К задаче аналитического продолжения L

Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия
233
3. Виноградов И. М. Особые варианты метода тригонометрических сумм. —
М.: Наука, 1976, 120 с.
4. Рахмонов З. Х., Рахмонов Ф. З., Исматов С.Н. Оценка сумм коротких тригонометрических сумм с простыми числами. — ДАН РТ, 2013, T. 56, № 12,
C. 937–945.
5. Исматов С.Н. О распределении дробных частей {αp}, аргумент которого
пробегает простые числа из короткого интервала. — ДАН РТ, 2014, T. 57,
№ 1, C. 937–945.
Институт математики Академии наук Республики Таджикистан
Получено 14.04.2015
УДК 511.3
К задаче аналитического продолжения
L-функций Дирихле числовых полей
В. Н. Кузнецов, Т. А. Кузнецова, О. А. Матвеева (Саратов)
[email protected], [email protected], [email protected]
В докладе наряду с известными подходами Гекке [1] и Тейта [2], которые являются обобщением подхода Римана [3] в задаче аналитического продолжения
L-функций Дирихле числовых полей, рассматриваются иные подходы, в основе
которых лежит изучение взаимосвязи аналитических свойств рядов Дирихле
и граничных свойств соответствующих степенных рядов, а также возможность
применения принципа симметрии Шварца в случае L-функций Дирихле.
Список цитированной литературы
1. Lang S. Algebraic Number Theory. New York: Columbia University, 1970.
2. Ланг С. Алгебраические числа. М.: Мир. 1966.
3. Riemann B. Gesammelte Mathematische Werke. Leipzig: B. G. Teubner, 1876.
Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского
Получено 14.04.2015
УДК 511.3
Об одном численном алгоритме определения
нулей L-функций числовых полей
В. А. Матвеев (Саратов)
[email protected]
234
Секция 5
Пусть K — числовое поле, [K : Q] = n, χ — характер Дирихле поля K,
заданный на полугруппе идеалов кольца целых элементов этого поля.
Рассмотрим L-функцию Дирихле поля K:
)−1 ∑
∏(
χ(℘)
χ(a)
L(s, χ, K) =
1−
,
=
s
N (℘)
N (a)s
℘
a
s = σ + it.
(1)
В данном докладе предлагается алгоритм определения нулей L-функции
Дирихле (1), в основе которого лежит приближение в критической полосе Lфункции (1) полиномами Дирихле.
Автором доказан следующий результат.
Теорема 1. Существует последовательность полиномов Дирихле Qnm (s),
где m — некоторое натуральное число, такая, что в любом прямоугольнике
DT : 0 < σ0 6 σ 6 σ1 < 1, 0 6 t 6 T , имеет место оценка
||L(s, χ, k) − Qnm (s)|| 6
C
,
ρ
s = σ + it,
где ρ > 1, а константа C имеет вид C = meT T m−1 .
Теоретические рассуждения, проведенные на основании теоремы 1, позволяют утверждать, что при n > lnTρ нули полиномов Qnm (s) в прямоугольнике
DT будут совпадать с нулями L-функции (1).
Результаты численного эксперимента показали, что при небольших значениях величины N (m), где m — модуль характера χ, и при условии, что степенной
ряд g(z), отвечающий ряду Дирихле (1), определяет функцию, имеющую радиальные производные любого порядка в точке z = −1, при соотношении n > 4T
в качестве полиномов Дирихле Qnm (s) можно брать полиномы Дирихле, определяемые алгебраическими полиномами Pnm (s), которые являются частичными
суммами порядка nm разложения функции g(x) на отрезке [−1, 1] в ряд по полиномама Чебышева. При этом m = [L : Q], где L — такое абелево расширение
Галуа поля K, что характер χ согласуется с одним из характеров группы Галуа
этого расширения.
Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского
Получено 14.04.2015
УДК 511.3
Об одном подходе получения плотностных теорем
для нулей L-функций Дирихле числовых полей
В. А. Матвеев, О. А. Матвеева (Саратов)
[email protected], [email protected]