4 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ

57
Глава 4 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ.
§1 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ И НА МНОЖЕСТВЕ
Определение 1 Функция y = f ( x ) называется непрерывной в точке x 0 , если
выполняются следующие три условия :
1) функция y = f ( x ) определена в точке x 0 , т.е. x 0 ∈D( f ) .
2) существует lim f ( x )
x→ x0
3) lim f ( x ) = f ( x 0 )
x → x0
Если в точке x 0 нарушено хотя бы одно из условий то функция называется разрывной
в точке x 0 , а точка x 0 называется точкой разрыва
Определение 2 Функция y = f ( x ) называется непрерывной в точке x 0 , если
∀ε > 0 ∃δ > 0: ∀x x − x 0 < δ ⇒ f ( x ) − f ( x 0 ) < ε
Так как x − x 0 = Δx -приращение аргумента, а f ( x ) − f ( x 0 ) = Δy -приращение
функции в точке x 0 то
функция y = f ( x ) непрерывна в точке x 0 , если для ∀ε > 0∃δ > 0:
Δx < δ ⇒ Δy < ε т.е. Δy → 0 при Δx → 0 .
y
lim f ( x ) = f x0
x → x0
0
f(x0)
0
x0
x
58
Определение 3 Функция y = f ( x ) называется непрерывной в точке x 0 , если
бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое
приращение функции, т.е.
lim Δy = 0
Δx → 0
Определение 4 Функция y = f ( x ) , непрерывная во всех точках множества Х,
называется непрерывной на этом множестве.
§ 2 Точки разрыва функции и их классификация
Если хотя бы одно из условий определения 1 не выполнено, то точка x 0 , является
точкой разрыва. Различают следующие случаи :
1) Существует lim f ( x ) , но или x 0 ∉D( f ) или lim f ( x ) ≠ f ( x 0 ) , то точка
x→ x0
x → x0
x 0 называется точкой устранимого разрыва.
y
x0
0
x
2) Не существует lim f ( x ) , но существуют два конечных односторонних
x→ x0
предела lim f ( x ) = f ( x − 0) и lim f ( x ) = f ( x + 0) , которые не равны между собой, то
x → x0 − 0
x → x0 + 0
точка x 0 называется точкой разрыва первого рода, а разность f ( x + 0) − f ( x − 0)
скачком функции f ( x ) в точке x 0 .
y
59
3) Если хотя бы один из односторонних пределов обращается в бесконечность
или не существует то точка x 0 называется точкой разрыва второго рода.
y
x
x0
0
60
Примеры 1) Исследовать на непрерывность функцию f ( x ) =
sin x
x
Найдем односторонние пределы в нуле:
sin x
= 1,
x→−0
x
lim
sin x
=1
x→+0
x
lim
В нуле мы имеем точку устранимого разрыва.
2) Исследовать на непрерывность функцию f ( x ) =
1
x −1
Найдем односторонние пределы функции в окрестности единицы
1
= −∞,
x→1−0 x − 1
lim
1
= +∞,
x→1+0 x − 1
lim
Следовательно в имеем в единице точку разрыва второго рода.
y
f (x) =
1
x −1
x
1
0
⎧− x ∀x ≤ 0
⎪
3) Исследовать на непрерывность функцию f ( x ) = ⎨ x 2 + 1 0 < x ≤ 1
⎪2 x > 1
⎩
Вычисляем односторонние пределы в точках х=0 и х=1
lim f ( x) = lim − x = 0 , lim f ( x) = lim (x 2 + 1) = 1 ;
x→−0
x→−0
x→+0
x → +0
Следовательно, в нуле функция терпит разрыв первого рода
(
)
lim f ( x) = lim x 2 + 1 = 2
x→1−0
x→1−0
lim f ( x) = lim 2 x = 2
x→1+0
В единице функция непрерывна.
x→1+0
61
y
x
1
0
§3 ДЕЙСТВИЯ НАД НЕПРЕРЫВНЫМИ ФУНКЦИЯМИ.
НЕПРЕРЫВНОСТЬ ОСНОВНЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
Теорема 1 Если функции f ( x ) и g( x ) непрерывны в точке x 0 , то и функции
f ( x ) ± g( x ) , f ( x ) g ( x ) непрерывны в точке x 0 . Если, кроме того, g( x 0 ) ≠ 0 , то функция
f (x )
g ( x ) является также непрерывной в точке x 0 .
> Из непрерывности функций f ( x ) и g( x ) следует lim f ( x ) = f ( x 0 ) ,
x→ x0
lim g( x ) = g( x 0 ) . Тогда
x → x0
lim f ( x ) g( x ) = lim f ( x ) ⋅ lim g( x ) = f ( x 0 ) g( x 0 ) .
x → x0
x → x0
x → x0
Аналогично доказываются другие утверждения. Теорема допускает обобщение на
случай конечного числа слагаемых (сомножителей).
Следствиями из теоремы 1 являются теоремы 2 и 3.
