Практическое занятие

Практическое занятие
Вычисление определителей.
Решение систем методом Крамера.
Определитель третьего порядка можно вычислять двумя способами: методом
треугольника и разложением по элементам строки.
Метод треугольника.
а11 а12 а13
а 21 а 22 а 23 = (a11∙a22∙a33+a21∙a32∙a13+a31∙a12∙a23)-(a13∙a22∙a31+a23∙a32∙a11+a33∙a21∙a12).
а31 а32 а33
Формула легче запомнить, если воспользоваться следующим наглядным правилом знаков
для выписывания произведений, входящих в разложение определителя третьего порядка
  
  
  
  
  
  
Разложение по элементам строки.
а11 а12 а13
a 22 a 23
a 21 a 23
a a 22
- а12 ∙
+ а13 ∙ 21
- разложение определителя третьего
а 21 а 22 а 23 = а11 ∙
a32 a33
a31 a33
a31 a32
а31 а32 а33
порядка по элементам первой строки.
Общая формула разложения определителя третьего порядка.
а11 а12 а13
3
3
а 21 а 22 а 23 =  ai , g ∙Аi,j=  ai , g ∙(-1)i+j ∙ Mi,j,
а31 а32 а33
i , j 1
i , j 1
Аi,j – алгебраическое дополнение элемента ai , g в определителе, равное произведению
минора Mi,j (определителя) второго порядка полученного вычеркиванием i-ой строки и j –
столбца в определителе на (-1)i+j ,
Аi,j=(-1)i+j Mi,j
Решение систем линейных уравнений методом Крамера
 a11 x1  a12 x2  ....  a1n xn  b1 ,
a x  a x   a x  b ,
 21 1 22 2 ....
2n n
2

 ...........................................

 a n1 x1  a n 2 x2  ....  a nn xn  bn .
Теорема (Правило Крамера) Если в системе
линейных уравнений с
неизвестными
определитель системы  не равен нулю, то система имеет решение и при том
единственное, которое находится по формулам: x1 

1

, x2  2 , x3  3 , где  1,  2,  3 


вспомогательные определители, полученные из основного определителя  заменой
соответственно
1,
b2 a 22 .....a 2 n
...................
bn a n 2 .....a nn
3
столбцов
а11b1 .....a1n
b1 a12 .....a1n
1 
2,
,2 
а 21b 2 .....a 2 n
...................
а n1bn .....a nn
столбцом
свободных
членов,
т.е.
а11а 21 .....b1
, 3 
а 21a 22 .....b2
...................
.
а n1 a n 2 .....bn
Если определитель системы равен 0 возможны два варианта:
1. Δ =0 и каждый определитель Δ1  0 , Δ2  0 ,  , Δn  0 . Это имеет место только в
случает, если коэффициенты при неизвестных пропорциональны, т.е каждое
уравнение системы получается из первого при умножении его обеих частей на k.
При этом система имеет бесконечно много решений.
2. Δ =0, но хотя бы один из определителей Δ i отличен от нуля. Это возможно только
в случае когда коэффициенты при всех неизвестных кроме xi пропорциональны.
При этом получается система из противоречивых уравнений, которая не имеет
решений.
Пример №1.
Вычислите определитель двумя способами
5 3 0
1
2
1
0
4
2
Решение.
Метод треугольника:
5 3 0
1 2 1 = 5  2  2  1  4  0  1  (3)  0  0  2  0  4  1  5  1  (3)  2 = 20  0  0  0  20  6 =6
0 4 2
Разложение по элементам первой строки:
5 3 0
2 1
1 1
1 2
 (3) 
 0
 5  (4  4)  3  (2  0)  0  6 .
1 2 1 =5
4 2
0 2
0 4
0 4 2
Пример №2.
Решите систему линейных уравнений методом Крамера
2 х  3 у  13

5 х  у  7
Решение.
Находим определитель, составленный из коэффициентов при переменных
2 3
Δ
 2  (1)  3  5  2  15  17 .
5 1
Находим первый вспомогательный определитель. Первый столбец – столбец свободных
коэффициентов, а второй столбец – коэффициенты при переменной у.
13 3
 13  (1)  3  7  13  21  34 .
7 1
Находим второй вспомогательный определитель. Первый столбец – коэффициенты при
переменной х, а второй столбец – столбец свободных коэффициентов.
2 13
Δ2 
 2  7  13  5  14  65  51 .
5 7
Δ1 
Δ1
 34
, х
, х  2.
 17
Δ
Δ
 51
, у  3.
у 2 , у
 17
Δ
Ответ: (2;3)
х
Пример №3.
Решите систему уравнений методом Крамера
 х  2 у  3z  6

2 x  3 y  4 z  20
3x  2 y  5 z  6

Решение.
1 2 3
3 4
2 4
2 3
Δ  2 3  4  1
 (2) 
 3
 1  (15  8)  2  (10  12)  3  (4  9) 
2 5
3 5
3 2
3 2 5
 23  4  39  58
6 2 3
3 4
20  4
20 3
Δ1  20 3  4  6 
 (2) 
 3
 6  (15  8)  2  (100  24) 
2 5
6 5
6 2
6 2 5
 3  (40  18)  138  152  174  464
1
6
3
20  4
2 4
2 20
Δ2  2 20  4  1 
 6
 3
 100  24  6  (10  12)  3  (12  60) 
6 5
3 5
3 6
3 6 5
 76  12  144  232
1 2 6
3 20
2 20
2 3
Δ3  2 3 20  1 
 (2) 
 6
 18  40  2  (12  60)  6  (4  9) 
2 6
3 6
3 2
3 2 6
 58  96  78  116
Δ
 464
, х  8.
х 1 , х
 58
Δ
Δ
 232
, у  4.
у 2 , у
 58
Δ
Δ
 116
, z  2.
z 3, z
 58
Δ
Ответ:(8,4,2)
Задания для самостоятельного решения
1. Вычислите определитель двумя способами
1 3 2
4 3 1
2 3 5
а) 2 0 3
б) 0 1 0
в) 1 0 1
4 2
г) 1 3
0
0 1 1
2 1 2
5 7 6
2. Решите систему двумя способами
х  у  z  4

а)  x  2 y  3z  7
x  y  5z  8

 x  y  z  5

б) 3x  2 y  z  3
2 x  y  3z  21

x  2 y  4z  3

в) 2 x  4 y  3z  1
3x  y  5 z  2

 x  2 y  z  7

г) 3x  y  6 z  19
 4 x  3 y  z  8

0 2 1
5