К ЗАДАЧЕ О МИНИМАЛЬНЫХ РАСШИРЕНИЯХ ОРИЕНТАЦИЙ ЦИКЛОВ В. А. Томников

К ЗАДАЧЕ О МИНИМАЛЬНЫХ РАСШИРЕНИЯХ
ОРИЕНТАЦИЙ ЦИКЛОВ1
В. А. Томников
Саратовский государственный университет, Саратов, Россия
Впервые конструкция минимального расширения в качестве модели
дискретных отказоустойчивых систем рассматривалась в работе Хейза [4],
где также была представлена схема получения минимальных расширений
для неориентированных циклов с произвольным количеством вершин.
Своё развитие теория получила в работе М. Б. Абросимова [1], где были
получены минимальные расширения неориентированных циклов, отличные от хейзовских. Конструкция минимального расширения для ориентированных графов рассматривалась в работе А. В. Киреевой [3], где была
представлена схема построения минимальных расширений для функциональных графов.
В данной работе рассматривается конструкция минимального расширения ориентаций циклов, а также приводится схема построения минимальных расширений для ориентаций циклов, содержащих только источники и стоки.
Общие понятия и определения, связанные с теорией графов, далее
берутся из [2].
Ориентированным графом (кратко: орграфом) называется пара
G  (V , ) , где V — конечное непустое множество (множество вершин) и 
— отношение на V (множество дуг).
Ориентацией цикла будем называть орграф C  (V , ) , где
V  {v1 , v2 ,..., vn } , n  2 ,   {( vi , v j ) : ( i  j  1 OR i  j  V 1) & (v j , vi ) } , то есть
цикл, каждому ребру которого придана ориентация.
Вложением орграфа G1  (V1,1 ) в орграф G2  (V2 ,2 ) называется такое
взаимно однозначное отображение  : V1  V2 , что для любых u, v V1 выполняется следующее условие: (u, v) 1  ( (u), (v)) 2 .
Под максимальным подграфом графа G понимается граф, полученный из G путём удаления некоторой вершины и всех инцидентных ей дуг.
Орграф G*  (V * , * ) называется минимальным расширением орграфа
G  (V , ) , V  n , если выполняются следующие условия:
a)
орграф G вложим в любой максимальный подграф орграфа G* ;
V *  n 1;
b)
 * имеет минимальную мощность при выполнении условий a)
c)
и b).
______________________________________________________________________
Работа поддержана грантом РФФИ 05-08-18082
1
ТЕОРЕМА 1.
Минимальное расширение любой ориентации цик-
ла C  (V ,  ) , V  n , содержит не менее
n3
добавочных дуг.
2
СЛЕДСТВИЕ. Минимальное расширение любой ориентации цикла
C  (V ,  ) , V  n  2k , k  N , содержит не менее k  2 добавочных дуг.
ЛЕММА. Любая ориентация цикла содержит равное количество источников и стоков.
ТЕОРЕМА 2.
Минимальное расширение ориентации цикла, содержащей только источники и стоки, имеет ровно
n4
добавочных дуг.
2
В доказательстве теоремы 2 предлагается конструкция минимального расширения для цикла чётной длины, рёбрам которого придана попеременная ориентация, то есть все вершины являются источниками, либо стоками. При этом система дополнительных дуг соответствует схеме дополнительных рёбер в минимальном расширении цикла чётной длины по Хейзу — со специальной ориентацией этих рёбер.
Список использованных источников
1.
Абросимов М. Б. Минимальные k–расширения предполных графов // Изв. вузов. Математика. — 2003. — №6. — С.3–11.
2.
Богомолов А. М., Салий В. Н. Алгебраические основы теории
дискретных систем. — М.: Наука, 1997.
3.
Киреева А. В. Отказоустойчивость в функциональных графах //
Упорядоченные множества и решётки. — Саратов, 1995. — вып. 11. —
С.32–38.
4.
Hayes J. P. A graph model for fault tolerant computing systems //
IEEE Trans. Comput. — 1976. — V.C–25, N 9. — P.875–884.