А.Н. КОРОЛЕВА, С.А. ЧЕСНОКОВ СРАВНЕНИЕ НЕСКОЛЬКИХ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ

УДК 51(06) Проблемы современной математики
А.Н. КОРОЛЕВА, С.А. ЧЕСНОКОВ
Московский инженерно-физический институт (государственный университет)
СРАВНЕНИЕ НЕСКОЛЬКИХ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ
ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ
Численно решается задача Дирихле для уравнения Пуассона. Сравниваются
следующие методы: вариационный метод Ритца, метод установления и классическая разностная схема «крест».
Многие дифференциальные краевые задачи математической физики
допускают естественные вариационные постановки, и, следовательно,
могут решаться вариационными методами. Последние позволяют строить
пригодные разностные схемы на нерегулярных сетках, а также при меньших предположениях о гладкости решения, чем того требуют классические методы. Благодаря появляющейся свободе в выборе сеток, узлы
можно располагать гуще в тех частях области определения искомого решения, где решение ведет себя более сложно или где нас интересуют более мелкие детали его поведения. Это позволяет достигать требуемой
точности при меньшем числе узлов сетки. Целью данной работы является
сравнение вариационного метода Ритца с другими численными методами
на примере задачи Дирихле.
Рассмотрим задачу Дирихле:
 2u  2u

 f ( x, y ),
x 2 y 2
( x , y )  D,
u    ( s),
где s – длина дуги вдоль границы Γ области D, а f (x,y),  (s) – заданные
функции, удовлетворяющие всем условиям того, чтобы решение u(x,y)
данной задачи имело непрерывные вторые производные всюду в области
D и на ее границе Γ.
Для метода Ритца решение задачи сводится к нахождению минимума

функционала
 w  2  w  2

I ( w)         2 fw dxdy.
x
y

D 
   
Метод установления, в свою очередь, предлагает рассматривать стационарную задачу математической физики как результат установления разISBN 5-7262-0710-6. НАУЧНАЯ СЕССИЯ МИФИ-2007. Том 7
131
УДК 51(06) Проблемы современной математики
вивающегося во времени процесса. В нашем случае рассматривается
вспомогательная нестационарная задача о распространении тепла
v  2 v  2 v


 f ( x, y ), ( x, y )  D,
t x 2 y 2
v    ( s ),
v( x, y,0)   ( x, y ),
где f и φ те же, что и в исходной задаче Дирихле, а ψ(x,y) выбирается произвольно.
Для решения задачи по классической схеме “крест” строится разностный аналог оператора Лапласа, представляющий собой сумму дифференциальных операторов по каждой из переменных, затем последние аппроксимируются трехточечными операторами. В случае двух измерений получаем шаблон из пяти точек – «крест».
В докладе приводятся результаты сравнения методов по затратам машинного времени и памяти, точности решения и гибкости метода.
Рис. 1. Результат решения задачи Дирихле при
f (x, y)  x(x  a)  y(y  b), (x, y)  0,
область D представляет собой прямоугольник со сторонами a и b
Список литературы
1.

2.
Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы. М.: Наука, 1977. 440 с.
Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1989.
3. Zienkiewicz O.С., Taylor R.L. The Finite Element Method. Vol. 1: The Basis. Butterworth-Heinemann; 5 edition (2000). 712 p.
ISBN 5-7262-0710-6. НАУЧНАЯ СЕССИЯ МИФИ-2007. Том 7
132
УДК 51(06) Проблемы современной математики
ISBN 5-7262-0710-6. НАУЧНАЯ СЕССИЯ МИФИ-2007. Том 7
133