Серия 3, содержащая важные идеи

Серия 3, из простых и не очень задач с важными идеями
Серия 3, из простых и не очень задач с важными идеями
1. На сторонах AD и DC выпуклого четырехугольника ABCD взяты точки P и Q так, что
ABP = CBQ. Отрезки AQ и BP пересекаются в точке E . Докажите, что  ABE = 
CBD.
1. На сторонах AD и DC выпуклого четырехугольника ABCD взяты точки P и Q так, что
ABP = CBQ. Отрезки AQ и BP пересекаются в точке E . Докажите, что  ABE = 
CBD.
2. Дан треугольник ABC . Через точку X, лежащую внутри него, проводится отрезок cX,
параллельный AB, с концами на сторонах AB и BC, и отрезок bX, параллельный AC, с концами на сторонах AB и CB . Докажите, что все точки X, для которых длины отрезков bX и
cX равны, лежат на одной прямой.
2. Дан треугольник ABC . Через точку X, лежащую внутри него, проводится отрезок cX,
параллельный AB, с концами на сторонах AB и BC, и отрезок bX, параллельный AC, с
концами на сторонах AB и CB . Докажите, что все точки X, для которых длины отрезков
bX и cX равны, лежат на одной прямой.
3. AB – хорда окружности S . Окружности S1 и S2 касаются окружности S в точках P и Q
соответственно и отрезка AB в точке K . Оказалось, что  PBA =  QBA . Докажите, что
AB – диаметр окружности S .
3. AB – хорда окружности S . Окружности S1 и S2 касаются окружности S в точках P и Q
соответственно и отрезка AB в точке K . Оказалось, что  PBA =  QBA . Докажите, что
AB – диаметр окружности S .
4. Различные простые числа p и q таковы, что при некотором целом k>2 число р2+kpq+q2
– точный квадрат. Докажите, что (р-2)(q-2) ≤ k+2 .
4. Различные простые числа p и q таковы, что при некотором целом k>2 число р2+kpq+q2
– точный квадрат. Докажите, что (р-2)(q-2) ≤ k+2 .
5. Пусть A1 , B1 и C1 – проекции точки Лемуана K на стороны треугольника ABC. a) Докажите, что K –центроид треугольника A1B1C1. b) Докажите, что медиана AM треугольника
ABC перпендикулярна прямой B1C1 .
6. Пусть P(x) – многочлен с целыми коэффициентами, P(x)>0 при x≤0 . Последовательность a0, a1, a2,… задана соотношениями a0 = 0 и an = P(an-1) при n≥1 . Докажите, что a)
a(n,m) = (an,am) ; b) an+1an+2… an+k кратно a1a2…ak для любых натуральных n, k .
5. Пусть A1 , B1 и C1 – проекции точки Лемуана K на стороны треугольника ABC. a) Докажите, что K –центроид треугольника A1B1C1. b) Докажите, что медиана AM треугольника ABC перпендикулярна прямой B1C1 .
6. Пусть P(x) – многочлен с целыми коэффициентами, P(x)>0 при x≤0 . Последовательность a0, a1, a2,… задана соотношениями a0 = 0 и an = P(an-1) при n≥1 . Докажите, что a)
a(n,m) = (an,am) ; b) an+1an+2… an+k кратно a1a2…ak для любых натуральных n, k .
7. a) Пусть f – многочлен с целыми коэффициентами. Известно, что уравнение f(x)=x не
имеет решений в целых числах. Докажите, что уравнение f(f(f(x)))=x тоже не имеет решений в целых числах.
7. a) Пусть f – многочлен с целыми коэффициентами. Известно, что уравнение f(x)=x не
имеет решений в целых числах. Докажите, что уравнение f(f(f(x)))=x тоже не имеет решений в целых числах.
b) Пусть f – многочлен с вещественными коэффициентами. Известно, что уравнение
f(x)=x не имеет решений в вещественных числах. Докажите, что уравнение f(f(f(x)))=x тоже не имеет решений в вещественных числах.
b) Пусть f – многочлен с вещественными коэффициентами. Известно, что уравнение
f(x)=x не имеет решений в вещественных числах. Докажите, что уравнение f(f(f(x)))=x
тоже не имеет решений в вещественных числах.
8. Пусть a,b,c,d>0 . Докажите неравенства
8. Пусть a,b,c,d>0 . Докажите неравенства
а)
a
b
c
d
4



 ;
bcd cd a d ab abc 3
а)
a
b
c
d
4



 ;
bcd cd a d ab abc 3
б)
a
b
c
d
2




b  2c  3d c  2d  3a d  2a  3b a  2b  3c 3
б)
a
b
c
d
2




b  2c  3d c  2d  3a d  2a  3b a  2b  3c 3
9. Дано n различных натуральных чисел. На доску выписали все их попарные наибольшие общие делители и наименьшие общие кратные. Докажите, что среди выписанных
чисел есть не менее n различных.
10. Пара различных натуральных чисел называется хорошей, если у них одинаковые
наборы простых делителей. Докажите, что существует бесконечно много хороших пар
чисел (m, n) для которых пара (m+1, n+1) также является хорошей.
9. Дано n различных натуральных чисел. На доску выписали все их попарные наибольшие общие делители и наименьшие общие кратные. Докажите, что среди выписанных
чисел есть не менее n различных.
10. Пара различных натуральных чисел называется хорошей, если у них одинаковые
наборы простых делителей. Докажите, что существует бесконечно много хороших пар
чисел (m, n) для которых пара (m+1, n+1) также является хорошей.
11. На основании AC треугольника ABC взяты точки M и N так, что радиусы окружностей, вписанных в треугольники ABM и CBN, равны. Докажите, что радиусы окружностей, вписанных в треугольники ABN и CBM , также равны.
11. На основании AC треугольника ABC взяты точки M и N так, что радиусы окружностей, вписанных в треугольники ABM и CBN, равны. Докажите, что радиусы окружностей, вписанных в треугольники ABN и CBM , также равны.