Математика» - решение типового варианта

Решение типового варианта
для учащихся заочной формы обучения, специальности
2-27 01 01 «Экономика и организация производства»
Задание 1
Даны числа z1, z2, z3. Выполнить действия:
z 2 z 3  z1 
i 6 z2
в алгебраической форме, если z1  2  i, z 2  i  1, z3  2i  5;
z3
Решение. Выполним последовательно все действия по формулам (1), (2), (3),
(4):
z 2 z 3  (i  1)( 2i  5)  2i 2  2i  5i  5  3  7i,
z 2 z 3  z1  3  7i  2  i  5  6i,
i 6 z 2  (i 2 ) 3 (i  1)  (1) 3 (i  1)  (i  1)  i  1,
i 6 z2
1 i
(1  i )( 2i  5)
 2i  2i 2  5  5i 3i  2  5  7  3i
7
3





   i,
2
2
z3
2i  5 (2i  5)( 2i  5)
25  4
29
29 29
(5)  (2i )
i 6 z2
7
3
7
3
22
26
z 2 z 3  z1 
 5  6i 
 i  (5  )  i (6  )  4  5 i;
z3
29 29
29
29
29
29
Задание 2
Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений
x1  5 x 2  x3  3,


2 x1  4 x 2  3x3  2,
3x1  x 2  3x3  7 
Решение:
Проверить, совместна ли эта система, и в случае совместности решить
ее: а) по формулам Крамера; б) с помощью обратной матрицы (матричным
методом); в) методом Гаусса.
Совместность данной системы проверим по теореме КронекераКапелли. С помощью элементарных преобразований найдем ранг матрицы
1 5  1 
A  2 4  3
3  1  3
данной системы и ранг расширенной матрицы
1 5  1 3
B  2 4  3 2
3  1  3  7

.


Для этого умножим первую строку матрицы B на-2 и сложим со
второй, затем умножим первую строку на – 3 и сложим с третьей, поменяем
местами второй и третий столбцы.
Получим
5 1
3
1

B  2 4  3 2

3  1  3  7





5 1
3 
1
1


 0  6  1  4   
0


0  16 0 16 

0
1
3 
1  6  4 

0  16  16 

5
Следовательно, rA= rB=3 (т.е. числу неизвестных). Значит, исходная
система совместна и имеет единственное решение.
а)по формулам Крамера
x1  (31) /  3,
x2  (32) /  3,
x3  (33) /  3,
где
5 1
1
3  2
3
4  3  16;
(31)  2
3 1  3

4  3  64;
 2 1  3
3 1
1
( 2)
3
5 1
1 5 3
 2 2  3  16;

( 3)
3
 2 4 2  32,
373
3 1 7
находим: x1=64/(-16)=-4,
x2 = -16/(-16)=1, x3 =32/(-16)=-2;
б) Для нахождения решения системы с помощью обратной матрицы
~
запишем систему уравнений в матричной форме AX  B. Решение системы в
~
матричной
форме
имеет
вид
По
формуле
X  A1 B.
 A11 A21 ..... An1 
 A A ..... A 
A*
n2 
A 1 
, A*   12 22
находим обратную матрицу А-1(она существует,


.....................
det A


 A1n A2 n. .... Ann 
так как  3  det A  16  0, ):
А11 
43
1 3
А12  
 15,
23
33
А13 
2 4
3 1
А22  
 3,
А22 
 14,
А23  
5 1
1 3
11
33
1 5
3 1
 16,
 0,
 16,
 15 16  11 
1 
А 
 3 0 1 

 16
 14 16  6 
1
А31 
5 1
43
А32  
А33 
1 5
2 4
 11,
11
2 3
 6,
 1,
Решение системы:
 x1 
 15 16  11 3  (45  32  77) /( 16)   4
1 


   1 .
X   x2  
 3 0 1 2    (9  7) /( 16)

  
 16
 x3 
 14 16  6 7  (42  32  42) /( 16)  2
Итак, x1=-4,
x2=1,
x3=-2;
в) Решим систему методом Гаусса. Исключим x1 из второго и третьего
уравнений. Для этого первое уравнение умножим на второе и вычтем из
второго, затем первое уравнение умножим на 3 и вычтем из третьего:
x1  5 x 2  x3 
3, 