Теорема 2 Многочлен
непрерывной для любого x ∈ R
Pn ( x ) = a0 + a1 x +...+ an x n , ak ∈ R
является функцией
Теорема 3 Всякая рациональная функция P( x ) Q( x ) непрерывна в любой точке
x ∈ R , для которой Q( x ) ≠ 0 , где P( x ), Q( x ) - многочлены.
Сформулируем теорему о непрерывности сложной функции.
Теорема 4 Сложная функция, являющаяся композицией конечного числа
непрерывных в точке x 0 функций, непрерывна в точке x 0 .
> Докажем теорему для случая двух функций. Пусть y = f ( u ) , u = ϕ ( x ) , тогда
по определению сложной функции
y = f o ϕ ⇔ y = f (ϕ ( x )) = F ( x ) .
Пусть u0 = ϕ (x0 ) и y0 = f (u0 )
Выберем произвольное число ε > 0 в силу непрерывности функции f (u )
∃σ > 0 : u − u0 < σ ⇒ f (u ) − f (u0 ) < ε
62
х
y
y0=f(u0)
y
В силу непрерывности функции ϕ (x ) по полученному числу σ > 0
∃δ > 0 : x − x0 < δ ⇒ ϕ ( x ) − ϕ ( x0 ) = u − u0 < σ
В итоге получаем, что ε > 0
∃δ > 0 : x − x0 < δ ⇒ ϕ (x ) − ϕ (x0 ) = u − u0 < σ ⇒
⇒ f (u ) − f (u0 ) = f (ϕ ( x )) − f (ϕ ( x0 )) = F ( x ) − F ( x0 ) < ε ,
тем самым доказана непрерывность сложной функции.
Из определения непрерывной функции в точке x 0 и теоремы 4 следует
⎛
⎞
lim f (ϕ ( x )) = f ⎜ lim ϕ ( x )⎟
⎝
⎠
x→x0
x→ x0
или в частном случае
⎛
⎞
lim f ( x ) = f ⎜ lim x⎟
⎝
x→ x0
x→ x0 ⎠
т.е. символы предела и непрерывной функции перестановочны.
Имеет место
Теорема 5 Пусть функция y = f ( x ) определена, непрерывна и монотонна на
некотором множестве Х и пусть Y - множество ее значений. Тогда на множестве Y
обратная функция x = f −1 ( y ) монотонна и непрерывна.
Теорема 6 Основные элементарные функции непрерывны во всех точках,
принадлежащих области определения.
§ 4. СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, НЕПРЕРЫВНЫХ НА ОТРЕЗКЕ
Теорема 7 (Вейерштрасса) Если функция непрерывна на отрезке [a;b]
то на этом отрезке она ограничена и достигает своих нижней и верхней граней,
т.е. существует по крайней мере две точки c1 и c2 , такие, что
y
f (c1 ) = inf f ( x), f (c2 ) = sup f ( x)
[ a ;b ]
f c 2 = sup f x
[a; b ]
[ a ;b ]
63
Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (Weierstraβ Karl
Theodor Wilhelm
31.10.1815 - 19.2.1897)- немецкий математик.
Теорема 8 Если функция f ( x ) непрерывна в точке x 0 и f ( x 0 ) ≠ 0 , то
существует такая окрестность точки x 0 , в которой знак функции совпадает со
y
знаком f ( x 0 ) .
f(x0)
x0
0
x
64
Теорема 9 (Больцано - Коши) Если функция f ( x ) непрерывна на отрезке [a;b]
и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри этого отрезка
существует по крайней мере одна точка, в которой значение функции равно нулю:
y
f ( x ): f ( a ) f ( b ) < 0 ⇒ ∃x 0 ∈( a; b): f ( x 0 ) = 0
B(b,f(b))
x
0
A(a,f(a))
Больцано Берннард (Bolzano Bernard 5.10.178118.12.1848) чешский математик теолог и философ.
Коши Огюстен Луи (Cauchy Augustin Luis 21.8.1789-23.5.1857)
французский математик.
65
Теорема 10 (о промежуточных значениях). Пусть f(x) непрерывна на отрезке
[a;b] и f(a)=A, f(b)=B. Тогда для любого числа С, заключенного между А и В найдется
такая точка c ∈[a; b] , что f ( c ) = C .
Теорему можно сформулировать иначе : непрерывная функция, переходя от одного
значения к другому, обязательно принимает промежуточные значения.
y
B
A
0
x
Определение Функция f ( x ) называется кусочно - непрерывной на отрезке
[a;b] если она непрерывна во всех внутренних точках [a;b] за исключением, быть
может конечного числа точек, в которых функция имеет разрыв первого рода или
устранимый разрыв, и, того имеет односторонние пределы в точках a и b.
§ 5 РАВНОМЕРНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
Определение Функция f ( x ) называется равномерно непрерывной на
множестве D ⊂ R , если для ε>0, найдется δ ( ε ) > 0 , такое что для любых двух
x1 , x 2 ∈ D , удовлетворяющих условию
x1 − x2 < δ , выполняется неравенство
f ( x1 ) − f ( x2 ) < ε
Примером равномерно непрерывной функции является y = 2 x + 1
Если функция равномерно непрерывна на множестве D, то она непрерывна на этом
множестве. (Обратное не всегда справедливо)
Имеет место следующая