537 - Mathscinet.ru

Никаких сведений об авторах в этом файле (*.doc) не указывайте (они
указываются в тексте письма).
А также НЕ дублируйте в этом файле УДК и название доклада – они указываются
только в сопроводительном письме!
Поиск М-матриц. Первые результаты
В работах [1], [2] было введено понятие M-матриц: ортогональных матриц с
минимальным максимальным элементом на классе ортогональных матриц заданной
размерности. Величина этого элемента называется m-нормой матрицы, а график mнормы – кривой Мироновского. Важными частными случаями М-матриц являются
матрицы Адамара и С-матрицы (конференц-матрицы, матрицы Белевича). Таким
образом, М-матрицы обобщают отмеченные матрицы на все возможные размерности.
Согласно сетевому мониторингу к настоящему времени опубликованы все матрицы
Адамара (их порядок кратен 4, что составляет существо гипотезы Адамара) до 428-го
порядка включительно (авторы Kharaghani and Tayfeh-Rezaie), первая следующая
неизвестная матрица имеет порядок 668. Определенный вес этому придает
практическая сфера приложения матриц Адамара к построению помехоустойчивых и
защитных кодов. Факт существования конференции матриц – не тривиальный вопрос,
поскольку они существуют не для всех значений n.
Пропуски связаны с классической проблемой теории чисел, исследованной
Эйлером, о разложении числа на сумму двух квадратов. Впервые это обстоятельство в
1950 году обнаружил Витольд Белевич. Значения n, для которых матрицы существуют,
всегда имеют форму 2k+2 (k – целое), но это само по себе не является достаточным
условием. C-матрицы существуют для n равных 2, 6, 10, 14, 18, 26, 30, 38 и 42. Они не
существуют для n=22 или 34. Белевичем были получены полные решения для всех n до
38, а также он отметил, что для n=66 имеется несколько вариантов матриц.
Договоримся все те M-матрицы, которые не адамаровы и не C-матрицы, называть Bматрицами. В докладе сформулирован подход к получению обобщенных М-матриц,
позволяющий при помощи универсального численного алгоритма сжатия m-нормы
единообразно находить матрицы Адамара, Белевича, пропущенные (и, следовательно,
новые) матрицы в последовательности Белевича, а также обобщенные матрицы
Адамара нечетных порядков, представленные на рисунке 1.
По итогам исследования проведена классификация M-матриц по количеству
уровней их элементов. Введено понятие регулярных матриц, отличающихся
кратностью количества элементов на каждом уровне порядку матрицы и образующих
строго (n-1)/2 нижних слоя по n-элементов. Показано, что часть оптимальных по
показателю их нормы матриц являются регулярными, помимо того, регулярные
матрицы
в
остальных
случаях
близки
к
оптимальным
(квазиоптимальны).
Оптимальные матрицы образуются эмиссией элементов на слои выше или ниже, по
сравнению с регулярной структурой.
Уровневость M-матриц позволяет построить бифуркационную диаграмму,
согласно которой особо выделяется 13-й порядок, когда, согласно высказанному
предположению, эмиссия полностью разрушает структуру и образуется класс
хаотических матриц. В этой связи высказана гипотеза о B-полочке, не равной 1,
ограничивающей сверху график кривой приведенных норм (кривой Мироновского).
Асимптотическое
поведение
этой
кривой
является
предметом
последующих
исследований.
Литература
1.
Бете Г., Зоммерфельд А. Электронная теория металлов. — Л., М.: Главная
редакция технико-теоретической литературы, 1938.
2.
Киттель Ч. Введение в физику твёрдого тела. — М.: Наука, 1978.
Рис. 1. Отсчётный микроскоп: 1 - выдвижной тубус, 2 - корпус, 3 - окуляр Гюйгенса с
отсчётной шкалой, 4 - объектив, 5 - крепёжный хомут
Рис. 2.
Пустое место вместо подписи к рисунку означает, что рисунок есть, но
дополнительная подпись к нему (помимо его номера) не требуется.