Математическая методичка - Волжский институт экономики

В. А. М Е Р К У Л О В
КУРС
ВЫСШЕЙ
МАТЕМАТИКИ
Избранные разделы
Раздел 2
ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
Волгоград 2004
УДК 51
ББК 22.1
М 523
Рецензенты:
В.В. Горяйнов, д-р физ.-мат. наук, профессор, зам. директора
по научной работе Волжского гуманитарного института
Волгоградского государственного университета;
кафедра высшей математики Волжского филиала Московского
энергетического института (ТУ)
(зав. кафедрой канд. физ.-мат. наук, доцент Х.Х. Усманов,
доцент, канд. техн. наук Ю.И. Дорогов)
Меркулов В.А.
М 523 Курс высшей математики. Избранные разделы. Разд. 2:
Элементы линейной алгебры: Учеб. пособие / ВолгГАСУ. –
Волгоград, 2004. – 64 с.
ISBN 5-98276-052-8
Учебное пособие написано в соответствии с требованиями государственных общеобразовательных стандартов по математике для инженерностроительных и технических специальностей вузов. Оно содержит четыре
независимых друг от друга раздела: «Аналитическая геометрия», «Элементы
линейной алгебры», «Введение в анализ», «Теория вероятностей».
Раздел 2 «Элементы линейной алгебры» состоит из главы 6 «Матрицы и
определители» и главы 7 «Системы линейных уравнений». Изложение этих
тем, сопровождаемое достаточно большим количеством примеров, проводится на конкретной основе без использования понятия векторного пространства.
В основу пособия положены лекции, читаемые автором с 1974 года в
ВИСТех (филиале) ВолгГАСУ.
Предназначено для самостоятельного изучения указанных разделов
студентами дневной и заочной форм обучения.
Библиогр. 9 назв.
ISBN 5-98276-052-8
УДК 51
ББК 22.1
© Волгоградский государственный
архитектурно-строительный университет, 2004
© В.А. Меркулов, 2004
3
ОГЛАВЛЕНИЕ
Раздел 2. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ............................ 4
Глава 6. Матрицы и определители ...................................................
6.1. Числовые матрицы и действия над ними .............................
6.2. Определители квадратных матриц ........................................
6.3. Свойства определителей ........................................................
6.4. Обратная матрица ....................................................................
Глава 7. Системы линейных уравнений ..........................................
4
4
14
19
25
29
7.1. Основные понятия …......…………………………………… 29
7.2. Система n линейных уравнений с n неизвестными ………. 31
7.3. Элементарные преобразования матриц и систем линейных уравнений ................…………………………………………. 35
7.4. Метод Гаусса .….……………………….…………………… 38
7.5. Система линейных уравнений с базисом. Метод Жордана – Гаусса ................……………………………………………... 44
7.6. Вычисление обратной матрицы методом Жордана – Гаусса .. 49
7.7. Ранг матрицы ...…..………………………………………….. 51
7.8. Условие совместности систем линейных уравнений .......... 54
7.9. Собственные значения и собственные векторы квадратной матрицы ..................................................................................... 56
Литература .............................................................................................. 63
4
Раздел 2
ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
ГЛАВА 6. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
6.1. Числовые матрицы и действия над ними
Линейная алгебра представляет собой раздел высшей математики,
изучающий матрицы, определители, системы линейных уравнений,
линейные пространства и линейные преобразования в таких пространствах.
Основное прикладное значение в линейной алгебре имеет теория
систем линейных уравнений. Для её изучения удобным математическим аппаратом служат матрицы и определители. Матричная форма
записи линейных систем, а также характерные приемы матричного исчисления приводят к упрощению и наглядности как процесса решения
этих систем, так и трактовки полученных результатов. Именно поэтому
изложение линейной алгебры начнем с изучения матриц и определителей.
О п р е д е л е н и е 1. Числовой матрицей, в дальнейшем именуемой просто матрицей, называется прямоугольная таблица из чисел
a ij , содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество n столбцов. Числа m и n называются порядками или размерами
матрицы. В случае, если m  n , матрица называется прямоугольной
размера m  n . Если же m  n , то матрица называется квадратной, а
число n называется её порядком.
В дальнейшем для записи матрицы будут применяться круглые
скобки, ограничивающие слева и справа таблицу, обозначающую матрицу:
 a11 a12 ... a1n 


 a 21 a 22 ... a 2 n 
(6.1)
A
.
...
... ... ... 


a

 m1 a m 2 ... a mn 
Числа a ij , входящие в состав данной матрицы, называются её
элементами. В записи a ij первый индекс i означает номер строки, а
второй индекс j – номер столбца, в которых стоит элемент a ij . Для
краткого обозначения матрицы часто будет использоваться либо одна
большая латинская буква, например А, либо символ ( a ij ), а иногда и
5
буква и символ с разъяснением:
A   aij  , i  1, 2 ,  , m ; j  1, 2 ,  , n  .
(6.2)
Если m  1 , то матрица А называется матрицей-строкой:


A  a11 a12  a1n .
При n  1 получим матрицу-столбец:
(6.3)
a 
 11 
a 
A   21  .
(6.4)
 ... 
a 
 m1 
В случае квадратной матрицы порядка n
 a11 a12 ... a1n 


 a21 a22 ... a2 n 
(6.5)
A 
...
... ... ... 


a

 n1 an 2 ... ann 
вводятся понятия главной и побочной диагоналей. Главной диагональю
матрицы (6.5) называется диагональ a11 a 22 ... a nn , идущая из левого
верхнего угла этой матрицы в правый нижний её угол. Побочной диагональю той же матрицы называется диагональ an1 a( n 1) 2 ... a1n , идущая из левого нижнего угла в правый верхний угол.
П р и м е р 1.
 1 3 5

A  
– прямоугольная матрица размера 2 3 ;
 2 4 6
8
 1
B

 2  5
C  1 4 7 10 
– квадратная матрица второго порядка;
– матрица-строка размера 1 4 ;
 2
 
D   4
– матрица-столбец размера 31 .
 6
 
О п р е д е л е н и е 2. Квадратная матрица, все элементы которой
равны нулю, кроме тех, что расположены на главной диагонали, называется диагональной и обозначается так:
... 0 
 a11 0


0
a
... 0 
22
= diag a11 a22 ... ann .
(6.6)
A
 ...
...
... ... 
0
0
... ann 


6

Элементы диагональной матрицы могут иметь любые значения.
Например,
0 0
0 
1
3 0




0  – диагональные матрицы
 0  2 0 ,
0 1 / 2
0
 0 0  1 / 5
0 5 



третьего порядка.
В частном случае, если все элементы диагональной матрицы равны
между собой, матрица называется скалярной. Например,
a 0 0


 0 a 0  – скалярная матрица третьего порядка .
0 0 a


О п р е д е л е н и е 3. Диагональная матрица все элементы которой равны единице называется единичной матрицей порядка n и обозначается обычно буквой E n :
1

0
En  
 ...
0

0
1
...
0
...
...
...
...
0

0
.
... 
1 
(6.7)
О п р е д е л е н и е 4. Матрица размера m  n все элементы которой равны нулю называется нулевой и обозначается буквой О:
0

0
O
 ...
0

0
0
...
0
...
...
...
...
0

0
.
... 
0  m  n
(6.8)
Матрица не является нулевой, если хотя бы один из её элементов
отличен от нуля.
Введем теперь действия над матрицами. Прежде всего договоримся считать две матрицы А и В равными и писать A  B , если эти
матрицы имеют одинаковые порядки и все их соответствующие элементы совпадают:
  
A  B  aij  bij  aij  bij ,
 i 1, 2 , ... ,
m ; j 1, 2 , ... , n  .
(6.9)
Соответствующими элементами матриц А и В называются элементы
этих матриц, имеющие одинаковые номера строк и столбцов. Две матрицы, не удовлетворяющие указанным условиям, считаются неравными.
7
П р и м е р 2.
 1  1
,
A  
1
0
1
B  
0
1
D  
1
 1
,
1
A B .
 1
 1 0
 ,
,
C  
CD.
0 
  1 1
П р и м е р 3.
 2 3
 2 3




A    3 5 ,
B    3 5 ,
A B .
 7 0
 7 0




 1 0


 1 3 5
 ,
D  
C   3 5 ,
CD.
 0 5 4
 5 4


О п р е д е л е н и е 5. Суммой двух матриц A  aij и B  bij
одинаковых порядков m и n называется матрица
 
 
C   c  тех же поij
рядков m и n, элементы которой равны суммам соответствующих элементов слагаемых
cij  aij  bij , (i 1, 2, ..., m; j 1, 2, ..., n ) .
(6.10)
Для обозначения суммы двух матриц используется запись C  A  B .
Операция составления суммы матриц называется их сложением.
Например,
 1  2 3  2 3 4   3 1 7 
 + 
 = 
 .
C  A  B = 
 5 1  3  1 3 5   6 4 2 
Из формулы (6.10) непосредственно вытекает, что операция сложения матриц обладает переместительным и сочетательным свойствами сложения действительных чисел:
1) A  B  B  A ,
2)  A  B   C  A   B  C  .
Эти свойства позволяют не заботиться о порядке следования слагаемых при сложении двух или большего числа матриц.
 
О п р е д е л е н и е 6. Произведением матрицы A aij на дей-
 
ствительное число  называется матрица C  cij , элементы c ij которой равны произведениям соответствующих элементов матрицы А на
это число:
cij   aij ,
 i 1 , 2 , ... , m;
j 1 , 2 , ... , n  .
(6.11)
Для обозначения произведения матрицы на число используется
8
запись C   A или C  A  , а операция составления произведения
называется умножением матрицы на это число. Например,
2
3 
 1 2 3
 
 = 
.
 

5
4

8

5

4


8
 



Непосредственно из формулы (6.11) очевидно, что умножение
матрицы на число обладает тремя следующими свойствами:
1° сочетательным свойством относительно числового множителя
    A     A     A  ;
2° распределительным свойством относительно суммы матриц
 A  B   A   B ;
3° распределительным свойством относительно суммы чисел
    A A A .
Введенные выше действия сложения матриц и умножения матрицы на число называются линейными операциями над матрицами. Рассмотрим некоторые следствия линейных операций.
1. Если О – нулевая матрица порядков m и n, то для любой матрицы А тех же порядков имеем A  O  A .
2. При    1 матрицу  A    1  A будем называть противоположной матрице A и обозначать  A . Она обладает тем очевидным
свойством, что A    A   O . Например,
 5  4   5 4  0 0

 + 
 = 
 .
  3 2  3  2  0 0
3. Разностью двух матриц А и В одинаковых порядков m и n
называется матрица С тех же порядков m и n, получаемая по правилу
C  A    B  . Операция составления разности двух матриц называется
их вычитанием. Например,
 1 7 5  3 4 3    2 3 2
 – 
 = 
 .
A  B  
 2 9  7   5  2  9    3 11 2 
4. Если любую матрицу умножить на нуль, то получим нулевую
матрицу тех же порядков.
5. Если все элементы матрицы имеют общий множитель, то его
можно вынести за знак матрицы. Например,
 4  8 12 
1  2 3 

 = 4 
 .
16

20
24


 4  5 6
Кроме линейных операций, над матрицами можно выполнять действия, называемые нелинейными операциями: умножение матрицы на
9
матрицу, возведение квадратной матрицы в целую натуральную степень, транспонирование матрицы. Рассмотрим эти операции.
О п р е д е л е н и е 7. Пусть даны матрица А порядков m и n и
матрица В порядков n и k, причем число столбцов n матрицы А равно
числу строк n матрицы В:
 а11 а12 ... а1n 
 b11 b12 ... b1k 




 a 21 a 22 ... a 2 n 
 b21 b22 ... b2 k 
,
A
B 
.
...
... ... ... 
... ... ... ... 




a

b b

 m1 a m 2 ... a mn 
 n1 n 2 ... bnk 
Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица
 c11

c
C   21
...

c
 m1
c12
c 22
...
c m2
c1k 

... c 2 k 
,
... ... 

