Принцип Дирихле Принцип Дирихле Если в n клетках сидят m

Просто, сложно, интересно:
Принцип Дирихле
Принцип Дирихле
Если в n клетках сидят m зайцев, причём m > n, то
хотя бы в одной клетке сидят, по крайней мере, два
зайца.
Пусть в n клетках сидят m зайцев, причём n > m.
Тогда найдется хотя бы одна пустая клетка.
Главная трудность состоит в том, что в каждой
конкретной задаче нелегко понять, что (кто) же здесь
выступает в роли «зайцев», а что (кто) – в роли «клеток».
Далеко не всегда по формулировке задачи можно
определить, что следует применить принцип Дирихле
Некоторые задачи, решаемые с помощью принципа
Дирихле, можно решить, используя метод доказательства
от противного
Задача № 1.
В классе 27 учеников. Найдётся ли месяц, в котором
отмечают свои дни рождения не меньше, чем три ученика
этого класса.
Решение. 12 месяцев - «клетки», а 27 учеников «зайцы». Так как 27 > 12 * 2 , то по принципу Дирихле
найдётся «клетка», в которой сидят не менее 3 «зайцев»,
то есть найдётся месяц, в котором дни рождения
отмечают не менее 3 учеников.
Задача № 2.
Грани куба окрашены в 2 цвета.
Докажите, что найдутся две
соседние одноцветные грани.
Задача № 3.
В квадратном ковре со стороной 1 м моль проела 51
дырку (дырка — точка). Докажите, что некоторой
квадратной заплаткой со стороной 20 см можно закрыть
не менее трёх дырок.
Решение. Количество заплаток,
которым можно накрыть весь ковёр,
равно 10000 : 400 = 25.
1м
Примем за «клетки» - заплатки , а за
«зайцев» - дырки. 51 : 25 = 2 ( 1 ост.),
51>25 *2, значит, по принципу Дирихле
какая-то из этих заплаток накроет не
менее трех дырок.
20 см
Задача № 4.
Докажите, что никакая прямая не
может пересекать все три стороны
треугольника.
A
b
a
l
B
C
Задача № 5. 16 учеников сидят за круглым столом,
причем больше половины из них девушки.
Докажите, что какие-то две девушки сидят
напротив друг друга.
Решение. Образуем 8 пар, в каждую пару
включим учеников, сидящих
напротив друг друга. Примем
за «клетки» - пары, а за «зайцев»
- девушек. Так как девушек
больше половины, то найдётся
«клетка» (пара), в которой будут
находиться 2 девушки.
Задача №6.
Можно ли в таблице 6×6 расставить числа
0, 1 и -1 так, чтобы все суммы по вертикалям,
горизонталям и двум диагоналям были
различны?
Решение. Наименьшая из всех возможных сумм,
равна -6, наибольшая сумма равна 6. Можно
получить и любую сумму от -6 до 6. Суммы могут
принимать 13 различных значений, причем в
отдельных строках или столбцах суммы могут
повторяться. 13 различных сумм примем за «зайцев», а столбцы, строки и
диагонали таблицы – за «клетки». Число «клеток» равно 14, число «зайцев»
13. Следовательно, по принципу Дирихле, найдётся одна свободная клетка.
Это означает, что где-то суммы будут совпадать.
Задача №7.
Покажите, что среди любых шести целых
чисел найдутся два, разность которых
кратна 5.
Решение. При делении целого числа на 5 возможны
5 остатков: 0, 1, 2, 3, 4. Остатки – «клетки». Шесть целых
чисел – «зайцы».Число зайцев больше числа клеток, значит,
по принципу Дирихле, среди них обязательно найдутся два
числа с одинаковыми остатками (а = 5n + k , b = 5p + k).
Рассмотрим их разность:
a – b = 5n + k – 5p – k = 5 (n – p), то есть разность делится
на 5.
Задача № 8.
В ящике лежат 105 яблок четырех сортов.
Докажите, что среди них найдутся, по крайней мере,
27 яблок одного сорта.
Решение «Зайцы» - яблоки, а «клетки» - сорта
яблок. 105 : 4 = 26 (1 ост.), 105> 26 * 4. Тогда по
принципу Дирихле найдётся клетка, в которой сидит
по крайней мере 27 «зайцев», то есть найдётся 27 яблок
одного сорта.
СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!