полностью работу

МОУ Дмитровская вечерняя (сменная)
общеобразовательная школа
Проблемный урок
Тема: «Минимум
и максимум функции»
Мансурова С.И.
Провел: учитель математики
г.Дмитров
1
Цели урока.
Образовательная:
 направить учащихся на применении своих знаний и умений на
решение поставленной проблемы (определение max и min функции
на интервале с помощью производной);
 создавать логическую схему ответа;
 вооружить учащихся умением самостоятельно мыслить;
 проверить усвоение учащимися изученного материала.
Развивающая:
 развития элементов творческой деятельности как качеств
мышления – интуиции;
 развитие устной и письменной речи (в том числе, математической);
 умение анализировать.
Воспитательная:
 воспитание настойчивости в достижении поставленной цели;
 воспитывать у учащихся внимательное и бережное отношение
к друг другу, умения общаться.
Тип урока: проблемный.
Основная дидактическая цель: научить учащихся обращаться с
функциями, заданными формулами, видеть их поведение в точках,
на промежутках, выделять их главную часть, отбрасывать не
существенные в рассматриваемом вопросе добавки.
Оборудование. Плакаты с изображением графиков функций, тест.
Структура урока.
1. Сообщение темы, цели и задач урока. (3 мин.)
2. Подготовка к изучению нового материала повторением знаний теории
(определение точек максимума и минимума функции), а также
проверкой умений находить по графику функции точек экстремума.
(10 мин.)
2
3. Ознакомление с новым материалом (решение поставленной
проблемы):
а) на конкретных примерах выявить связь точек экстремума с
изменением знака производной при прохождении через
критическую точку;
б) анализ полученных результатов и формулировка выводов;
в) обобщение полученных результатов исследования.(22 мин.)
4. Первичное осмысление и заучивание рассмотренных правил через их
применение в различных случаях и решение примеров.(10 мин.)
5. Постановка домашнего задания: при исследовании функции на
возрастания и убывания и экстремумы с помощью производной и
построение эскиза графика подумать над решением проблемы «Что
еще нужно для точного построения графика функции?» (5 мин.)
6. Подведение итогов урока проверкой знаний (самостоятельная
работа). (25 мин.)
Ход урока.
1. Постановка темы и цели урока.
Учитель. На предыдущем уроке мы выяснили, что существенно
отличают построение графика функции сведения о том, на каких
промежутках функция возрастает и убывает. Но для точного построения
графика функции этого еще не достаточно. Как видно из рассмотренных
примеров, при построении графиков важно найти точки, в которых
возрастание функции сменяется убыванием и наоборот.
3
2. Решение проблемы.
Такие точки называют точками максимума и минимума. Для этих точек
принято общее название – их называют точками экстремума (крайний).
(Повторяем определения max и min по графику, изображенному на
плакате).
Определение. Точка Х0 называется точкой минимума функции f (х),
если для всех Х из некоторой окрестности точки Х0
выполняется неравенство f (Х) > f (Х0).
Определение. Точка Х0 называется точкой максимума функции f (х),
если для всех Х из некоторой окрестности точки Х0
выполняется неравенство f (Х) < f (Х0).
В окрестностях точек максимума график функции имеет вид «холма», а в
окрестностях точек минимума график функции изображается в виде
«впадины».
(По графику функции определяем точки max и min).
3. Актуализация прежних знаний и способов действий.
а) применение прежних знаний в новых ситуациях, их углубление.
f (х) = х³- 27 х
у
1) f´ (х) = 3х² - 27 = 0
3х² = 27
х² = 9
х =  3 - критические точки
2) f´ (х) +
f (х)
-3
-3
0
3
+
3
В критической точке – 3 функция имеет max, а в критической точке 3
функция имеет min.
4
х
Проблемные ситуации и проблемные вопросы.
Использование наглядности управляет вниманием учащихся, что дает им
эмоционально-психологический настрой.
Как найти значения минимума и максимума функции?
Надо найти значения функции в этих критических точках (т.е. в точках min
и max функции).
f min  f 3  33  27  3  27  27  3  54
f max  f  3   3  27   3  27  3  27  54
3
Вывод. Если проходя через критическую точку производная меняет
свой знак с « + » на « - », то эта критическая точка есть точка
max, а если с « - » на « + », то эта критическая точка есть точка
min.
б) Проанализируем полученный вывод для всех функций в общем виде.
(Показываю графики функций на плакате).
Определяем необходимое условие существования экстремума
дифференцируемой функции.
Теорема Ферма. Если функция имеет производную в каждой точке
некоторого промежутка и Х0 – точка экстремума,
то в этой точке производная равна нулю.
Из того, что производная в точке Х0 обращается в нуль, не обязательно
следует, что в этой точке функция имеет экстремум.
Например. f (х) = х³
у
f´ (х) = 3х² = 0
х = 0 – критическая точка
+
+
+
0
0
5
х
Если функция имеет производную на интервале, то ее экстремум надо искать
в точках, в которых производная обращается в нуль. (Эти точки
называются критическими).
Наличие у функции критических точек является необходимым условием
существования у них экстремума, но это условие не является достаточным.
(Показываю плакат с графиками функций и по чертежам формулируем
достаточные условия существования экстремума функции).
Теорема. (Достаточное условие существования экстремума)
Если производная функция f´ (х) при переходе через точку Х0:
1) меняет знак с «+» на «-», то точка Х0 является
точкой максимума;
2) меняет знак с « - » на « + », то точка Х0 является
точкой минимума;
3) не меняет знака, то в точке Х0 функция f (х) не имеет
экстремума.
4. Первичное осмысление.
Необходимое и достаточное условие существования экстремума функции
f (х) позволяют наметить план нахождения ее экстремумов.
План.
1. Находим f´ (х).
2. Находим критические точки функции (f´ (х)=0).
3. Определяем знак f´ (х) на промежутках.
4. Находим экстремум функции.
5. Строим эскиз графика функции.
Исследовать функцию на экстремум и построить эскиз графика (вызываю
учащегося к доске).
6
1. f (х) = х³- 3 х
5)
у
1) f´ (х) = 3х² - 3
2) 3х² - 3 = 0
2
3 х² = 3
х² = 1
-10 1
х =  1 - критические точки
3) f´ (х)
max -
f´ (х)
х
-2
min +
-1
1
4)
f min  f 1  1  3  2
f max  f  1   1  3  2
3
2. f (х) = 2х³ - 3х²
5)
у
1) f´ (х) = 6х² - 6х
2) 6х² - 6х = 0
0
6х (х – 1) = 0
-1
х = 0 ; х = 1 - критические точки
3) f´ (х)
f (х)
4)
+
0
+
1
f min  f 1  2  3  1
f max  f 0  0
5. Самостоятельная работа.
6. Домашнее задание.
Исследуйте функцию и постройте эскиз графика.
1) f (х) = х 4 - 2х² + 1;
2) f (х) = х³ - 3х² + 4.
7
х