1  6x2  extr
x2  0.
 x1  3 x 2  0,
  x  x  2,

1
2

4 x1  9 x 2  36,
 2 x1  x 2  0
x1  0,
F ( x )  3x1  7 x2  extr
x1  0, x2  0.
F ( x )  4x1  10x2  extr
18.
x2  0.
 3 x1  x 2  3,
 x  2 x  13,
 1
2

 2 x1  3 x 2  6,
 x1  3 x 2  3
x1  0,
F ( x )  2x1  2x2  extr
x2  0.
F ( x )  3x1  x2  extr
14
x2  0.
19.
 2 x1  6 x 2  12,
 x  x  9,
1
2


7
x

2
x 2  14,

1
  x  x  2,
1
2


x 2  8,
x1  0,
 2 x1  x 2  0,
3 x  3 x  9,
 1
2

2

x
2  5,

 x1  4,
20. 
x2  0.
x1  0,
F ( x )  2x1  4 x2  extr
x2  0.
F ( x )  2x1  2x2  extr
 x1  3 x 2  2,
 x  x  2,
 1
2

2
x

x
2  6,
 1
2 x  2 x 2  4,
21.  1
 x1  2 x 2  8,
 x  x  7,
 1
2

x

2
x
2  4,
 1

x1  6,
22. 
x1  0, x2  0.
F ( x )  2x1  6x2  extr
x1  0, x2  0.
F ( x )  2x1  6x2  extr
23.
 x1  2 x 2  2,
 x  2 x  9,
 1
2

 x1  x 2  0,

x1  4,
24.
x1  0, x2  0.
F ( x )  3x1  6x2  extr
25.
 x1  x 2  4,
3 x  x  0,
 1
2

 x1  x 2  6,
 x 2  3,
x1  0, x2  0.
F ( x )  3x1  3x2  extr
  x1  5 x2  0,
 x  2 x  14,
2
 1
6
x

