Решение уравнений методом введения новой переменной

Учитель: Матвеева О.В
8 класс
Тема: Решение уравнений методом введения новой переменной.
Цели урока:
1. Открыть новый метод решения уравнений: метод введения новой переменной.
2. Изучить и закрепить данный метод решения уравнений.
3. Развитие
логического
мышления,
умения
рассуждать,
обобщать,
анализировать, сравнивать.
4. Развитие устной и письменной математической речи.
5. Активизация деятельности учащихся, побуждение их к творческому поиску.
Ход урока.
1. Организационный момент.
Настрой ребят на активность, внимательность, аккуратность, хорошие полные
ответы, самостоятельность и творческий подход к заданиям.
2. Актуализация опорных знаний.
Вопросы к классу:
1. Что такое уравнение?
2. Что значит решить уравнение?
3. Что называют решением уравнения?
4. Какие методы решения уравнений вам известны?
3. Конструирование нового способа решения уравнений.
Учащимся предлагается решить следующие уравнения:
А) х2 – 5х + 6 = 0
Б) х4 – 17х2 + 16 = 0
В) х6 – 7х3 – 8 = 0
Подведение итогов работы: первое уравнение (сообщение результатов работы) –
затруднений не должно возникнуть. Обсуждение методов решения уравнений Б) и В).
Выслушать в чем затруднения учащихся. Все варианты решения вынести на доску.
После этого выйти на конструирование способа решения таких уравнений.
Вывод: открыт новый метод решения уравнений. Как бы Вы его назвали? Метод
введения новой переменной. Тема урока записывается на доску.
4. Объяснение материала.
Решить уравнение Б) с проговариваем последовательности действий: (дети сами
проговаривают алгоритм решения уравнений и записывают в тетрадь):
1. Вводим новую переменную: t = х2, указываем ограничения: t  0.
2. Решаем новое уравнение относительно t: t2 – 17t + 16 = 0
t1 = 16 t2 = 1.
3. Возвращаемся к переобозначению, заменяем t на х2 (обязательно
принять во внимание ограничения на переменную t).
х2 = 16 или х2 = 1
4. Находим х, решая получившиеся уравнения: х1 = 4 х2 = -4 х3 = 1 х4 = -1
5. Записываем ответ.
С доской решается уравнение В) (решает учащийся). Проговаривается весь
алгоритм решения.
Выявление «ошибкоопасных» мест. Где можно допустить ошибки? (обсуждение
с классом).
5. Закрепление материала.
Задание №1. Выделить те уравнения, которые можно решить методом введения
новой переменной, если да, то указать замену, составить модель.
1) х - 7 x - 8 = 0.
2) 3(x+4)2 + 10(x+4) + 3 = 0 .
3) х3 – 2х2 + 4 = 0
4) (х2 – 3х + 1)(х2 – 3х + 3) = 3
t= x,t  0
t2 – 7t – 8 = 0.
t = x + 4, t – любое число
3 t2 + 10t + 3 = 0.
решить методом замены нельзя!
t = x2 - 3t + 1, t – любое число t(t+2) = 0.
x2 1
x
5)
 2
 2,9
x
x 1
x2 1
t=
, t0
x
6) (х2 –9)2 – 8(х – 3)2 = 0
3x
x  x5
40
+ 2
x
x  x5
2
7)
8) 2(х2 + 2х +1)2 – (х + 1)2 =1
t+
1
= 2,9.
t
решить методом замены нельзя!
x2  x  5
, t 0
x
t = (x + 1)2, t  0
t=
t+
3
+ 4 = 0.
t
2t2 – t = 1
Задание№ 2. Решить уравнение из задания № 1 номер 7.
3x
x2  x  5
40
+ 2
x
x  x5
3
t+ +4=0
t
t=
x2  x  5
, t0
x
t2 + 4t + 3 = 0
t1 = -3 t2 = -1
x2  x  5
= -3
x
или
х2 + 4х – 5 = 0 О.Д.З х  0
х1= -5 – удовл О.Д.З.
х2 = 1 – удовл. О.Д.З
x2  x  5
= -1
x
х2 + 2х – 5 = 0 О.Д.З х  0
х1= -1 - 6 – удовл О.Д.З.
х2= -1 + 6 – удовл О.Д.З.
Ответ: х1= -5, х2 = 1, х3= -1 - 6 , х4= -1 + 6
6. Итог урока
Общий вывод урока: изучили новый метод решения уравнений – метод введения
новой переменной (метод замены). Данный метод является общим и может быть
использован при решении различных видов уравнений. Главное необходимо увидить
замену, составить модель, решить ее, не забывая об «ошибкоопасных» местах.
7. Домашнее задание
п. 32(2) № 1049(б), 1050(б), 1056(г), 1060(а).