... c mk 
...
обозначаемая C  AB , каждый элемент cij которой равен сумме попарных произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В:
cij  ai1 b1 j  ai 2 b2 j  ...  ain bnj ,
 i 1, 2, ..., m; j 1, 2, ..., k  .
(6.12)
Согласно данному определению не всякие две матрицы можно
перемножить. Произведение двух матриц имеет смысл тогда и только
тогда, когда число столбцов первого множителя A равно числу строк
второго множителя В. При этом в произведении получается матрица С,
число строчек которой равно числу строк первого множителя А, а число столбцов равно числу столбцов второго множителя В. Схематически
это можно изобразить так:
k
n
m
А
k
B
· n
= m
C
.
Что касается правила (6.12) для вычисления элементов в произведении двух матриц, то оно схематически изображается следующим образом:
10
j
j
i
·
=
i
сij .
Заметим, что умножение матрицы на матрицу определяется
несимметрично для обоих сомножителей и, вообще говоря, зависит от
порядка сомножителей, т. е. A B  B A . Может быть даже так, что произведение матриц, взятых в одном порядке, существует, а взятых в
другом порядке не существует.
П р и м е р 4. Перемножить матрицы А и В, если
2
1


1  1
2
 ,
A  
B  1  2  .
3
5
0
1
3 

Р е ш е н и е.
2
1

 2 1 1  
   1  2  =
AB  
5 
0 3
3 
1
2  2  1  2  1  3   2  1
2  1  1  1  1  1

,
 
0  2  3  2  5  3   8 9 
0  1  3  1  5  1
2
1

  2 1  1
 =
B A   1  2   

  0 3 5 
3
1
9
 1  2  2  0 1  1  2  3 1  1  2  5   2 7

 

  1  2  2  0 1  1  2  3  1  1  2  5  =  2  5  11  .
 1  2  3  0 1  1  3  3  1  1  3  5   2 10 14 

 

Оба произведения А В и В А здесь имеют смысл, но являются различными матрицами (даже различных порядков).
П р и м е р 5. Перемножить матрицы А и В, если
1 1 1 


1 2 3 
 ,
A  
B  1 2 4  .
 4 5 6
1 3 9 


Р е ш е н и е. Произведение АВ здесь имеет смысл, поскольку число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы В:
11
 1 1 1 
  6 14 36 
1 2 3 
   1 2 4   
 .
AB  
4 5 6 
  15 32 78 
1
3
9


Произведение В А здесь смысла не имеет.
Действие умножения матрицы на матрицу обладает следующими
четырьмя свойствами:
4° сочетательным
свойством
умножения
матриц
A  B C   A B  C ;
5° распределительным свойством умножения матрицы на сумму
матриц A  B  C   A B  A C ;
6° распределительным свойством умножения суммы матриц на
матрицу  B  C  A  B A  C A ;
7° если оба произведения АВ и ВА существуют, то в общем случае A B  B A .
Из свойства 7° видно, почему из свойств 5° и 6° нельзя было оставить только одно из них. Если же для двух матриц А и В имеем равенство A B  B A , то матрицы А и В называются перестановочными или
коммутативными. Очевидно, что это может иметь место только в случае, когда А и В – квадратные матрицы одного и того же порядка n.
Среди квадратных матриц одинакового порядка n существует
только одна матрица, которая перестановочна с любой матрицей. Это –
введенная ранее формулой (6.7) единичная матрица E n . Нетрудно
проверить, что всегда
A En  En A  A ,
(6.13)
где А – произвольная квадратная матрица порядка n, т. е. единичная
матрица E n ведет себя при умножении на матрицу как число 1 в
обычной алгебре. Перестановочными являются также диагональные
матрицы одного порядка.
З а м е ч а н и е. Из алгебры известно, что произведение двух чисел ab  0 тогда, когда по меньшей мере одно из чисел a или b равно
нулю. При умножении матриц это неверно. Например, пусть А и В –
квадратные матрицы второго порядка:
1
1 1
 1
 ,
.
A  
B  
1
1

1

1



Тогда
2
 0 0
 2
 1 1
  O ,
  2 
  2 B .
A B  
B A  
 0 0
  2  2
  1  1
Из приведенного примера видно, что A B  O , где О – нулевая матрица
12
второго порядка, хотя A O и B  O . Матрицы А и В, удовлетворяющие условию A B  O , называются делителями нуля. Существование
делителей нуля есть одно из резких отличий алгебры матриц от алгебры чисел. В то же время произведение B A  2 B  O , т. е. матрицы А и
В не являются перестановочными и в произведении В А делителями
нуля не являются.
О п р е д е л е н и е 8. Целой положительной степенью
Am  m 1  квадратной матрицы А называется произведение m матриц,
равных А, т. е.
A
m
 A  A  . A .
(6.14)
m раз
Заметим, что операция возведения в степень определена только для
квадратных матриц. По определению полагают:
A0  En ,
A1  A,
Am  Ak  Ak  Am  Am  k ,
A 
m
k
 Am k .
(6.15)
Следует обратить внимание на то, что из равенства A  O еще не
следует, что матрица А нулевая.
 1  1
 . Тогда
П р и м е р 6. Пусть A  
1
0
 1  1  1  1  1  2 
  
 
,
A 2  
1  0 1  0 1
0
m
 1  2   1  1  1  3 
3
2
  
  
 ,
A  A  A  
 0 1  0 1  0 1
 1  1  1  2   1  3 
  
  
 ,
A3  A  A2  
 0 1  0 1  0 1
 1  2  1  2  1  4
  
  
 ,
A4  A2 2  
 0 1  0 1  0 1
 
 1  3  1  3  1  6 
  
  
 .
 
 0 1  0 1  0 1
О п р е д е л е н и е 9. Пусть дана матрица А размера m  n :
  A 
A6  A 2
 а11

 a21
A
...

a
 m1
3
3
2
а12
...
a22
...
...
...
am 2
...
а1n 

a2 n 
.
... 

amn 
(6.16)
Сопоставим ей матрицу AT из n строк и m столбцов по следующему
13
правилу. Элементы каждой строки матрицы А записываются в том же
порядке в столбцы матрицы AT , причем номер столбца матрицы AT
совпадает с номером строки матрицы А. Ясно, что при этом i-я строка
матрицы AT состоит
столбец матрицы А:
 а11 а21

 a12 a22
T
A 
...
...

a
 1n a2 n
из тех же элементов в том же порядке, что и i-й
...
...
...
...
аm1 

am 2 
.
... 

amn 
(6.17)
T
Матрица A называется транспонированной матрицей А, а переход от А к AT называется транспонированием матрицы А.
Определение транспонированной матрицы можно записать в виде
m  n равенств вида:
b ji  aij ,
 
A  aij
связывающих элементы матриц
и
 
(6.18)
T
A  b ji , для всех
i = 1, 2, … , m и j = 1, 2, … , n.
При транспонировании, как видим, меняется строение матрицы
(если m  n ), а именно:
m
n
A=
AT =
m,
n.
Например, если
a b c 
,
A  
B  x y z  ,

 a1 b1 c1 
то
 a a1 
 x 




T
T
A   b b1  ,
B   y .


 z 


 c c1 
При транспонировании матрицы её строка превращается в столбец, а столбец в соответствующую строку. При этой операции выполняются следующие свойства:
1) AT T  A ,
2)  A  B  T  AT  BT ,
 
14
4)  A B  T  BT AT .
3)   A  T   AT ,
T
Отметим, что в общем случае AT  A , но E n  E n .
О п р е д е л е н и е 10. Квадратная матрица порядка n называется
симметрической, если её элементы расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны между собой, т. е. aij  a ji . Симметрическая матрица имеет вид
 а11 а12 ... а1n 


 a12 a22 ... a 2 n 
.
(6.19)
A
...
...
...
... 


a

 1n a2 n ... ann 
Из определений 9 и 10 следует, что симметрическая матрица совпадает со своей транспонированной матрицей. Если же выполняется
равенство AT   A , то квадратная матрица А называется кососимметрической. Например, матрица
 0  3  2


A  3
0  6
2
6
0 

– кососимметрическая, так как AT   A .
6.2. Определители квадратных матриц
С каждой квадратной матрицей , и только с ней, можно связать
число – её определитель. Определители играют важную роль как в линейной алгебре при решении систем линейных уравнений, так и в других разделах математики. В курсе аналитической геометрии уже рассматривались определители 2-го и 3-го порядка. Нашей дальнейшей
задачей является изучение определителей квадратных матриц любого
порядка n.
Понятие определителя n-го порядка мы введем рекуррентным
способом, считая, что нами уже введено понятие определителя 1-го
порядка и указана формула вычисления определителя порядка n  1 .
Для удобства записи суммы большого числа слагаемых, имеющих
один и тот же вид и отличающихся только индексами, будем использоn
вать следующее обозначение. Символ

, после которого стоит не-
k 1
которое выражение, содержащее индекс к, будет обозначать сумму та-
15
ких выражений для всех значений индекса к от 1 до n включительно,
например:
n

n
a
ak  a1  a2  ...  an ,
ik
k 1
 ai1  ai 2  ...  ain .
k 1
Индекс k называется индексом суммирования. В качестве индекса
суммирования может быть употреблена и любая другая буква.
О п р е д е л е н и е. 1°. Определителем матрицы первого порядка
A a11 , или определителем 1-го порядка, называется единственный
 
элемент этой матрицы a11 , обозначаемый одним из символов
  | A|  | a11 |  a11 .
(6.20)
2°. Определителем матрицы А порядка n  1 , где
 а11 а12 ... а1n 


 a21 a22 ... a2 n 
,
A 
...
...
...
... 


a

 n1 an 2 ... ann 
называется число, обозначаемое одним из символов
a11 a12 ... a1n
 |A | 
a21
a22
...
a2 n
...
...
...
...
an1
an 2
...
ann
и вычисляемое по формуле
a22 a23
  | A |  a11
 a12
(6.21)
...
a2 n
a32
a33
...
a3 n
...
...
...
...
an 2
an3
...
ann
–
a 21
a 23
... a 2 n
a 21
a 22
a 24
... a 2 n
a 31
a 33
... a 3n
a 31
a 32
a 34
... a 3n
...
...
...
...
...
a n1
a n3
... a nn
a n1
a n2
a n4
a21
a22
... a2 ( n 1)
a31
a32
... a3( n 1)
...
...
...
an1
an 2
... an ( n 1)
...  ( 1)1 n a1n
...
...
 a13
...
n

 (1)
j 1
16
1 j
...
...