 6 x 2  x3   4, 
 16 x 2
 16.
Из полученной системы находим x1=-4,
x2=1,
x3=-2.
Задание 3
Найти указанные пределы.
1.
Решение:
5 x 2  13x  6
lim
.
x  2 3 x 2  2 x  8
5 x 2  13x  6
( x  2)5x  3
5x  3 7
 lim
 lim

 0.7.
2
x 2 3x  2 x  8
x 2  x  23x  4
x 2 3x  4
10
lim
2.
7x 4  2x3  5
.
x  6 x 4  3 x 2  7 x
lim
Решение:
7x 4  2x3  5
. =
x  6 x 4  3 x 2  7 x
lim
x 4 (7  2 / x  5 / x 4 ) 7
 .
x  x 4 (6  3 / x 2  7 / x 3 )
6
lim
3.
lim
x4
Решение:
lim
x4
21  x  5
 lim
x4
x 3  64

21  x  5
x
3


21  x  5
.
x 3  64
21  x  5
 64 ( 21  x  5)
  lim
x4
x
21  x  25
3
 64

21  x  5

x4
1
1
1

 lim 2

.
2
x  4  x  4  x  4 x  16
21  x  5 x 4 x  4 x  16 21  x  5 480
lim



Задание 4
Продифференцировать данные функции
1. y  9 x 5  4 / x 3  3 x 7  3x  4.


Решение:
y   9  5 x 4  4(3) x  4 
7 4/3
7
x  3  45 x 4  12 / x 4  3 x 4  3.
3
3
2. y  tg 5 ( x  2)  arccos 3x 2 .
Решение:
y   5tg 4 ( x  2) 

tg 5 ( x  2)  6 x
1  9x 4
1
1
5tg 4 ( x  2)  arccos 3 x 2
2
5

arccos
3
x

tg
(
x

2
)


6
x


cos 2 ( x  2)
cos 2 ( x  2)
1  9x 4
.
Задание 5
интегралы.
Найти неопределенные
проверить дифференцированием.
1. 
3  2x 4  3 x 2
4
x
Результаты
интегрирования
dx.
Решение:
Разделив числитель подынтегральной функции на знаменатель и
использовав второе и третье правила интегрирования, а также таблицу
основных неопределенных интегралов, получим:

3  2x 4  3 x 2
4
x
dx 
3 x 1 / 4 dx  2 x15 / 4 dx   x 5 / 12 dx  4 x 3 / 4 
8 19 / 4 12 17 / 12
8
12
x
 x
 C  44 x 3  4 x19  12 x17  C.
19
17
19
17
Проверим полученный результат:

3
8 19
12 17 5 / 12
 3 / 4 8 19 / 4 12 17 / 12

 x
 C   4  x 1 / 4   x15 / 4 
x
 3x 1 / 4  2 x15 / 4  x 5 / 12 .
 4x  x
19
17
4
19 4
17 12


2.  cos(2  5 x)dx.
1
5
Решение:  cos( 2  5 x)dx   sin( 2  5 x)  C.
Выполним проверку результата

1
 1

  sin( 2  5 x)  C    cos( 2  5 x)  (5)  cos( 2  5 x).
5
 5

Задание 6
Найти общее решение дифференциального уравнения.
б )4 y   4 y   y  0;
а) 4 y   11y   6 y  0;
в) y   2 y   37 y  0.
Для каждого из данных уравнений составляем характеристическое
уравнение и решаем его. По виду полученных корней характеристического
уравнения записываем общее решение дифференциального уравнения:
а) 42  11  6  0, корни 1  3 / 4, 2  2  действительные различные,
поэтому общее решение уравнения
y  C1e 3 x / 4  C2 e 2 x ;
б) 42  4  1  0,
корни
1  2  1/ 2  действительные
следовательно, общее решение уравнения
равные,
y  C1e x / 2  C 2 xe x / 2 ;
в) 2  2  37  0, корни 1, 2  1  6i  комплексно сопряженные, поэтому
общее решение уравнения
y  e x (C1 cos 6 x  C 2 sin 6 x).
Задание 7
В бригаде 25 человек. Сколькими способами можно избрать троих
рабочих в три комиссии (по одному в каждую)?
Решение:
Одна комбинация отличается от другой либо хотя бы одним человеком, либо
порядком избрания в комиссии. Поэтому число способов избрания троих
рабочих равно числу размещений из 25 человек по 3, т.е. А253  25  24  23  13800