ВОПРОСЫ К КОЛЛОКВИУМУ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ (1

ВОПРОСЫ К КОЛЛОКВИУМУ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ
(1 семестр, 2004 год)
1.
Матрицы, умножение матриц, ассоциативность умножения матриц.
Сложение матриц и умножение на число. Умножение блочных матриц.
2.
Множества и элементы. Отображения, функции, операторы.
Алгебраические операции. Ассоциативность и скобки.
3.
Группы. Примеры абелевых групп.
Группа невырожденных диагональных матриц.
Группа невырожденных треугольных матриц.
4.
Подгруппы. Степени элемента. Циклические группы.
Конечные группы.
5.
Линейные комбинации, линейные оболочки.
Линейная зависимость, линейная независимость.
Транзитивность линейной зависимости.
6.
Монотонность числа линейно независимых векторов. Базис и размерность.
7.
Дополнение до базиса. Существование базиса.
8.
Подстановки, симметрическая группа.
Циклы и транспозиции. Четность подстановки.
9.
Определитель. Определитель транспонированной матрицы.
10. Определитель как функция столбцов или строк матрицы.
11. Индикатор линейной зависимости, его единственность и существование.
12. Разбиение множества подстановок на подмножества.
13. Подматрицы, миноры, алгебраические дополнения. Теорема Лапласа.
14. Обратная матрица. Критерий обратимости матрицы.
15. Обращение и транспонирование.
16. Группа обратимых матриц.
17. Обращение невырожденной матрицы.
18. Правило Крамера.
19. Определитель произведения матриц.
Обратимость и невырожденность.
20. Ранг матрицы. Окаймление обратимой подматрицы.
Теорема о базисной подматрице.
21. Ранги и размерности линейных облочек столбцов и строк.
22. Ранги и матричные операции.
23. Однородная система линейных алгебраических уравнений.
24. Теорема Кронекера-Капелли.
25. Общее решение системы линейных алгебраических уравнений.
26. Исключение неизвестных и элементарные матрицы.
27. Ступенчатые матрицы, их ранг.
Приведение к ступенчатой форме.
28. Приведение к диагональной форме. Эквивалентные матрицы.
29. Метод Гаусса и $LU$-разложение.
30. Линейные пространства.
31. Подпространства линейного пространства.
32. Примеры бесконечномерных линейных пространств.
Примеры конечномерных линейных пространств.
33. Базис и размерность. Разложение по базису.
34. Сумма и пересечение подпространств. Теорема Грассмана.
35. Прямая сумма подпространств.
36. Линейные многобразия.