... a nn
a1 j M 1 j ,
(6.22)
 n 1  , полученной из мат-
где M 1 j – определитель матрицы порядка
рицы А вычеркиванием первой строки и j-го столбца, называемый минором элемента a1 j .
Формулой (6.22) определитель | A| матрицы А порядка n выражается через определители M1 j  j 1, 2,...,n  матриц порядка  n 1  . Для
нахождения чисел M 1 j мы можем и должны воспользоваться той же
формулой (6.22), поскольку она имеет место для матриц любого порядка. Тем самым мы выразим определитель | A| через определители
матриц порядка  n  2  . Можно продолжать этот процесс до тех пор,
пока мы не придем к матрицам первого порядка, для которых определитель определен непосредственно.
Применим определение к матрицам порядка n  2 и n  3 . Для
матрицы 2-го порядка получим:
| A| 
a11
a21
a12

a22
2
   1  1 j a1 j M1 j 
j 1
 a11M 11  a12 M 12  a11a 22  a12 a 21 .
(6.23)
Из формулы (6.23) следует, что определитель 2-го порядка равен разности произведений элементов матрицы А, стоящих на главной и побочной диагоналях.
Определитель 3-го порядка по формуле (6.22) выразим через три
определителя 2-го порядка:
a11
a12
a13
| A |  a21
a22
a23 
a31
a32
a33
a 22
a 23
a 32
a 33
 a12
 a11
3
  1  1 j a1 j M1 j  a11 M11  a12 M12  a13 M13 =
j 1
a 21 a 23
a31
a33
 a13
a 21
a 22
a 31
a 32
.
(6.24)
Если здесь вычисление определителей 2-го порядка выполнить по
формуле (6.23), то получим шесть слагаемых, из которых три будут
иметь знак «+», а три других знак « – »:
| A|  a11 a22 a33  a21 a32 a13  a31 a12 a23 
 a31 a22 a13  a21 a12 a33  a11 a32 a23 .
(6.25)
Чтобы запомнить, какие произведения здесь берутся со знаком
«+», а какие со знаком « – », полезно следующее правило Сарруса:
17
,
.
"–"
"+"
Оно позволяет вычислить определитель 3-го порядка непосредственно
по формуле (6.25) без разложения его по элементам первой строки по
формуле (6.24).
По аналогии с минором M 1 j элемента a1 j матрицы А определим
минор M ij произвольного элемента a ij как определитель матрицы по-
рядка  n 1  , получаемой из исходной матрицы А вычеркиванием i-й
строки и j-го столбца.
Естественно возникает после этого вопрос, нельзя ли использовать для вычисления величины определителя (6.21) элементы и отвечающие им миноры не первой строки, а любой другой строки или любого столбца матрицы А ?
Ответ на этот вопрос дает основная теорема разложения определителя по элементам любой строки и любого столбца, которую примем
без доказательства.
Т е о р е м а р а з л о ж е н и я. Для каждой квадратной матрицы А порядка n при любом номере строки i  1  i  n  имеет место
формула
n
  | A |     1  i  k aik M ik
(6.26)
k 1
и при любом номере столбца j  1  j  n  – формула
n
  | A|     1  k  j akj M kj .
(6.27)
k 1
Заметим, что при i 1 формула (6.26) есть определение определителя n-го порядка, данное формулой (6.22). В дальнейшем, говоря о
строках и столбцах минора M ij , будем допускать вольность, имея в
виду строки и столбцы матрицы  n 1  -го порядка, полученной из исходной матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.
Рассмотрим три примера на использование теоремы.
П р и м е р 1. Вычислить определитель единичной матрицы E 4
разложением его по элементам первого столбца.
18
Р е ш е н и е.
1 0 0 0
1 0 0
0 1 0 0
| E4 |
1 0 1 0 1
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 1
1 0
0 1
 1  | E1 |  1 .
Отсюда следует, что применяя n  1 раз равенство | En | | En1 | , мы получим | En | | E1 | 1 .
П р и м е р 2. Вычислить определитель

2
1
1
1
a
b
c
d
1
1
2
1
1
1
1
2
.
Р е ш е н и е. Разложим определитель по элементам второй
строки:
   aM 21  bM 22  cM 23  dM 24 =
1
 a
1
1 2
1
2
1  b
1
1
2
1  c
1 2
1
1
1
2
1 1  d
1
1
1
1 2 .
1 1 2
1 1 2
1
1
2
1
1 1
Применяя для вычисления определителей 3-го порядка правило
Сарруса, получим   9a  12b  9c  3d .
П р и м е р 3. Вычислить определитель

x
1
0
1
1
x
0
1
1
1
0
x
1
2
3
4
.
Р е ш е н и е. В данном случае для разложения целесообразно выбрать 3-й столбец, так как наличие в нём трех нулевых элементов дает
возможность не вычислять соответствующих миноров. Применяя затем
правило Сарруса, находим:
x
1
   3M 43   3  1  x
1
1
1  3x 3  9 x .
1  x
19
6.3. Свойства определителей
С увеличением порядка определителя число произведений, из которых состоит сумма, равная величине определителя, стремительно
растет. Так, в определителе 2-го порядка имеем два слагаемых, в определителе 3-го порядка – шесть слагаемых, в определителе 4-го порядка – двадцать четыре, а в определителе 5-го порядка их будет уже сто
двадцать. По этой причине определители выше 3-го порядка никогда
не вычисляют по определению или по теореме разложения. Существуют замечательные свойства определителей, с одной стороны, значительно упрощающие их вычисление, а с другой стороны, имеющие
важное теоретическое значение.
С в о й с т в о 1°. Для любой квадратной матрицы | A|  | AT | , т. е.
при транспонировании матрицы величина определителя сохраняется.
Это свойство непосредственно вытекает из теоремы разложения.
Для этого достаточно лишь заметить, что разложение определителя
| A | по первому столбцу в формуле (6.27) тождественно совпадает с
разложением определителя | A T | по первой строке в формуле (6.26).
Доказанное свойство означает полную равноправность строк и
столбцов определителя и позволяет все последующие свойства определителя устанавливать лишь для строк и быть уверенными в справедливости их для столбцов.
С в о й с т в о 2°. Если в квадратной матрице поменять местами
какие-нибудь две строки (или два столбца), то определитель матрицы
сохраняет свою абсолютную величину, но меняет знак на противоположный.
Докажем это утверждение сначала для двух соседних строк матрицы: i-й и  i  1  -й. Разложим определитель | A | исходной матрицы А
по элементам i-й строки, а определитель | A | новой матрицы
A (с переставленными строками) по элементам  i  1  -й строки. Разложения будут отличаться только знаком, так как в формуле (6.26) для
определителя | A | каждое слагаемое будет иметь противоположный
знак (множители  1  i  k сменятся на множители   1  i 1 k ), поэтому | A |  | A| .
Если переставить не соседние строки, а, скажем, i-ю и  i  p  -ю,
то такую перестановку можно представить как последовательное смещение i-й строки на р строк вниз (при этом каждый раз знак определителя меняется), а  i  p  -й строки на  p  1  строк вверх, что тоже сопровождается  p  1  изменением знака, т. е. знак поменяется нечетное число  2 p 1  раз, поэтому | A |   | A| .
20
Тем самым свойство доказано.
О п р е д е л е н и е 1. Будем говорить, что некоторая строка
(a1 , a2 , ..., an ) является линейной комбинацией строк (b1 , b2 , ..., bn ) ,
(c1 , c2 , ..., cn ) , … , (d1 , d 2 , ..., d n ) с коэффициентами  ,  , …,  , если
выполняются равенства a j   b j   c j  ...   d j
 j 1, 2,..., n  .
С в о й с т в о 3°. Если в квадратной матрице А порядка n некоторая i-я строка  ai1 , ai 2 , ..., ain  является линейной комбинацией двух
 b1 , b2 , ..., bn 
 c1 , c2 , ..., cn 
с коэффициентами  и  , то
| A |   | Ab |  | Ac | , где | Ab | – определитель, у которого i-я строка
строк
и
есть  b1 , b2 , ..., bn  , а все остальные строки те же, что и у определителя
| A | , а | Ac | – определитель, у которого i-я строка есть  c1 , c2 , ..., cn  , а
все остальные строки те же, что и у определителя | A | :
a11
...
 b1   c1
...
an1

a11
...
c1
...
an1
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
a1n
...
 bn  cn
...
ann
a11
...
  b1
...
an1
...
...
...
...
...
a1n
...
bn
...
ann

a1n
...
cn .
...
ann
Для доказательства свойства достаточно разложить каждый из
определителей | A | , | Ab | , | Ac | по i-й строке и заметить, что у всех
трех определителей все миноры M ij элементов i-й строки одинаковы:
| A |   1i 1   b1   c1  M i1   1i  2   b2   c2  M i 2  ... 


  1i  j  b j   c j M ij  ...   1i  n   bn   cn  M i n ,
| Ab |   1i 1 b1 M i1   1i 2 b2 M i 2  ...  1i  j b j M ij  ....  1i n bn M i n ,
| Ac |   1i 1 c1M i1   1i  2 c2 M i 2  ...   1i  j c j M ij  ...   1i  n cn M i n .
Отсюда следует, что формула | A|   | Ab |   | Ac | сразу вытекает
из равенств aij   b j   c j
 j 1, 2, ..., n  .
21
Доказанные три свойства являются основными свойствами определителя, вскрывающими его природу. Следующие пять свойств являются логическими следствиями трех основных свойств.
С л е д с т в и е 1. Определитель с двумя одинаковыми строками
(или столбцами) равен нулю.
В самом деле, при перестановке двух одинаковых строк, с одной
стороны, определитель | A | не изменится, а с другой стороны, в силу
свойства 2˚ изменит знак на противоположный. Таким образом,
| A |   | A| , отсюда 2 | A |  0 и | A |  0 .
С л е д с т в и е 2. Умножение всех элементов некоторой строки
(или некоторого столбца) определителя на число  равносильно
умножению определителя на это число  .
Иными словами, общий множитель всех элементов некоторой
строки (или некоторого столбца) определителя можно вынести за знак
этого определителя. Это свойство вытекает из свойства 3° при  = 0.
С л е д с т в и е 3. Если все элементы некоторой строки (или некоторого столбца) определителя равны нулю, то и сам определитель
равен нулю.
Это свойство вытекает из предыдущего при  = 0.
С л е д с т в и е 4. Если элементы двух строк (или двух столбцов)
определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.
Действительно, в силу следствия 2 множитель пропорциональности  можно вынести за знак определителя, после чего останется
определитель с двумя одинаковыми строками, который равен нулю согласно следствию 1.
Найдем, например, значение определителя

1  2a
1
a
x
1  2b
2
b
x
1  2c
1  2d
3
4
c
d
x
x
.
Элементы первого столбца являются здесь суммами двух слагаемых, поэтому согласно свойству 3° имеем

1 1
a
x
2a
1
a
x
1 2
b
x
2b
2
b
x
1 3
1 4
c
d
x
x
2c
2d
3
4
c
d
x
x

.
В первом определителе первый столбец пропорционален последнему, во втором же первый столбец пропорционален третьему. По
следствию 4 оба определителя равны нулю, а значит Δ = 0.
22
С л е д с т в и е 5. Если к элементам некоторой строки (или некоторого столбца) определителя прибавить соответствующие элементы
другой строки (другого столбца), умноженные на произвольный множитель  , то величина определителя не изменится.
В самом деле, полученный в результате указанного прибавления
определитель можно в силу свойства 3° разбить на сумму двух определителей, первый из которых совпадает с исходным, а второй равен нулю в силу пропорциональности двух строк (или столбцов) и следствия 4.
Следствие 5 широко применяется при конкретном вычислении
определителей для так называемого «обнуливания» определителя, т. е.
для замены ненулевых элементов нулевыми, что при определенном порядке обнуливания значительно сокращает вычисление определителя.
Рассмотрим конкретные примеры.
П р и м е р 1. Вычислить определитель 4-го порядка
3 5 1 0

2
1
4
5
1
7
4
2
.
3 5 1 1
Если к этому определителю непосредственно применить формулы
разложения (6.26), (6.27), то получим четыре определителя 3-го порядка. Но такой путь вряд ли целесообразен. Поставим перед собой цель,
пользуясь следствием 5, получить, например, в первом столбце три нулевых элемента. Для этого умножим третью строку на ( – 2) и сложим
со второй; кроме того, умножим эту же строку на 3, после чего сложим
с четвертой и вычтем из первой:
0  16  11  6

0
 13
4
1
1
7
4
2
.
0
26
13
7
Разложив определитель по элементам первого столбца, умножим
затем третий столбец на 4 и сложим со вторым, а затем умножим его на
13 и сложим с первым. Получим таким образом:
 16  11  6
 94  35  6
   13
4
1 
26
13
7
 
 94
117
0
0
117
41
 35
  241 .
41
23
1 
7
П р и м е р 2. Вычислить определитель
4 99
83
1

0
8
16
0
60
17
134
20
.
15 43 106
5
Комбинируя следствия 2 и 5 с разложением определителя по элементам строки, используем символическую запись для краткого пояснения решения:
4 99
83
1
4 99  115
1
 
0
8
16
0
60
17
134
20
15
43
106
5

0
8
0
0
60
17
100
20
15
43
20
5

(–2)
4  115
 8  60
100
15
20
20  8  20  5  3
5
4  115
 800  0
3
4  115 1
1
1
1 0  800 
4 1
3
4 1
3 1
5 1
4 1

(–1)
 800 .
П р и м е р 3. Вычислить
1
2 3 4

1
3 3 4
.
1 1 7 4
1 2 5 9
В определителе легко можно получить нули над главной диагональю. В результате так называемый треугольный определитель будет
равен произведению элементов, стоящих на его главной диагонали.
1
2 3 4
1
0 0 0
1 0 0
4 0
1
3 3 4
1
1 0 0
 20 .


