Критические точки функции, максимумы и минимумы функции

Краткий план-конспект урока на тему «Критические точки функции,
максимумы и минимумы функции», 11 класс, алгебра
Маннанова Гульфия Назиповна, учитель математики МОУСОШ д.Бирючевка
Тема. Критические точки функции, максимумы и минимумы.
Цель: рассмотреть понятие критической точки функции, признаки максимума и
минимума функции.
Ход урока
I.
Сообщение темы и цели урока
II.
Повторение и закрепление пройденного материала
1. Ответы на вопросы по домашнему заданию
2. Контроль усвоения материала (устный опрос):
-сформируйте и докажите признак возрастания функции;
-сформируйте и докажите признак убывания.
III. Изучение нового материала
На предыдущем уроке при нахождении промежутков монотонности производную
функции приравнивали нулю и находили соответствующие значения аргумента. В
связи с этим введем важнейшее понятие критических точек функции. Внутренние
точки области определения функции f(x), в которых ее производная равна f’(x)
равна нулю или не существует, называются критическими точками этой функции.
Такие точки играют важную роль при исследовании функции, так как только они
могут быть точками экстремума (то есть минимума или максимума) функции.
Сформулируем необходимое условие экстремума. Если точка х0 является точкой
экстремума функции f(x) и в этой точке существует производная f/(x), то она равна
нулю. Это утверждение называют теоремой Ферма. Теорема Ферма является только
необходимым (но не достаточным) условием экстремума : из того, что производная
f’(x) в точке х0 обращается в нуль, не обязательно следует, что в этой точке функция
имеет экстремум.
Итак, при нахождении точек экстремумов функции требуется в первую очередь
найти ее критические точки. Вопрос в том, является ли данная критическая точка
точкой экстремума, требует дополнительного исследования. При таком
исследовании полезны достаточные условия существования экстремума функции в
точке.
Признак максимума функции. Если функция f(x) непрерывна в точке х0 и f/(x)>0 на
интервале (а; х0), f'(x)<0 на интервале (х0, b), то точка х0 является точкой максимума
функции f(x). Обычно пользуются упрощенной формулировкой этого признака. Если
в точке х0 производная функции f/(x) меняет знак с плюса на минус, то точка х0
точка максимума.
Аналогично можно сформулировать признак минимума функции. Если функция
f(x) непрерывна в точке х0 и f’(x)<0 на интервале (a;x0), f/(x)>0 на интервале (x0;b),
то точка x0 является точкой минимума функции . Упрощенная формулировка этого
признака: если в точке х0 производная fэ(x) меняет знак с минуса на плюс, то
точка x0 точка минимума
Рассмотрим применение необходимых и достаточных условий для нахождения
экстремумов функции.
Пример 1. Найдем экстремумы функции f(x)=-2х3-3х2+12х-4.
Найдем производную функции f’(x)=-6x2-6x+12=-6(x2+x-2). Приравняем производную
нулю 6(х2+х-2)=0, решим это квадратное уравнение и найдем критические точки
функции х1=-2 и х2=1. Отметим критические точки на координатной оси и
построим диаграмму знаков производной f’(x).
Видно, что в точке х=-2 знак производной меняется с минуса на плюс. Поэтому
критическая точка х=-2 – точка минимума. Найдем минимум функции fmin=-24. В
точке х=1 знак производной меняется с плюса на минус. Поэтому критическая
точка х=1 – точка максимума. Найдем максимум функции fmax=3.
Пример 2. (задание В5 I варианта*) На рисунке изображен график производной
y=f’(x)функции y=f(x), определенной на промежутке (-4;4). Найдите значение x,
принадлежащее
отрезку [-3;3], при котором функция y=f(x) принимает наибольшее значение.
На интервале (-3;1) производная y=f’(x) положительна, поэтому непрерывная
функция y=f(x) на отрезке [-3;1] возрастает. На интервале (1;3) производная
y=f’(x) отрицательна, то есть на отрезке [1;3] функция убывает. В точке x=1
производная меняет знак с плюса на минус. Таким образом , по признаку максимума
функции точка х=1 является точкой максимума или, по-другому, на отрезке [-3;3]
функция y=f’(x) принимает наибольшее значение в точке x=1 .
IV.Задание на уроке
N287(а);288(а,б); 290(в,г), 3 задания В5 из пособия по подготовке к ЕГЭ*
V. Контрольные вопросы
1. Дайте определение критических точек функции.
2. Сформулируйте и докажите необходимое условие экстремума (теорема Ферма)
3. Сформулируйте и докажите признак максимума (минимума) функции.
4. Приведите упрощенную формулировку признака максимума (минимума) функции
VI. Задание на дом
N287(б);288(в,г);289(а), 2 задания В5 из пособия по подготовке к ЕГЭ*
Литература
*ЕГЭ 2009. Математика. Тренировочные задания / Т. А. Корешкова,
В. В. Мирошин, Н. В. Шевелева. – М.: Эксмо, 2009.—80 с.