36

1
 2 x  2 x  4,
2
 1
 3 x1  2 x2  6,
x1  0,
x2  0.
F ( x )  6 x1  4 x2  extr
Задачи № 26 - 50
Для реализации трех групп товаров коммерческое предприятие располагает тремя видами
b ,b ,b
ограниченных материально-денежных ресурсов в количестве 1 2 3 единиц. При этом для
продажи 1 группы товаров на 1 тыс. руб. товарооборота расходуется ресурса первого вида в
количестве а11 единиц, ресурса второго вида в количестве а 21 единиц, ресурса третьего вида в
количестве
а31
единиц. Для продажи 2 и 3 групп товаров на 1 тыс. руб. товарооборота расходуется
соответственно ресурса первого вида в количестве
количестве
а 22 , а 23
а12 , а13
единиц, ресурсов второго вида в
единиц, ресурсов третьего вида в количестве
а32 , а33
единиц. Прибыль от
с,с ,с
продажи трех групп товаров на 1 тыс. руб. товарооборота составляет соответственно 1 2 3
(тыс. руб.).
Определить плановый объем и структуру товарооборота так, чтобы прибыль торгового
предприятия была максимальной.
26. а11=3, а12=6, а13=4, a21=2, а22=1, а23=2, а31=2, а32=3, а33=1, b1=180, b2=50, b3=40, C1=6, С2=5, С3=5.
27. а11=1, а12=2, а13=1, а21=2, а22=1, а23=3, а31=4, а32=2, а33=1, b1=420, b2=600, b3=900, c1=3, С2=3, С3=4.
15
28. a11=16, а12=18, а13=9, a21=7, a22=7, a23=2, a31=9, a32=2, a33=3, b1=520, b2=140, b3=810, c1=8, с2=6,
С3=4.
29. а11=4, а12=8, а13=2, а21=3, а22=8, а23=4, а31=12, а32=4, а33=6, b1=116, b2=240, b3=432, C1=8, с2=6,
С3=6.
30. а11=8, a12=10, a13=20, a21=4, a22=13, a23=8, a31=2, a32=18, a33=12, b1=800, b2=520, b3=940, c1=3, c2=6,
С3=7.
31. а11=3, а12=3, а13=9, a21=10, a22=9, a23=15, a31=5, a32=5, a33=1, b1=810, b2=900, b3=250, C1=7, c2=7,
C3=6.
32. а11=17, а12=5, а13=5, а21=8, а22=6, а23=6, а31=4, а32=2, а33=4,b1=850, b2=1120, b3=1060, d=8, С2=7,
с3=4.
33. а11=2, a12=1, a13=6, а21=3, а22=3, а23=9, a31=2, a32=1, а33=2,b1=240, b2=540, b3=120, c1=14, С2=6,
С3=22.
34. а11=2, а12=3, а13=6, а21=6, а22=8, а23=2, a31=3, a32=43, а33=2,b1=450, b2=400, b3=350, с1=З, С2=5,
С3=4.
35. a11=1, a12=1, a13=1, a21=2, а22=1, а23=3, а31=3, аз2=2, а33=3,b1=160, b2=200, b3=240, c1=4, С2=3, С3=5.
36. а11=2, a12=3, а13=6, а21=4, а22=2, а23=4, а31=4, а32=6, а33=8,b1=240, b2=200, b3=160,C1=4, С2=5, С3=4.
37. а11=9, а12=9, a13=2, a21=4, a22=3, a23=2, a31=1, a32=2, a33=4,b1=180, b2=120, b3=220, c1=7, c2=8, C3=6.
38. а11=18, а12=9, а13=6, а21=4, а22=2, а23=4, a31=3, a32=3, а33=1,b1=540, b2=340, b3=120, с1=3, С2=4,
с3=3.
39. а11=3, а12=2, a13=1, a21=4, а22=2, а23=4, а31=3, а32=3, а33=4,b1=70, b2=80, b3=120, c1=7, с2=8, с3=7.
40. а11=4, а12=2, a13=5, a21=2, а22=8, а23=4, a31=11, a32=4, a33=2,b1=250, b2=160, b3=440,c1=7, С2=6,
С3=8.
41. а11=7, a12=4, a13=5, a21=6, a22=2, a23=4, a31=7, a32=14, а33=7,b1=280, b2=160, b3=420, С1=18, С2=16,
С3=15.
42. а11=5, а12=8, а13=4, а21=5, а22=5, а23=6, a31=10, a32=2, азз=5, b1=400, b2=300, b3=200,c1=4, C2=3,
С3=2.
43. a11=5, а12=5, a13=2, а21=4, а22=6, а23=8,a31=5, а32=6, а33=2, b1=250, b2=500, b3=300, c1=10, с2=5, с3=9.
44. а11=7, a12=7, а13=4, a21=2, a22=4, a23=8, a31=16, а32=12, а33=10, b1=280, b2=160, b3=530, с1=10, с2=10,
c3=12.
45. а11=7, а12=10, а13=11, а21=8, а22=б, а23=4, a31=12, a32=4, а33=16, b1=740, b2=820, b3=480, c1=10, с2=8,
с3=7.
46. а11=2, а12=2, а13=4, а21=1, а22=5, а23=1, a31=6, a32=2, а33=1, b1=540, b2=360, b3=180, c1=3, с2=2, с3=1.
47. а11=10, а12=6, а13=8, a21=6, а22=6, а23=4, а31=10, а32=12, а33=6, b1=840, b2=296, b3=620, c1=6, с2=5,
с3=5.