 3 4 0 
2 5
1 1 7 4
1 3 4 0
4 2 5
1 2 5 9
1 4 2 5
(–2)
(–3)
(–4)
24
П р и м е р 4. Вычислить определитель n-го порядка:
a b
0 . . . 0
0

0
a b . . . 0
0
0
0
а . . . 0
0
.
.
0
0
. . . .
.
.
.
0 . . . a b
b
0
0 . . . 0
a
Разложив определитель по элементам первого столбца, получим
a b . . . 0 0
b 0 . . . 0 0
0
a
a . . . 0
.
. . . . .
0
.
  b    1
n 1
a b . . .
.
. . . .
0
0
.
.
0
0
0 . . . a b
0
0 . . . b
0
0 . . . 0
0
0 . . .
a
n 1
a b
.
n 1
Так как в первом определителе нули – под главной диагональю, а
во втором – над главной диагональю, то оба они равны произведению
элементов, расположенных на главной диагонали. Таким образом,
n 1
n
n
  a  a   b  1n 1   bn1  a  b .
О п р е д е л е н и е 2. Алгебраическим дополнением данного элемента ai j определителя n-го порядка (6.21) назовём число, равное
1i  j M i j
и обозначаемое символом Ai j :
Ai j = 1i  j M i j .
(6.28)
Таким образом, алгебраическое дополнение данного элемента
может отличаться от минора этого элемента только знаком, определенным множителем 1i j .
С помощью понятия алгебраического дополнения основную теорему разложения определителя по любой строке и по любому столбцу
можно переформулировать так:
Сумма произведений элементов любой строки (любого столбца)
определителя на соответствующие им алгебраические дополнения
этой строки (этого столбца) равна самому определителю:
n
  | A |   a i j Ai j , (i =1,2,…,n),
(6.29)
j 1
n
  | A |   a i j Ai j , (j =1,2,…,n).
(6.30)
i 1
Теперь можно сформулировать последнее свойство определителя.
25
С в о й с т в о 4. Сумма произведений элементов какой-либо строки (или какого-либо столбца) определителя на соответствующие алгебраические дополнения элементов любой другой строки (любого другого столбца) равна нулю:
(6.31)
ak1 Ai1  ak 2 Ai 2  ...  akn Ain  0, k  i,
a1 p A1 j  a 2 p A2 j  ...  anp Anj  0, p  j.
(6.32)
Доказательство проведём для строк (для столбцов оно проводится
аналогично). Записывая подробно формулу (6.29)
a11 a12
...
...
a i1 a i 2
...
...
a n1 a n 2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. a1n
. ...
. a in  a i1 Ai1  ai 2 Ai 2  ...  ain Ain ,
. ...
. a nn
(6.33)
заметим, что поскольку алгебраические дополнения Ai1 , Ai 2 ,...,Ain не
зависят от элементов i - й строки ai1 , ai 2 ,..., ain , то равенство (6.33) является тождеством относительно ai1 , ai 2 ,..., ain и сохраняется при замене
чисел ai1 , ai 2 ,..., ain любыми другими n числами. Заменив ai1 , ai 2 ,..., ain
соответствующими элементами любой (отличной от i-й) k-й строки
ak1 , ak 2 ,...,akn , мы получим слева в формуле (6.33) определитель с
двумя одинаковыми строками, равный нулю согласно следствию 1, что
и доказывает формулу (6.31).
З а м е ч а н и е. Формулы (6.29) – (6.32) можно объединить, записав их в виде единых формул Лапласа:
 | A |, если i  k ,
0, если i  k ,
n
 ak j Ai j  
j 1
(6.34)
 | A |, если j  p,
Ai j  
(6.35)
 0, если j  p.
i 1
Формулы Лапласа играют важную роль, с их помощью доказываются некоторые теоремы линейной алгебры.
a
n
ip
6.4. Обратная матрица
При умножении матриц естественно возникает вопрос: обратимо
ли действие умножения матрицы на матрицу? Другими словами, если
известно произведение двух матриц и одна из матриц-сомножителей,
то можно ли найти другую матрицу? Ответить на этот вопрос мы сможем, если введём понятие обратной матрицы.
26
Как известно, для каждого числа a  0 существует обратное чис1
1
1
ло a
такое, что произведение a  a  a  a  1 . Для квадратных
матриц тоже вводится аналогичное понятие.
О п р е д е л е н и е. Матрица A 1 называется обратной для квадратной матрицы A порядка n, если при умножении её слева и справа на
матрицу A получается единичная матрица, т. е.
A A1  A1 A  En .
(6.36)
Из определения следует, что только квадратная матрица имеет обратную; в этом случае и обратная матрица является квадратной того же
порядка. Очевидно, что свойство быть обратной матрицей взаимно в
том смысле, что если A 1 является обратной для A , то A является
 
1
обратной для A 1 : A 1  A .
Убедимся сначала в том, что если обратная матрица существует,
то она единственна. Предположим, что для матрицы
две обратные матрицы A
АА
1
1
A существуют
и А1 . Тогда по определению (6.36) имеем:
1
 А А  Еn , A A1  A1 A  En .
Умножив последнее равенство слева на A 1 , получим
A1 ( А А1 )  А1 Еn .
Воспользовавшись сочетательным свойством умножения матриц
и определением единичной матрицы, получим:
A1 ( A A1 )  ( A1 A) A1  En A1  A1  A1 En  A1 ,
1
т. е. А1  А . Следовательно, матрица не может иметь более одной
обратной.
Однако не каждая квадратная матрица имеет обратную. Если
а  0 является необходимым и достаточным условием существования
1
обратного числа а , то для существования матрицы A 1 таким условием является требование | A |  0 .
Квадратная матрица A называется невырожденной, если её определитель отличен от нуля. В противном случае матрица называется вырожденной. Справедлива следующая теорема.
Т е о р е м а. Если A – невырожденная матрица, то она имеет
1
обратную матрицу A .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть | A |  0 . Составим квадратную мат~
рицу А , называемую присоединённой для матрицы A , элементы которой являются алгебраическими дополнениями элементов транспонированной матрицы АТ :
27
 A11 A21

~  A12 A22
А
 ...
...
A
A
2n
 1n
. An1 

. An 2 
(6.37)
.
. ... 
. Ann 
~
Найдем произведение A A  cij  i, j  1, 2,..., n . По определению
операции умножения матриц (6.12) и формуле Лапласа (6.34) имеем:
n
 | A |,если i  j ,
сi j  ai1 A j1  ai 2 A j 2  ...  ai n A j n   ai k A j k  
 0, если i  j ,
k 1
т. е.
 | A | 0 ... 0 


~  0 | A | ... 0 
AA
| A | En .
... ... ... ... 


 0
0 ... | A | 

Подобным же образом с помощью формул Лапласа (6.35) можно
~
доказать, что A A  | A| En . Так как, по условию | A |  0 , то, умножая
.
.
.
.
.
.
.
.
обе части последних двух равенств на



1
, имеем
|A |

~
 1 ~
 1 ~
1
1 ~
A A  A
A   En ,
AA 
A   A  En .
| A|
|
A
|
|
A
|


 | A| 
Полученные выражения показывают, что для невырожденной
матрицы A существует обратная матрица
 A11 A21 ... An1 


1  A12 A22 ... An 2 
1
(6.38)
A 

.
... ... ... 
| A |  ...

A

 1n A2 n ... Ann 
Теорема доказана.
П р и м е р. Найти обратную матрицу для матрицы
2  1
1


А  3
0
2 .


5 
4 2
Р е ш е н и е. Так как определитель матрицы   | A |  4 отличен
от нуля, то обратная матрица A 1 существует. Вычислим алгебраические дополнения всех элементов матрицы A :
28
А11 
А21  
А31 
0
2
2
5
 4,
2
1
2
5
2
1
А12  
 8, А22 
 4,
А32  
3
2
4
5
1
1
4
5
1
1
0
2
3
По формуле (6.38) находим:
4
 4 8
1~
1
1
A   A    7
9 5
4
4
  6 10  6

По формулам A A1  A1 A  En
ления обратной матрицы:
1

3

4
2
0
2
1   1
 
2  7 4
 
5   3 2
2
9 4
5 2
29
2
3
0
4
2
 7,
А13 
 9,
А23  
 5, А33 
1
2
4
2
1
2
3
0
 6 ,
 10 ,
 6 .
2
1 
  1
 

   7 4 9 4 5 4  .
 

  3 2 5 2 3 2 
проверяем правильность вычис1 
 1


5 4  0


3 2 
0
0
1
0
0 

0 .

1 
ГЛАВА 7. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
7.1. Основные понятия
В общем случае система m линейных уравнений с n неизвестными
(или кратко линейная система) имеет следующий вид:
a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1 ,
a x  a x  ...  a x  b ,
(7.1)
. .21. .1. . . .22. . .2 . . . . . . .2.n . .n . . . .2 . .

a m1 x1  a m 2 x 2  ...  a mn x n  bm .
В общем случае число уравнений в системе не обязательно совпадает с числом неизвестных: m может быть меньше, равно или больше
числа n. При этом через x1 , x2 ,...,xn обозначены неизвестные, подлежащие определению; величины а11 , а12 ,...,аmn , называемые коэффициентами системы, и величины b1 , b2 ,...,bm , называемые свободными
членами, предполагаются известными. Каждый коэффициент системы
ai j имеет два индекса, первый из которых i указывает номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент.
Система (7.1) называется однородной, если все её свободные члены b1 , b2 ,...,bm равны нулю. Если хотя бы один из свободных членов
b1 , b2 ,...,bm отличен от нуля, то система (7.1) называется неоднородной.
Система (7.1) называется квадратной, если число m составляющих её уравнений равно числу неизвестных n. В более краткой записи
с помощью знаков суммирования систему можно записать в виде:
n
 ai j x j  bi i  1, 2,..., m.
(7.2)
j 1
О п р е д е л е н и е 1. Совокупность n чисел 1 ,  2 ,...,  n называется решением системы (7.1), если после замены неизвестных
x1 , x2 ,...,xn числами 1 ,  2 ,...,  n соответственно каждое из уравнений системы превращается в верное числовое равенство.
П р и м е р 1.
 x  y  z  1,
2 x  2 y  2 z  3 .

