«Российская аэрокосмическая олимпиада школьников по математике» 9 класс (1 вариант) 1.

«Российская аэрокосмическая олимпиада школьников по математике»
Отборочный этап 2012/13
9 класс (1 вариант)
1. В окружности градусная мера дуги АВ равна 60 градусов. Докажите, что хорда АВ является стороной
правильного n-угольника, вписанного в окружность, и её длина равна радиусу этой окружности.
2. Постройте график функции
прямая y=b имеет с графиком ровно одну общую точку.
и определите, при каких значениях параметра b
3 Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что точка E делит BC на части 4 см и 12 см, считая
от вершины B,
= 30 градусов,
.
4. Докажите, что трапецию можно вписать в окружность, если она равнобедренная.
5. Катер с отдыхающими проплыл по течению реки некоторое расстояние. После чего сделал остановку
на 1 час и вернулся обратно, затратив на всю прогулку 10 часов. Найдите, какое расстояние проплыл
катер, если скорость течения реки 2 км/ч, а его собственная скорость 18км/ч?
6. Постройте график функции y=-3|x|+x+ и определите, при каких значениях a прямая y=a имеет с
графиком этой функции ровно три общие точки.
7. Две окружности с центрами
и
имеют общую хорду CB. В каждой из окружностей проведены
хорды BD и АС соответственно. Прямые BD и АС являются касательными к окружностям с центрами
и
соответственно. Найдите косинус угла АВС, если BD = 7, CD = 3, АВ = 12.
8. На рисунке выполняется
Докажите, что AC=BD.
9. На рисунке выполняется
Докажите, что FE=LK.
LFK =
FLE, LE=FK.
10. Сократите дробь
11. Найдите сумму иррациональных чисел
12. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 4 и не превосходящих 170.
13. При каких значениях k чисто 3 находится между корнями уравнения x2+x+(k-1)(k+7)=0
14. Арифметическая прогрессия задана формулой n-го члена
Найдите сумму первых тридцати ее членов с четными номерами:
15. Решите уравнение