Тезисы выступления на Международной конференции «Тихонов и современная математика» (Москва, 2005 г.). КОНЕЧНО-ГЛАДКАЯ НОРМАЛИЗАЦИЯ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ В ОКРЕСТНОСТИ ФОКУСА Самовол В.С. ([email protected]) Государственный университет-Высшая школа экономики FINITELY SMOOTH NORMALISATION of AUTONOMOUS SYSTEM in the NEIGHBOURHOOD of the FOCUS Samovol V. S. ([email protected]) State University – Higher School of Economics Рассматривается задача локальной конечно-гладкой приводимости вещественной автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений к нормальной форме в окрестности особой точки. Достаточно хорошо изучены системы, спектр линейной части которых не пересекается с мнимой осью. Здесь речь пойдет о слабо вырожденных системах, матрица линейной части которых имеет два чисто мнимых (сопряженных) собственных числа, в то время как другие собственные числа лежат вне мнимой оси. Рассмотрим вещественную автономную систему где , Q( ) R d Q( ) , dt (1) n 2 , n 0, Q( ) аналитическая функция в некоторой ~ окрестности начала координат, Q(0) 0 , матрица A Q(0) имеет n собственных чисел, лежащих вне мнимой оси и пару чисто мнимых собственных чисел. Наша цель состоит в определении вида нормальной формы такой системы уравнений и в выяснении условий существования конечно-гладкого невырожденного преобразования, приводящего систему (1) к нормальной форме в некоторой окрестности начала координат. В системе (1) имеется двумерное инвариантное центральное многообразие, на котором в окрестности особой точки интегральные кривые либо замкнуты (случай центра), либо являются спиралями (случай фокуса). Нас интересуют системы, имеющие фокус на центральном многообразии. ~ Пусть 1,, n собственные числа матрицы A с ненулевой действительной частью, n 1 i , n 2 i , 0, i мнимая единица. С помощью стандартного линейного преобразования система (1) приводится к виду, где матрица ~ A имеет жорданову форму 2 dx j dt dy j dt j x j 1 j x j f j ( x, y ), j 1, , n, (2) n j y j g j ( x, y ), j 1,2. Здесь x j , y j комплексные координаты, ó ( y1, y2 ). Переменные x j мы будем называть невырожденными, а переменные y j , соответственно, вырожденными. Теорема. Для любого целого числа k 1 существует k невырожденное преобразование класса C , приводящее систему (2), имеющую фокус на центральном многообразии, к нормальной форме, имеющей вид полинома по невырожденным координатам, коэффициентами которого являются функции класса C , зависящие от вырожденных координат. Литература [1] Брюно А.Д. Аналитическая форма дифференциальных уравнений// Тр. ММО. 1971. Т. 25. С. 119-262. [2]Белицкий Г.Р. Гладкая эквивалентность ростков векторных полей//Функциональный анализ и его приложения. 1986. Т. 20, вып. 4. С. 1-8. [3] Самовол В.С. Нормальная форма автономной системы с одним нулевым корнем //Математические заметки. 2004. Т. 75, вып. 5. С. 711-720. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 03-01-00426.