УДК 519.615.7 Балонин Ю.Н. Санкт

УДК 519.615.7
Балонин Ю.Н.
Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического
приборостроения
М-матицы. Первые результаты
В работах [1], [2] было введено понятие M-матриц.
М-матрицами называются ортогональные матрицы с минимальным
максимальным элементом. Величина этого элемента называется m-нормой
матрицы.
Важными частными случаями М-матриц являются матрицы Адамара и
Белевича.
Матрицей
Адамара
называется
матрица
размерности,
кратной
4,
состоящая из чисел ±1, столбцы которой ортогональны. Величина максимального
элемента (m-норма) ортонормированной матрицы определяется как m=1/√n.
Матрицы Белевича (С-матрицы) – матрицы размерности, кратной 2, с нулевой
диагональю и остальными элементами, равными ±1. Норма матрицы m = 1/√(n−1).
Договоримся все те M-матрицы, которые не адамаровы и не C-матрицы, называть
B-матрицами.
Таким образом, М-матрицы обобщают отмеченные матрицы на все
возможные размерности.
Ввиду сложности поиска матриц высоких порядков и несводимости типов
выделяемых уже в основной последовательности М-матриц порядков, кратных 4,
друг к другу, научным сообществом ведется сетевой мониторинг и есть традиция
публиковать новые открытые матрицы.
Определенный вес этому придает практическая сфера приложения матриц
Адамара к построению помехоустойчивых и защитных кодов. Согласно сетевому
мониторингу к настоящему времени опубликованы все матрицы Адамара до 428го порядка включительно (авторы Kharaghani and Tayfeh-Rezaie). М-матрицы
нечетных порядков и матрицы пропущенных четных порядков изучены
значительно хуже. Отмеченные пропуски связаны с классическими проблемами
теории чисел. Впервые это обстоятельство в 1950 году обнаружил Витольд
Белевич. Он ввел математическое понятие конференц-матриц (С-матриц),
называемых так, потому что они изначально возникли в задачах объединения в
единую систему идеальных трансформаторов. С-матрицы существуют не для всех
значений n. Значения n, для которых они существуют, всегда имеют форму 2k+2
(k – целое), но это само по себе не является достаточным условием. C-матрицы
существуют для n равных 2, 6, 10, 14, 18, 26, 30, 38 и 42. Они не существуют для
n=22 или 34. Белевичем были получены полные решения для всех n до 38, а также
он отметил, что для n=66 имеется несколько вариантов матриц.
Алгоритм нахождения M-матриц един для всех ее типов и опирается на
итерационное понижение m-нормы (максимального по абсолютной величине
элемента) матрицы прямым воздействием на этот параметр. Норма понижается,
например, сглаживанием верхов, после чего матрица теряет ортогональность. Для
эффективности процесса важно, чтобы последующая ортогонализация не
восстанавливала матрицу в ее исходном виде.
На основе алгоритма нахождения М-матриц, были найдены матрицы
нечетного порядка 3 - 13. Некоторые найденные решения представлены на
рисунке 1.
Рис.1. М-матрицы и профили их элементов: а) 3-го порядка, б) 5-го порядка, в)
7-го порядка, г) 22-го порядка
Матрицы 1, 2, и 4 порядков, как известно, являются одноуровневыми,
матрица третьего порядка, двухуровневая.
Первая
нетривиальная
матрица,
это
матрица
пятого
порядка:
трехуровневая, содержит (после нормирования) элементы 6, 3, 2.
B-матрица пятого порядка имеет не одну, а две нижние полочки по пять
элементов высотою 2 и 3, максимальные элементы имеют значение 6. Каждая из
них сортировкой строк и столбцов может быть выведена на диагональ, в этом
смысле это матрица с двумя диагоналями.
Затем идет пятиуровневая матрица седьмого порядка.
Легко заметить, что число дополнительных диагоналей B-матриц растет
линейно по закону (n – 1)/2.
Численный анализ показывает, что эта оценка не соблюдается буквально и
представляет собой идеализированный образец, помогающий понять общую
закономерность. Такие регулярные решения есть, но они субоптимальные,
принадлежат уровневым матрицам с очень близкими по значениям к нормам
M-матриц показателями.
Помимо найденных нечетных матриц, найдена также матрица четного
22-го порядка [3]. Найденная матрица имеет 6 уровней, обозначенных снизу-вверх
как a, b, c, d, e, f. Значения элементов уровней следующие: a=0,307566,
b=0,529895, c=0,692434, d=0,784526, e=0,980202, f=1. Заметим, что приведенная
матрица близка к симметричной, однако симметрию модулей ее элементов
нарушает только слой элементов e. Это указывает на возможность поиска иного
решения, но пока найденная матрица минимальна по m-норме.
Уровневость M-матриц позволяет построить бифуркационную диаграмму
(рис.2а), согласно которой особо выделяется 13-й порядок, когда, согласно
высказанному предположению, эмиссия полностью разрушает структуру и
образуется класс хаотических матриц. В этой связи высказана гипотеза о Bполочке, не равной 1, ограничивающей сверху график кривой приведенных норм
(кривой Мироновского, рис.2б). Асимптотическое поведение этой кривой
является предметом последующих исследований.
Рис.2. а) Бифуркационная диаграмма, б) Кривая Мироновского
Для вычисления M-матриц предложен алгоритм, уникальность которого
состоит в том, что он единообразно порождает все исторически трудным путем
полученные адамаровы и C-матрицы. Кроме того, он дает еще и другие матрицы.
Построение M-матриц в чем-то завершает пропуски на числовой оси, эта
программа, по сути, принята Адамаром.
Литература
1.
Балонин Н.А., Мироновский Л.А. Матрицы Адамара нечетного порядка //
Информационные управляющие системы. 2006. № 3. С. 46-50.
2.
Балонин Н.А., Сергеев М.Б. М-матрицы // Информационные управляющие
системы. 2011. № 1. С. 14-21.
3.
Балонин Ю.Н., Сергеев М.Б. М-матрица 22-го порядка // Информационные
управляющие системы. 2011. № 5. С. 81-83.