48. a11=10, а12=5, а13=10, а21=26, а22=13, а23=4, а31=3, а32=4, а33=2, b1=670, b2=520, b3=480, c1=8, с2=6,
с3=6.
49. а11=9, а12=9, а13=3, а21=3, а22=6, а23=9, a31=7, a32=4, а33=12, b1=801, b2=453, b3=280, c1=3, с2=2, с3=2.
50. а11=10, а12=5, а13-5, а21=7, а22=2, а23=4, а31=7, а32=3, а33=3, b,=290, b2=140, b3=210, c1=10, с2=9,
с3=5.
51- 52. Розничное торговое, предприятие разработало несколько вариантов плана продажи товаров
на предстоящей ярмарке с учетом меняющейся конъюнктуры рынка и спроса покупателей,
получающиеся от их возможных сочетаний величины прибыли представлены в виде матрицы
выигрышей. Определить оптимальный план продажи товаров.
51.
=0,7
Величина прибыли, тыс. руб.
Состояние конъюнктуры рынка
План продажи
К1
К2
К3
К4
П1
П2
П3
5,0
4,5
5,1
4,0
4,2
5,6
3,9
4,3
3,6
4,1
4,7
4,0
П4
3,5
3,9
4,6
3,8
16
52.
=0,6
План продажи
К1
Величина прибыли, тыс. руб.
Состояние конъюнктуры рынка
К2
К3
К4
П1
П2
П3
5
2
1
2
4
2
3
3
1
5
1
2
П4
2
1
4
1
53.- 55. Экономисты оптового торгового предприятия на основе возможных вариантов поведения
поставщиков
П1 , П 2 , П3 , П 4 ,
разработали несколько своих хозяйственных планов
О1 , О2 , О3 , О4 , а результаты всех возможных исходов представили в виде матрицы прибыли
(выигрышей). Определить оптимальный план оптового торгового предприятия.
53.
=0,8
Величина прибыли, тыс. руб.
Состояние конъюнктуры рынка
План продажи
П1
П2
П3
П4
О1
О2
О3
2,3
3,4
3,0
3,4
3,0
2,9
2,6
3,7
2,8
3,8
3,6
3,0
О4
4,0
2,9
4,0
4,2
54.
=0,7
Величина прибыли, тыс. руб.
Состояние конъюнктуры рынка
План продажи
П1
П2
П3
П4
О1
О2
О3
3
6
8
4
9
7
5
2
10
2
7
6
О4
4
8
1
11
55.
=0,6
Величина прибыли, тыс. руб.
Состояние конъюнктуры рынка
План продажи
П1
П2
П3
П4
О1
О2
О3
0,8
1,4
3,2
2,6
4,2
0,1
1,6
2,2
2,6
3,8
0,2
0,4
О4
1,4
4,0
2,0
5,2
Н , Н , Н ,
1
2
3
56.- 57. Розничное предприятие торговли формирует заявку на новые товары
заменяющие старые товары, хорошо известные покупателям. Методы изучения спроса позволили
составить матрицу условных вероятностей Р ij
продажи старых товаров
C1 , C 2 , C3 ,
при
наличии конкурирующих новых товаров в торговой сети.
Составить план-заказ на товары, чтобы обеспечить оптимальное соотношение между их продажей.
17
56.
Новые товары
Старые товары
Н1
Н2
Н3
С1
С2
С3
0,69
0,36
0,14
0,28
0,73
0,17
0,15
0,45
0,58
57.
Новые товары
Старые товары
Н1
Н2
Н3
С1
С2
С3
0,76
0,17
0,25
0,67
0,25
0,28
0,65
0,33
0,16
58.- 59. Предприятие общественного питания планирует выпуск трех партий новых, ранее не
производимых полуфабрикатов
П1 , П 2 , П 3 ,
в условиях неясной рыночной конъюнктуры,
П, П , П ,
2
3
относительно которой известны лишь отдельные возможные состояния 1
, а также
возможные объемы товарооборота по каждому варианту, их условные вероятности которые
представлены в виде Pij матрицы. Определить предпочтительный план выпуска полуфабрикатов.
58.
Партии полуфабрикатов
Объем товара при различных состояниях рыночной конъюнктуры
П1
П2
П3
Р1
Р2
Р3
Р4
0,4
2,2
0,3
2,6
0,2
3,0
0,1
3,8
0,2
2,4
0,3
2,0
0,2
2,8
0,1
3,1
0,2
1,8
0,3
3,2
0,4
3,3
0,3
2,5
59.
Партии
полуфабрикатов
П1
П2
П3
Объем товара при различных состояниях рыночной конъюнктуры
Р1
Р2
Р3
Р4
0,2
2,4
0,3
1,4
0,4
1,2
0,3
0,9
0,2
1,8
0,1
2,0
0,2
1,7
0,1
1,3
0,2
1,8
0,3
1,2
0,4
1,6
0,3
1,3
60.
Партии
полуфабрикатов
П1
П2
П3
Объем товара при различных состояниях рыночной конъюнктуры
Р1
Р2
Р3
Р4
0,3
1,2
0,4
1,5
0,2
1,7
0,2
2,1
0,1
1,3
0,3
1,6
0,1
1,7
0,2
1,6
0,2
1,9
0,4
2,0
0,3
1,8
0,3
1,4
18