Эта система двух уравнений с тремя неизвестными решений не
имеет, так как любая тройка чисел, удовлетворяющая первому уравнению, очевидным образом не может удовлетворять второму.
30
П р и м е р 2.
 x  y  1,
2 x  7 y  3 .

Легко видеть, что эта система имеет единственное решение: x = 2,
y = – 1.
П р и м е р 3.
 x  y  1,

2 x  2 y  2,
3x  3 y  3.

Пара чисел x = 1, y = 0 есть решение этой системы трёх уравнений
с двумя неизвестными, а пара x = – 1, y = 2 – другое решение. Эта система имеет бесконечно много других решений, так как значения
x=  , y  1   при любом  удовлетворяют системе.
Приведенные примеры систем показывают, что, вообще говоря,
система может либо вовсе не иметь решений, либо иметь единственное
решение, либо иметь их несколько (как видно будет в дальнейшем, в
последнем случае система всегда имеет бесконечно много решений).
О п р е д е л е н и е 2. Система (7.1) называется совместной, если
она имеет хотя бы одно решение, и называется несовместной, если не
имеет ни одного решения.
Следовательно, система примера 1 несовместна, а системы примеров 2 и 3 совместны.
О п р е д е л е н и е 3. Совместная система вида (7.1) называется
определенной, если она имеет единственное решение, и называется неопределенной, если у неё существуют, по крайней мере, два различных
решения.
Два решения совместной системы вида 1 ,  2 ,...,  n и 1 , 2 ,..., n
называются различными, если нарушается хотя бы одно из равенств
1  1 ,  2  2 , ...,  n  n .
В частности, система примера 2 является определенной, а система
примера 3 – неопределенной.
Относительно каждой системы линейных уравнений могут быть
поставлены следующие вопросы.
1) Совместна ли заданная система или нет?
2) В случае, если система совместна, как определить, сколько решений она имеет – одно или несколько?
3) Как найти все решения системы?
Ответы на все эти вопросы и должна дать теория систем линейных уравнений.
Весьма удобно записывать линейную систему (7.1) в матричной
форме. Введём следующие обозначения:
31
 x1 
 b1 
 а11 а12 ... а1n 


 


 x2 
 b2 
 a 21 a 22 ... a 2 n 
, X 
(7.3)
А
, B   ,

...
... ... ...
 ... 
 ... 




 
a

 m1 a m 2 ... a mn 
 bn 
 xn 
где А – матрица, составленная из коэффициентов системы, в дальнейшем будет называться матрицей системы; X – матрица-столбец
неизвестных; B – матрица-столбец свободных членов.
Согласно правилу умножения двух матриц произведение AX
представляет собой матрицу, содержащую m строк и один столбец, т. е.
один столбец следующего вида:
 a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n 


a x  a 22 x 2  ...  a 2 n x n 
.
(7.4)
AX   21 1
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
 a x  a x  ...  a x 
m2 2
mn n 
 m1 1
Элементами полученной матрицы являются левые части системы
(7.1), а элементами матрицы B являются правые части той же системы.
На основании определения равенства двух матриц систему (7.1) можно
заменить теперь одним эквивалентным ей матричным уравнением
(7.5)
AX  B.
Решение матричного уравнения (7.5) заключается в отыскании такой матрицы X, которая при заданных матрицах A и B обращает уравнение (7.5) в тождество.
7.2. Система n линейных уравнений с n
неизвестными
Ограничимся сначала рассмотрением системы, у которой число
уравнений равно числу неизвестных. Пусть мы имеем систему n линейных уравнений с n неизвестными:
 a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1 ,
 a x  a x  ...  a x  b ,
2
2n n
2
. .21. . 1. . . . 22
...................

 a n1 x1  a n 2 x 2 ...  a nn x n  bn .
(7.6)
Наложим определенные условия на коэффициенты системы (7.6).
Если этого не сделать, то нам придётся изучать здесь, например, и систему, состоящую из одного уравнения, повторённого n раз. Мы хотим,
чтобы все уравнения системы были в определённом смысле независимы. Уже в школьном курсе широко применялся следующий приём:
умножали первое уравнение на число  , второе уравнение на число  ,
32
а затем складывали эти уравнения почленно. Полученное уравнение
(его естественно назвать линейной комбинацией исходных уравнений)
является их следствием. Мы хотим, чтобы в системе (7.6) ни одно
уравнение не являлось линейной комбинацией остальных. Если это
выполнено, мы будем говорить, что уравнения линейно независимы.
Составим определитель n-го порядка

a11
a12
... a1n
a 21
a 22
... a 2 n
...
...
a n1
an2
...
...
,
... a nn
элементами которого являются коэффициенты при неизвестных системы (7.6). Он называется определителем системы (7.6).
Для линейной независимости уравнений системы (7.6) достаточно потребовать теперь, чтобы определитель системы был отличен от
нуля.
Действительно, заметим, что при умножении какого-нибудь уравнения на число соответствующая строка определителя системы умножается на это число. При сложении уравнений строки определителя
складываются. Поэтому, если одно из уравнений является линейной
комбинацией остальных, соответствующая строка определителя системы есть линейная комбинация остальных строк. Из свойства 3° линейности определителя по строке и следствия 1 п. 6.3 следует, что при
этом определитель системы равен нулю.
Для получения решения системы (7.6) матричным способом заменим её (как и в п. 7.1) эквивалентным матричным уравнением
(7.7)
AX B,
где А – матрица системы, X – матрица-столбец неизвестных, B –
матрица-столбец свободных членов.
Так как определитель   | A | отличен от нуля, то существует обратная матрица A 1 .
Умножая слева обе части матричного уравнения (7.7) на матрицу
A 1 , будем иметь
A1  A X   A1 B.
В силу сочетательного свойства произведения трёх матриц и
определения единичной матрицы имеем


A1  A X   A1 A X  En X  X ,
поэтому решением системы (7.6) будет матрица-столбец
1
X  A B.
(7.8)
33
Легко проверить, что столбец X обращает уравнение (7.7) в тождество:
A X  A A1 B  A A1 B  En B  B.
Решение (7.8) в развёрнутой форме примет вид

 

 A11 A21 ... An1
 x1 



x
1
 2    A12 A22 ... An 2
 ...    . . . . . . . . . . .
 A A ... A
x 
nn
 n 
 1n 2 n
или после умножения матриц






 b1

 b2
 ...
b
 n


,



 b1 A11  b2 A21  ...  bn An1 
 x1 




x
 2   1  b1 A12  b2 A22  ...  bn An 2  .
 ...    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 b A  b A  ...  b A 
x 
2 2n
n nn 
 n 
 1 1n
Отсюда следует, что для любого j ( j = 1, 2, …, n)
j
1
x j   b1 A1 j  b2 A2 j  ...  bn Anj  
,


(7.9)
где  j – определитель матрицы, полученной из матрицы A заменой
её j-го столбца столбцом свободных членов:
b1 a12 ... a1n
1 
b2 a22 ... a2 n
...
... ... ...
bn an 2 ... ann
a11 b1 ... a1n
, 2 
a21 b2 ... a2 n
...
... ... ...
an1 bn ... ann
a11 a12 ... b1
, ...,  n 
a21 a22 ... b2
...
... ... ...
.
an1 an 2 ... bn
Формулы (7.9) получили название формул Крамера.
Тем самым доказано, что квадратная система линейных уравнений (7.6) с определителем системы, отличным от нуля, имеет и притом единственное решение, определяемое матричным соотношением
(7.8) или эквивалентными ему формулами Крамера (7.9).
Основное значение формул Крамера состоит в том, что они дают
явное выражение для решения квадратной системы линейных уравнений (с определителем, отличным от нуля) через коэффициенты уравнений и свободные члены. Однако при больших n решение по формулам
Крамера и матричным способом весьма трудоёмко, что связано с вычислением определителей и нахождением обратной матрицы. При n > 3
квадратные системы, а также системы, в которых либо определитель
равен нулю, либо число уравнений вообще не равно числу неизвестных, решаются другими методами, более экономными в вычислительном отношении.
34
П р и м е р. Решить систему уравнений
 x1  2 x2  x3  1 ,

2 x3  4 ,
3x1 
4 x  2 x  5 x  2
2
3
 1
а) матричным способом; б) по формулам Крамера.
Р е ш е н и е. а) Обозначим
 1 2  1


A   3 0 2 ,
 4  2 5


 x1 
 
X   x2  ,
x 
 3
1
 
B   4 .
2
 
Так как определитель системы   | A |  4 , то матрица А невырожденная, и существует обратная матрица, равная (согласно примеру
п. 6.4)
 4  8 4

1
A1     7 9  5  .
4

  6 10  6 
По формуле (7.8) находим решение системы в матричной форме:
 4 8 4   1 
  20   5 
  
 

1
1
1
X  A B     7 9  5   4     19     19 4  .
4
4
  
 

  6 10  6   2 
 22    11 2 
Используя определение равенства двух матриц, получаем
19
11
x1  5, x2   , x3   .
4
2
б) Найдем определитель системы   | A |  4 . Так как   0 , то
решение системы по формулам Крамера имеет вид



x1  1 , x2  2 , x3  3 .



Вычисляем определители 1 ,  2 ,  3 , получаемые из определителя  заменой соответственно первого, второго и третьего столбцов
столбцом свободных членов:
1 2 1
1 1 1
1 2 1
1  4
0
2 2
2  20 ,
5
2  3 4
4 2
2  19 ,
5
3  3
0 4  22 .
4 2 2
19
11
, x3   .
4
2
Подстановкой найденных значений в уравнения системы убеждаемся, что они обращаются в верные равенства.
Следовательно, x1  5, x 2  
35
7.3. Элементарные преобразования матриц и систем
линейных уравнений
Прежде чем перейти к решению произвольных систем линейных
уравнений, нам необходимо познакомиться с некоторыми сведениями,
относящимися к теории матриц. Это отступление обусловлено тем, что
произвольная система линейных уравнений (7.1) с точностью до обозначения неизвестных вполне определяется таблицей коэффициентов
при неизвестных и свободными членами, и поэтому свойства системы
должны проявляться в свойствах соответствующей матрицы.
Пусть дана матрица
 a11 a12 ... a1n 


 a 21 a 22 ... a 2 n 
(7.10)
A
.
...
... ... ... 


a

 m1 a m 2 ... a mn 
Конечно, в частном случае допускается равенство m=n, т. е. матрица А
может быть квадратной.
О п р е д е л е н и е 1. Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие операции:
1) умножение какой-либо строки на число, отличное от нуля;
2) прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на одно и то же число;
3) перестановка местами двух строк;
4) аналогичные операции над столбцами.
Применяя к матрице А какое-либо элементарное преобразование,
мы получаем новую матрицу А'. Для этих двух матриц справедливо
следующее предложение.
П р е д л о ж е н и е. Элементарные преобразования матрицы обратимы, т. е. если матрица А получается из А при помощи какоголибо элементарного преобразования , то и матрица А может быть получена из А также при помощи некоторого элементарного преобразования (называемого обратным к первому).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть матрица А получается из А
умножением i-й строки на число c  0 . Умножая i-ю строку матрицы
1
А на число c (т. е. применяя к А элементарное преобразование),
мы получим исходную матрицу А .
Пусть А получается из А прибавлением к i-й строке элементов
j-й строки, умноженных на число  . Прибавляя к элементам i-й строки
матрицы А элементы её j-й строки, умноженные на   , мы возвращаемся к матрице А .
36
Наконец, если А получается из А перестановкой i-й и j-й
строк, то, переставляя в А те же i-ю и j-ю строки, мы снова получим
исходную матрицу А .
Совершенно аналогичным образом проверяется обратимость элементарных преобразований над столбцами.
Рассмотрим теперь произвольную линейную систему (7.1). Матрица А , определенная формулой (7.10) и составленная из коэффициентов при неизвестных, называется матрицей системы (7.1), а матрица
 a11 a12 ... a1n b1 


 a 21 a 22 ... a 2 n b2 
(7.11)
B
,
...
... ... ...
... 


