Метод инвариантов. Задачи на раскраску.

17. Метод инвариантов. Задачи на раскраску.
В некоторых задачах задан набор преобразований исходного объекта и спрашивается:
можно ли используя эти преобразования, получить из одного состояния объекта другое?
Перебором вариантов часто легко убедиться в правильности ответа “нельзя”, однако,
обосновать это часто нелегко. Методом, позволяющим во многих случаях решать
доказательную часть таких задач, является метод инвариантов. Инвариантом называется
нечто не меняющееся при заданных преобразованиях (например, число, набор чисел,
четность какого-л. числа и т.д.). Если значение инварианта у двух состояний объекта
различно, то одно из них нельзя получить из другого. Придумать инвариант должен
самостоятельно решающий.
Для построения инвариантов иногда бывают полезны вспомогательные раскраски, т.е.
разбиения рассматриваемых объектов на несколько групп (каждая группа состоит из
объектов одного цвета).
Метод. замечания [10,с.140-151], задачи [10,с.141-147], [19,с.30-32], [14], ещё задачи на раскраску [24,с.265].
Используя указанные источники, можно провести несколько занятий по данной теме (лучше не подряд, а с
некоторыми интервалами). Литература
Задача 1. С таблицей, где имеется 15 чисел (1), а остальные равны 1, можно производить
следующую операцию  изменить знак двух (не больше, не меньше) чисел в
таблице. Можно ли применяя эту операцию конечное число раз, получить таблицу,
состоящую из чисел (+1)?
Решение. Ответ очевиден: нельзя. Инвариантом таблицы относительно рассматриваемой
операции является произведение всех чисел в таблице. В начальный момент это
произведение равно (1), а нам нужно получить таблицу, инвариант которой равен (+1).
Задача 2. Дана шахматная доска. Разрешается перекрашивать в другой цвет сразу все клетки
какой-либо горизонтали или вертикали. Может ли при этом получиться доска, у
которой ровно одна черная клетка?
Решение. При перекрашивании горизонтали или вертикали, содержащей k черных и 8k
белых клеток, получится 8k черных клеток, и k белых клеток. Поэтому число черных клеток
изменится на (8k)k=82k, т.е. на четное число. Т.к. четность числа черных клеток
сохраняется, из исходных 32 черных клеток мы не можем получить одну черную клетку.
Задача 3. В каждой клетке доски 5х5 клеток сидит жук. В некоторый момент все жуки
переползают на соседние по горизонтали или по вертикали клетки. Обязательно ли
при этом останется пустая клетка?
Решение. Т.к. общее число клеток нечетно, то черных и белых клеток не может быть
поровну. Пусть для определенности черных клеток больше, тогда жуков, сидящих на белых
клетках, меньше, чем на черных клетках. Поэтому, хотя бы одна из черных клеток останется
пустой, т.к. на черные клетки переползают жуки, сидящие на белых клетках.
Задача 4. В Эрмитаже есть две лестницы. Высота первой 13м, а ее длина по горизонтали 20м.
У второй соответственно  11м и 22м. Обе лестницы покрыты ковровыми
дорожками. Какая из дорожек длиннее, если на первой лестнице ступенек вдвое
меньше, чем на второй?
Решение
Задача 5. На шести елках сидят шесть чижей, на каждой елке  по чижу. Елки растут в ряд с
интервалами 10м. Если какой-то чиж перелетает с одной елки на другую, то какойто другой чиж обязательно перелетает на столько же метров, но в обратном
1
направлении. Могут ли все чижи собраться на одной елке? А если чижей и ёлок 
семь?
Решение
Задача 6 Дно прямоугольной коробки вымощено плитками 1х4 и 2х2. Плитки высыпали из
коробки, и одна плитка 2х2 потерялась. Её заменили на плитку 1х4. Докажите, что
теперь дно коробки вымостить не удастся.
Решение
Задача 7. В таблице 3х3 закрашена одна клетка. Можно ли, перекрашивая строки и столбцы
(как в задаче 2), сделать всю таблицу одноцветной?
Решение
Задача 8. Из квадрата 29х29 вырезали 99 квадратиков 2х2. Верно ли, что всегда можно
вырезать еще один такой квадратик (разрезы проводятся по линиям сетки)?
Решение
Задача 9. Лист бумаги разрезали на 4 части. Некоторые из полученных частей режут еще на
4 части, любой из имеющихся кусков – еще на 4 и т.д. Можно ли таким образом
получить 62 куска?
Решение
Задача 10. В стране Серобуромалин есть 13 серых, 15 бурых и 17 малиновых хамелеонов.
Два хамелеона разного цвета, встречаясь, одновременно приобретают окраску
третьего вида. Могут ли все хамелеоны через некоторое время стать одного цвета?
Решение
Задача 11. В пробирке находятся марсианские амебы трех типов: 20- типа А, 21- типа В, 22типа С. Две амебы разных типов могут слиться в одну амебу третьего типа. Через
некоторое время в пробирке оказалась одна амеба. Какого она типа?
Решение
Содержание
2