a

 m1 a m 2 ... a mn bm 
получающаяся из А добавлением столбца из свободных членов системы (7.1), называется расширенной матрицей системы (7.1). Матрица
B, очевидно, вполне определяет систему (7.1) с точностью до обозначения неизвестных.
О п р е д е л е н и е 2. Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называются следующие операции:
1) умножение какого-либо уравнения системы на число, отличное
от нуля;
2) прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на произвольное число;
3) перестановка местами двух уравнений в системе.
Выполняя элементарное преобразование в системе, мы получаем
новую систему. Очевидно, что каждому элементарному преобразованию системы соответствует аналогичное преобразование над строчками расширенной матрицы В этой системы, и наоборот, каждому элементарному преобразованию над строчками расширенной матрицы В
соответствует некоторое элементарное преобразование в системе. Таким образом, элементарные преобразования в системе сводятся к соответствующим преобразованиям над строчками её расширенной матрицы. Отсюда следует, в частности, что элементарные преобразования
системы обратимы, т. е. если мы, сделав элементарное преобразование, перешли от одной системы к другой, то мы можем вернуться от
полученной новой системы к первоначальной, выполнив опять некоторое элементарное преобразование.
О п р е д е л е н и е 3. Две системы линейных уравнений с одинаковыми неизвестными x1 , x2 , ...,xn называются равносильными, если
каждое решение одной из них является решением другой, и наоборот
(или если обе системы несовместны).
Заметим, что число уравнений в системах может быть при этом
различным.
37
Итак, если мы имеем две равносильные системы, то, определив
решение одной из них, мы тем самым будем знать решение другой.
Ясно, что решать мы будем ту систему, которая проще.
Заметим, что уравнение вида
0  x1  0  x2  ... 0  xn  0
удовлетворяется, очевидно, при любых значениях неизвестных. Следовательно, если мы припишем такое уравнение к некоторой системе
или, наоборот, вычеркнем его из системы, то новая система будет равносильна первоначальной.
Напротив, если в системе встретилось уравнение вида
0  x1  0  x2  ... 0  xn  b, b  0 ,
то такому уравнению не могут удовлетворять никакие значения неизвестных и, следовательно, система будет несовместной. Уравнение такого вида будем называть противоречивым. Наличие в системе противоречивого уравнения свидетельствует о том, что система не имеет
решений.
Справедлива следующая теорема об элементарных преобразованиях системы.
Т е о р е м а. При элементарных преобразованиях система (7.1)
переходит в равносильную систему.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть для простоты в системе (7.1) m=2,
тогда она примет вид:
 a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1 ,

a 21 x1  a 22 x 2  ...  a 2n x n  b2 .
(7.12)
При элементарных преобразованиях типа 1) и 2) новая система
будет иметь вид
(7.13)

c  a11 x1  c  a12 x2  ...  c  a1n xn  c  b1 ,


a21    a11  x1  a22    a12  x2  ...  a2n    a1n  xn  b2    b1.
Убедимся, что системы (7.12) и (7.13) равносильны. Действительно, если числа 1 , 2 ,..., n являются решением системы (7.12), то
уравнения этой системы превращаются в числовые равенства, но тогда
будут числовыми равенствами и уравнения системы (7.13).
Значит, числа 1 , 2 ,..., n будут решением системы (7.13) (в случае элементарного преобразования типа 3) это очевидно). Благодаря обратимости элементарных преобразований справедливо и
обратное: всякое решение системы (7.13) является решением и
системы (7.12). Таким образом, если системы (7.12) и (7.13) имеют
решения, то эти решения для обеих систем одинаковы. Ясно та к38
же, что если одна из систем несовместна, то несовместной будет и
другая система. Следовательно, системы (7.12) и (7.13) равносил ьны, а это и требовалось доказать.
С л е д с т в и е. Элементарным преобразованиям строк расширенной матрицы соответствуют преобразования системы линейных
уравнений в равносильную систему.
7.4. Метод Гаусса
При помощи элементарных преобразований мы можем значительно упростить заданную систему. Решив упрощённую систему, мы
найдем тем самым и решение исходной системы. При этом упрощений
можно достигать, конечно, разными способами.
Метод Гаусса решения систем линейных уравнений состоит в том,
что последовательным исключением неизвестных при помощи элементарных преобразований систему приводят к такому виду, чтобы матрица системы оказалась треугольной или трапециевидной. После этого
уже не представляет труда разобраться в вопросе о совместности системы, определить число решений и найти сами решения.
Пусть задана произвольная система линейных уравнений (7.1).
Будем считать, что а11  0 (в противном случае можно произвести перестановку уравнений). Исключим сначала неизвестное x1 из всех
уравнений системы (7.1), кроме первого. Для этого прежде всего разделим обе части первого уравнения на коэффициент а11  0 ; тогда получим новую систему, равносильную данной:
a
a
a12
b

x 2  ...  1k x k  ...  1n x n  1 ,
 x1 
a11
a 11
a11
a11

a 21 x1  a 22 x 2  ...  a 2 k x k  ...  a 2 n x n  b2 ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a x  a x  ...  a x  ...  a x  b ,
i2 2
ik k
in n
i
 i1 1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..

a m1 x1  a m 2 x 2  ...  a mk x k  ...  a mn x n  bm .
(7.14)
Умножим теперь первое уравнение системы (7.14) на а 21 и сложим его почленно со вторым уравнением. Затем умножим первое
уравнение системы (7.14) на а31 и сложим его с третьим уравнением
и так далее. В результате получим новую систему, также равносильную данной:
39
 x 2  ...  a1k x k  ...  a1n x n  b1 ,
 x1  a12

 x 2  ...  a 2 k x k  ...  a 2 n x n  b2 ,
a 22

..............................


a i 2 x 2  ...  a i k x k  ...  a i n x n  bi ,

.
.............................



 x k  ...  a mn
 x n  bm .
a
x  ...  a mk
m2 2

(7.15)
Здесь штрихами отмечены коэффициенты при неизвестных и свободные члены, полученные при первом шаге исключения неизвестных
по формулам
a
a
a1k  1k ; aik  ai k  1k ai1 ,  i  2 , 3 , ... , m; k  2 , 3 , ... , n ;
a11
a11
b1
b1
b1 
; bi  bi 
a ,  i  2 , 3 , ... , m .
a11
a11 i1
  0 (в противном случае всегда
Допустим, что в системе (7.15) а 22
можно изменить порядок следования уравнений или перенумеровать неизвестные). Разделим теперь второе уравнение системы (7.15) на коэф ; затем умножим второе уравнение полученной системы пофициент а 22
 ,..., аi2 ,..., a m
 2 и сложим поочередно с каждым
следовательно на а32
соответствующим уравнением системы, кроме первого и второго. Тогда
получим систему, равносильную системам (7.1), (7.14), (7.15):
 x 2  a13
 x 3  ...  a1k x k  ...  a1n x n  b1 ,
 x1  a12

 x 3  ...  a 2k x k  ...  a 2n x n  b2 ,
x 2  a 23



a
x  ...  a 3k x k  ...  a 3n x n  b3 ,

33 3

............ .................

 3 x 3  ...  a mk
 x k  ...  a mn
 x n  bm .
am

(7.16)
Далее действия над уравнениями системы (7.16) будем продолжать аналогично. Если при этом появятся нулевые уравнения, т. е. равенства 0=0, их отбрасывают, поэтому можно считать, что в системе
(7.16) таких уравнений нет. Процесс указанных равносильных преобразований над системой линейных уравнений называется процессом
Гаусса.
В результате процесса Гаусса возможны следующие три случая.
1. При некотором преобразовании получаем противоречивое
уравнение, левая часть которого равна нулю, а правая отлична от нуля;
это свидетельствует о несовместности исходной системы (7.1).
2. Система (7.1) сводится к треугольному виду:
40
 x 2  ...  a1k x k  ...  a1n x n  b1 ,
 x1  a12

x 2  ...  a 2k x k  ...  a 2n x n  b2 ,

............... ........

(7.17)
k 
k 

x k  ...  a kn x n  bk ,

.............

n 

x n  bn .

Покажем, что система уравнений (7.17) определена. Из последнего уравнения имеем xn  bnn  . Подставляя это значение xn во все
уравнения системы, начиная снизу, найдем последовательно значения
неизвестных xn1 , xn2 ,...,x1 . Система (7.1) равносильна системе (7.17),
поэтому полученное решение также будет единственным решением
системы (7.1), т. е. она является совместной и определённой.
3. Система (7.1) преобразуется в трапециевидную:
 x2  ...  a1k xk  . . . . . . . .  a1n xn  b1 ,
 x1  a12

x2  ...  a 2k xk  . . . . . . . .  a 2n xn  b2 ,

........ ......................

k 
k 
(7.18)

xk  . . . . . . . .  a kn xn  bk ,

....................




x s  ...  a ssn xn  bs s ,

причём s < n.
Покажем, что система (7.18) является неопределённой. Для этого
в последнем уравнении системы (7.18) выразим x s через xs 1 ,...,xn ,
перенося члены с этими неизвестными в правую часть уравнения.
Перенося в каждом из уравнений системы (7.18) члены с неизвестными xs 1 ,...,xn в правую часть, получим систему вида
 x 2  ...  a1s x s  b1  a1,s 1 x s 1  ...  a1n x n ,
 x1  a12

x 2  ...  a 2s x s  b2  a 2,s 1 x s 1  ...  a 2n x n ,

(7.19)

..................................

x s  bss   a ss,s1 x s 1  ...  a ssn x n .

Придавая неизвестным xs 1 ,...,xn , которые называются свободными, произвольные значения  s 1 ,  s2 ,..., n , получим треугольную
систему вида (7.17), из которой последовательно найдём все остальные
неизвестные xs , xs1 ,...,x1 . Так как свободным неизвестным можно
придать любые значения, то исходная система (7.1) имеет бесчисленное множество решений, т. е. является неопределённой.
41
Полученные результаты можно сформулировать в виде следующей теоремы.
Т е о р е м а. 1) Если в процессе Гаусса появится уравнение 0  b ,
где b  0 , то исходная система несовместна, т. е. решений не имеет.
2) Если система приводится к треугольному виду, то она является
определённой, т. е. решение системы существует и единственно.
3) Если система приводится к трапециевидной форме, то она является неопределённой, т. е. имеет бесчисленное множество решений.
При практическом решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобно записывать её в виде расширенной матрицы системы (7.11), составленной из коэффициентов при неизвестных и свободных членов, и выполнять затем элементарные преобразования, указанные в процессе Гаусса, со строками расширенной матрицы. Это сокращает запись решения линейной системы и делает его более простым и
наглядным.
П р и м е р 1. Найти решение системы:
 x1  3x2  2 x3  x4  1,
 x  x  2 x  x  1,
1
2
3
4
 3 x  3 x  x  3 x  5,
1
2
3
4

 2 x1  4 x2  x3  2 x4  4.
Р е ш е н и е. Запишем эту систему в виде расширенной матрицы
системы и выполним действия, указанные в методе Гаусса, с её строками, используя символическую запись для краткого пояснения решения.
 1

1
 3

 2

1

1 2  1  1
3 1  3 5

4 1  2 4 
3 2
1
3
2
1
1

1
1
0
0
0  6  5  6

0  2  3  4

1

0
0

0

1

0
2

2 
(1), (–3), (–2)  1
3
2
1

4
4
0
0
~
0 6 5 6

0  2  3  4

(6), (2)
1 1

1 1
0 0
0 1  6 2

0 0  10 4  : (–10)
3 2
1

0
~
0

0

1

0
~ 
0

0
42
3
2
1
1
1
0
0
1 6
0 1  4
3
2
1
1
0
1
0
0
1

0  : (4)
~
2

2 
1

0
2

2 
(1)
1 

0
0 
.
6
2 

1  2 5
1
~
Знак ~ при записи матриц означает равносильность соответствующих им систем линейных уравнений. Следовательно, полученной
матрице соответствует система уравнений, равносильная заданной:
 x1  3 x 2  2 x 3  x 4

x 2  x3



x3  6 x 4


x4

 1,
 0,
 2,

2
.
5
Так как система уравнений привелась к треугольному виду, то она
является совместной и определенной. Последовательно решая уравнения системы снизу вверх, получим решение
2
x4   ,
5
2
x3   ,
5
2
,
5
x2 
x1  1.
П р и м е р 2. Найти решение системы
 x1

2 x1

3x1
 x
 1
 3 x 2  2 x3  x 4  1 ,
 4 x 2  x3  2 x 4  4 ,
 3 x 2  x3  3 x 4  5 ,
 3 x 2  3 x3  x 4  3 .
Р е ш е н и е.
3
2
1 1
1


4
1  2 4
2
3
3
1
3 5


1 3 3
1 3 

3
2 1
1
1


0
1
3
2
2

1

0  6  5 0
2


0  6  5 0
2 

1

0
0

0

1

1 3 2 2  1
0 1
3  1

0 4 12  4 
3
2
3
2
1 1
(–2), (–3), (–1)  1


 0  2  3  4 2  : (–2)
~
~
0 6 5
0 2


0  6  5
0 2 

1

0
~
0

0

(6)
1

0
~
0

0

1
(–4)
43
3
2
1 32
0
0
4
4
1

 1
12  4  : (4)

12  4 
1
2
1

1 3 2 2  1
.
0 1 3  1

0 0 0
0 
3
2
1
~
Последней матрице соответствует трапециевидная система линейных уравнений. Такая система является совместной и неопределенной. Перенося четвертое неизвестное в правую часть в каждом уравнении, получим систему
 x1  3x2  2 x3  1  x4 ,

3

x 2  x3   1  2 x 4 ,

2

x3   1  3 x 4 .

Придавая неизвестному x4 произвольное значение x 4   , получим решение
x 4  ,
x3   1  3,
x2 
1  5
,
2
x1 
3  5
.
2
Неизвестное x4 в этом случае является свободным неизвестным.
Исходная система – совместная и неопределенная, т. е. имеет бесчисленное множество решений в зависимости от выбранного значения
x4   .
П р и м е р 3. Решить систему уравнений
 x1

2 x1

3x1
 x
 1
 3x 2  2 x3  x 4  1 ,
 4x2 
x3  2 x 4  4,
 3x 2 
x 3  3 x 4  5,
 3x 2  3x3  x 4  2 .
Р е ш е н и е.
3
2
1 1
1


2
4
1

2
4

3
3
1
3 5


1 3 3
1 2 

3
2 1 1
1


1 3 2 2  1
0
0  6  5 0 2


0  6  5 0
1

3
2
1 1
1


0

2

3

4
2  : (–2)

~ 
~
0 6 5
0 2


0  6  5
0 1 

(–2),(–3),(–1)
(6)
1

0
~ 
0

0

44
1

1 3 2 2 1
0 4 12  4 

0 4 12  5 
3
2
1
: (4)
~
1

0
0

0

1

1 3 2 2  1
0 1
3  1  (–4)

0 4 12  5 
1
1 3 2 1


 0 1 3 2 2  1
.
~ 
0 0 1 3  1


 0 0 0 0  1


Система несовместна, так как из последней матрицы получаем
противоречивый результат: 0  x 4   1 .
3
2
1
7.5. Система линейных уравнений с базисом. Метод
Жордана – Гаусса
Систему линейных уравнений будем называть системой с базисом, если в каждом уравнении содержится неизвестное с коэффициентом, равным единице, отсутствующее во всех остальных уравнениях
(т. е. входящее в них с коэффициентом, равным нулю) и называемое
базисным неизвестным.
Предположим, что из n неизвестных x1, x2 , ... , xn базисными являются первые k (k  n) . Тогда система с базисом будет иметь вид:
 x1  a1, k 1 xk 1  ...  a1n xn  b1 ,

 x2  a2, k 1 xk 1  ...  a2 n xn  b2 ,

 x3  a3, k 1 xk 1  ...  a3n xn  b3 ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
 xk  ak , k 1 xk 1  ...  akn xn  bk .

(7.20)
Неизвестные, не являющиеся базисными, а именно, xk 1, xk  2 ,..., xn
называются свободными. Если свободным неизвестным придавать любые значения, то при каждом наборе значений свободных неизвестных
из уравнений системы (7.20) можно единственным образом получить
соответствующие значения базисных неизвестных. Следовательно, система с базисом всегда совместна, причём возможны два случая:
1) k  n . В этом случае все неизвестные системы (7.20) окажутся
базисными, и система будет иметь единственное решение
x1  b1, x2  b2 , ..., xn  bn .
2) k  n . В этом случае непосредственно из уравнений системы
(7.20) получим выражения базисных неизвестных x1, x2 ,..., xk через
свободные неизвестные xk 1, xk  2 ,..., xn :
45
 x1  b1  a1, k 1 xk 1  ...  a1n xn ,

 x2  b2  a2, k 1 xk 1  ...  a2 n xn ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 xk  bk  ak , k 1 xk 1  ...  akn xn .
(7.21)
О п р е д е л е н и е 1. Общим решением системы с базисом (7.20)
называется совокупность значений неизвестных x1 , x2 ,..., xn , связанных
формулами (7.21), которые выражают базисные неизвестные через
свободные, где свободные неизвестные могут быть любыми числами.
О п р е д е л е н и е 2. Частным решением системы с базисом
(7.20) называется всякое решение, получаемое из общего решения при
определённых значениях свободных неизвестных.
Придавая какие угодно значения свободным неизвестным, можно
из общего решения получить сколько угодно частных решений. Частное решение, в котором все свободные неизвестные равны нулю, называется базисным решением системы (7.20).
Таким образом, система линейных уравнений с базисом (7.20)
всегда совместна, при этом имеет единственное решение, если все её
неизвестные являются базисными, и бесконечное множество решений,
если кроме базисных, в ней есть хотя бы одно свободное неизвестное.
Метод Жордана – Гаусса решения систем линейных уравнений
(7.1) состоит в том, что с помощью элементарных преобразований
процесса Гаусса любую линейную систему можно либо преобразовать
в равносильную ей систему с базисом, а значит, найти все её решения,
либо убедиться в том, что исходная система несовместна. Для этого на
каждом шаге алгоритма метода Жордана – Гаусса с помощью элементарных преобразований в одном из уравнений системы выделяется базисное неизвестное с коэффициентом, равным единице, которое исключается из всех остальных уравнений системы в отличие от метода
Гаусса, в котором оно исключается только из последующих уравнений.
Метод Жордана – Гаусса не имеет каких-либо преимуществ в вычислительном отношении по сравнению с методом Гаусса, но он сразу
приводит к общему решению системы вида (7.21).
П р и м е р 1. Решить систему методом Жордана – Гаусса:
 x1  x2  3x3  2 x4  6,

 x4  6,
 x1  2 x2

x2  x3  3x4  16 ,

2 x  3 x  2 x
 6.
2
3
 1
Р е ш е н и е. Выполним над системой элементарные преобразования метода Жордана – Гаусса, используя непосредственно расширенную матрицу системы:
46
1 3
2
6  (–1), (–2)
1 3
2
6
1
1




0  1  6
3  3  12  :(-3)
1 2
0  3
~
~
0
0
1
1
3 16 
1
1
3
16 




2  3
0  5
2
0
6 
8  4  6 


1 3
2
6
1


0
1

1
1
4


0
1
1
3 16 


0  5
8  4  6 

1

0
0

0

0 2 1
1

0
0

0

0 0 3 14 

1 0 2 10 
0 1 1 6

0 0 1 2  (-3), (-2), (-1)
1
0
0
1

0
~ 
0

0

0 2
0
1 2

 1 1 4
~
2 2 12  :(2)

3 1 14 
1

0
~ 
0

0

0
0
3
1
0
0
1
2
1
0
0
2
(–1), (5)
2

1 1 4
1 1 6  (2), (1), (-3)

3 1 14 
1

0
~ 
0

0

1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
1
14 

10 
~
6

 4  :(-2)
8

6
.
4

2 
Получили систему с базисом, равносильную исходной системе. Ее
решением являются:
x1  8, x2  6, x3  4, x4  2.
П р и м е р 2. Решить систему методом Жордана – Гаусса:
2 x1  4 x 2  3x3  x 4  x5  1,

 x1  2 x 2  4 x3  x 4  2 x5  3,

5 x1  6 x 2  2 x3  x 4  4 x5  1,
8 x  8 x  x  x  7 x  3 .
2
3
4
5
 1
Р е ш е н и е. Выполним элементарные преобразования, используя
расширенную матрицу системы:
 2  4 3 1 1  1 :(2)  1  2 3 / 2 1 / 2 1 / 2  1 / 2  (-1),(-5),(-8)




2
3
 1 2  4 1 2 3
1 2  4 1
~
 5  6 2 1 4 1 ~  5  6
2
1
4
1




8  8
 8  8 1 1 7 3
1
1
7
3 



47
3/ 2
1/ 2 1/ 2  1/ 2
1  2


4  11 / 2  3 / 2 3 / 2
7 / 2  :(4)
0
0
4  11 / 2  3 / 2 3 / 2
7 / 2


0
8
 11
3
3
7 

~
3/ 2
1/ 2 1/ 2  1/ 2
1  2


0
1

11
/
8

3/ 8 3/ 8
7 / 8  (2),(-4),(-8)

0
4  11 / 2  3 / 2 3 / 2
7 / 2


0
8
 11
3
3
7 

1

0
0

0

~
 5 / 4  1/ 4 5 / 4 5 / 4

1  11 / 8  3 / 8 3 / 8 7 / 8 
.
0
0
0
0
0

0
0
0
0
0 
0
В полученной матрице содержится система с базисом
5
1
5
5

 x1  4 x3  4 x4  4 x5  4 ,

 x  11 x  3 x  3 x  7 .
 2 8 3 8 4 8 5 8
Здесь базисными неизвестными являются x1 и x2 , а свободными
неизвестными являются x3 , x4 , x5 . Исходная система имеет бесконечное множество решений. Все они содержатся в общем решении, которое имеет вид:
1

 x1  4 5  5 x3  x 4  5 x5 ,

 x  1 7  11 x  3x  3x  ,
2
3
4
5
8

где свободные неизвестные x3 , x4 , x5 могут быть любыми числами.
Из общего решения можно получить сколько угодно частных ре5
7
шений. Например, при x3  0, x4  0, x5  0 получим x1  , x2  .
4
8
Тогда частное решение
5
7
, x2  , x3  0, x4  0, x5  0
4
8
является базисным решением.
x1 
48
При x3  1, x4  1, x5  1 получим частное решение
3
, x  1, x4  1, x5  1,
2 3
и так далее до бесконечности.
П р и м е р 3. Решить систему методом Жордана – Гаусса:
x1  1, x2 
6 x1  5 x2  7 x3  8 x4  3,

3x1  11 x2  2 x3  4 x4  6,

3x1  2 x2  3x3  4 x4  1,
 x  x  x 0.
2
3
 1
Р е ш е н и е. При выполнении элементарных преобразований используем дополнительную перестановку строк расширенной матрицы
системы:
6  5

 3 11
3
2

1
1

7 8 3

2 4 6
3 4 1

1 0 0 
1
1 0
1

8 1 4
0
0 1 0 4

 0  11
1 8

1

0
0

0

0
1

0
0

0

0 0
0

6
1:(-1)

3 
1

1 0  4  1
0 1
36 14 

0
1  36  8 
1
4
1
1

 3 11
~ 
3
2

6  5

1 0 0  (-3),(-6)

2 4 6
~
3 4 1

7 8 3 
1
1
0
0
1


1 0  4  1 (-1),(-8),(11)
0
~ 
~
0
8 1
4
6


 0  11
1
8
3 

1

0
~
0

0

1

1 0  4  1
0
1  36  8  (-1),(1)

0 1
36 14 
0
1
4
~
9

1 0  4  1
.
0 1  36  8 

0 0
0
6 
40
Шаги исключения неизвестных привели к противоречивому уравнению 0  x4  6 , стоящему в последней строке. Следовательно, полученная система уравнений и заданная система обе несовместны, т. е. не
имеют решений.
49
7.6. Вычисление обратной матрицы методом
Жордана – Гаусса
Вычисление обратной матрицы по формуле (6.38) при n  3 приводит к очень большому объёму вычислений. Чтобы избежать этого
обратную матрицу можно достаточно эффективно вычислять при помощи метода исключения Жордана – Гаусса. Для этого припишем к
квадратной матрице A порядка n справа единичную матрицу En того
же порядка. В результате получим так называемую объединённую матрицу вида
 a11

 a21


a
 n1
0

a22 ... a2 n 0 1 ... 0 
.
      

an 2 ... ann 0 0 ... 1 
a12
...
a1n
1
0
...
(7.22)
К объединённой матрице (7.22) будем применять элементарные
преобразования метода Жордана – Гаусса, которые применялись выше
к уравнениям линейной системы, так чтобы на месте матрицы A в
объединённой матрице (7.22) получилась единичная матрица En . Это
равносильно одновременному решению n линейных систем, у каждой
из которых столбцом свободных членов является один столбец единичной матрицы En , приписанной справа в объединённой матрице вида
(7.22), а столбцом неизвестных является соответствующий столбец обратной матрицы A1 формулы (6.38). В результате на месте единичной
матрицы En в объединённой матрице (7.22) получится обратная матрица A1 .
Для того, чтобы слева от черты в матрице (7.22) получить единичную матрицу En , следует на каждом шаге исключения выделять
единицу на главной диагонали, так чтобы остальные элементы в
столбце оказались равными нулю. Если на каком-либо шаге на главной
диагонали окажется нуль, то можно поменять местами строки матрицы
(7.22). Если в процессе исключения все элементы какой-либо строки
слева от черты в матрице (7.22) окажутся равными нулю, то это значит,
что определитель матрицы A равен нулю, т. е. матрица A будет вырожденной и обратной матрицы A1 для неё не существует.
50
П р и м е р. Найти матрицу A1 , обратную матрице
1
 2 1


A 1 2
0 .
  3 0  1


Р е ш е н и е. Проверять заранее, является ли матрица A вырожденной или невырожденной, мы не будем, так как это автоматически
выяснится в процессе преобразований. Запишем объединённую матрицу и выполним над ней элементарные преобразования метода Жордана – Гаусса:
1 1 0 0
 2 1


1
2
0
0 1 0

  3 0  1 0 0 1


0 0 1 0  (-2),(3)
 1 2


~  2 1
1 1 0 0
  3 0  1 0 0 1


2
0 0
1 0
1


1 1  2 0 :(-5) ~
0  5
0
6 1 0
3 1

~
0
0
1 0
1 2


 0 1  1 / 5  1 / 5 2 / 5 0  (-2),(-6) ~
0 6
1
0
3 1

2 / 5 2 / 5 1/ 5 0
1 0


0 1  1/ 5  1/ 5 2 / 5 0
0 0
1/ 5
6 / 5 3 / 5 1 · (5)

~
2 / 5 2 / 5 1/ 5 0
1 0
 1 0 0  2 1  2




1 1
1 .
 0 1  1 / 5  1 / 5 2 / 5 0  2   1  ~  0 1 0
0 0
1
6
3 5    5  ,  5   0 0 1
6
3
5 

Из последней матрицы следует, что
  2  1  2


A  1
1
1 .
 6
3
5 

По формуле A A1  En проверяем правильность вычисления обратной матрицы:
1
 2  1 1


A A   1 2 0
  3 0  1


1
  2 1  2 1 0 0

 

1   0 1 0   E3 .
 1 1
 6
3
5   0 0 1 

1
Аналогично можно убедиться, что A A  E3 .
51
7.7. Ранг матрицы
В теории линейных систем важную роль играет понятие ранга
матрицы. С помощью ранга матрицы, не решая систему, можно установить её совместность или несовместность, а в случае совместности
определить количество решений.
Рассмотрим произвольную (не обязательно квадратную) матрицу
 a11

 a21
A


a
 m1
a12
a1n 

... a2 n 
.
 

... amn 
...
a22

am 2
Пусть k – какое-нибудь натуральное число, не превосходящее m
и n . Выделим в этой матрице любые k строк и k столбцов. Тогда
элементы, стоящие на пересечении выделенных k строк и k столбцов,
образуют квадратную матрицу порядка k . Определитель этой квадратной матрицы называется определителем, порождённым матрицей
A , или минором k -го порядка матрицы A .
Для матрицы A можно составить столько миноров k -го порядка,
сколькими способами можно выделить в ней k строк и k столбцов.
Например, для матрицы
3 4
5
 2

A 0 2 3
1
 0
2 2 4






можно составить 4 минора 3-го порядка:
2
3 4
2
3
5
2 4
0 2 3 ,
0 2
1 ,
0 3
5
1 ,
3 4
2 3
5
1 .
0
2 2
0
2 4
0 2 4
2 2 4
Аналогично продолжая, можно составить 18 миноров 2-го порядка и 12
миноров 1-го порядка (миноры 1-го порядка есть просто элементы
матрицы A ). Некоторые из составленных миноров могут быть равными нулю, например, минор
0 2
 0.
0
2
Другие миноры могут быть отличны от нуля, например,
2 3
  4  6   10  0 .
2 2
52
О п р е д е л е н и е. Рангом матрицы A называется число, равное наивысшему порядку миноров этой матрицы, отличных от нуля.
Если каждый элемент матрицы равен нулю, то ранг такой матрицы
считается равным нулю по определению.
Ранг матрицы A обозначается символами r (A) , или rang A . Из
определения следует:
а) ранг матрицы r ( A)  k тогда и только тогда, когда хотя бы
один минор k -го порядка матрицы А отличен от нуля, а все миноры
выше k -го порядка этой матрицы (если они существуют) равны нулю;
б) ранг матрицы A порядков m и n не превосходит меньшего из
её размеров, т. е. r ( A)  min ( m; n ) ;
в) для квадратной матрицы n -го порядка r ( A)  n тогда и только
тогда, когда матрица A – невырожденная.
Подсчёт ранга матрицы по определению требует громоздких вычислений, так как количество миноров матрицы может быть достаточно велико, если размеры матрицы не очень малы. Так, например, в
матрице порядков m  3 и n  4 , рассмотренной выше, количество
миноров матрицы равно 34. В связи с этим проще находить ранг матрицы при помощи элементарных преобразований её строк и столбцов.
Т е о р е м а. Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.
Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) При умножении строки на число   0
минор, отличный от нуля, либо не изменится, либо умножится на  .
Ни один минор, равный нулю, не сделается отличным от нуля.
2) Если все миноры порядка k  1 равны нулю, то сложение строк
не сделает ни один из них отличным от нуля. Действительно, полученный после указанного преобразования минор либо равен алгебраической сумме двух миноров порядка k  1 исходной матрицы (в том случае, когда к строке, входящей в минор, прибавили строку, в него не
входящую), либо он равен сумме минора порядка k  1 и определителя
матрицы с двумя одинаковыми строками (в том случае, когда к строке,
входящей в минор, прибавили другую строку, в него входящую). Из
этих соображений следует, что ранг матрицы не может повыситься.
Ясно, что он не может и понизиться, так как в противном случае при
обратном преобразовании – вычитании строк – он бы повысился.
3) При перестановке строк минор может изменить знак (если в него входят обе переставляемые строки), или может замениться на минор, не больше чем знаком, отличающийся от другого минора той же
матрицы (если содержит только одну из переставляемых строк), или
вообще не изменится. Ясно, что при этом ранг матрицы останется тем
же.
4) Неизменность ранга при элементарных преобразованиях столб53
цов доказывается аналогично. Тем самым теорема доказана полностью.
Для нахождения ранга матрицы будем применять метод Жордана – Гаусса, выделяя в матрице единицы на главной диагонали.
Например, если мы получили матрицу вида
 1 0 0 0 0 


 0 1 0 0 0 
 0 0 1 0 0 ,


 0 0 0 0 0 


то очевидно, что ранг этой матрицы равен числу единиц на главной
диагонали, т. е. равен 3, так как
1 0 0
0 1 0  1.
0 0 1
При этом все миноры 4-го порядка равны нулю, а миноры порядка выше 4-го составить нельзя.
П р и м е р 1. Найти ранг матрицы
 3 5 7

A 1 2 3
 1 3 5

Р е ш е н и е.


.


3 5 7


1 2 3
1 3 5


 1 2 3  (-1),(-3)


1 3 5
~
3 5 7


~
 1 0 1 


0 1 2  r
0 0 0



A

3
1 2


1
2  (-2),(1)
0
 0 1  2 


 2.
 1 2 3 4


П р и м е р 2. Найти ранг матрицы A   2 4 6 8  .
 3 6 9 12 


Р е ш е н и е.
 1 2 3 4  (-2),(-3)


2 4 6 8 
 3 6 9 12 


~
1 2 3 4


 0 0 0 0   r  A   1.
0 0 0 0


54
~
П р и м е р 3. Найти ранг матрицы
 0

 2
A
4

 2

1
3
4
5
1
5
7  10
1
8
0
5
2

3
.
0

3 
Р е ш е н и е. Умножив в матрице A первый столбец на
1
, вто2
1
, переставим затем меж5
ду собой два первых столбца и выполним элементарные преобразования над строками матрицы, указанные символами:
рой столбец на 1 , а четвёртый столбец на
 0 1

 2 4
 4
5

 2
1








3
0
1
5
7  10
8 5
2

3
0

3 
~
 1 0

 4 1
5 2

 1 1

3
0
1 1
7 2
8 1
2  (-4), (5), (1)

3
0

3 
~
2
3
0
2
 1 0



0
1  11
1  5  (2),(1)
1  11
1  5
 0
.
 0
0  2 22  2 10 
0
0
0
0



 0
0  1 11  1
5 
0
0
0
0 

Поскольку все миноры 3-го порядка нулевые, r ( A)  2.
1
0
3
0
~
7.8. Условие совместности систем линейных уравнений
Пусть дана система m линейных уравнений с n неизвестными
x1 , x2 ,..., xn вида:
a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1 ,

a21 x1  a22 x2  ...  a2 n xn  b2 ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn  bm ,
(7.23)
где m  n , или m  n , или m  n .
Введём матрицу системы A и расширенную матрицу системы B :
55
 a11

 a21
A


a
 m1
a12
a22

am 2
a1n 

... a2 n 
,
 

... amn 
...
 a11

 a21
B


a
 m1
a12
...
a1n
a22
...
a2 n



am 2
...
amn
b1 

b2 
.


bm 
(7.24)
Обозначим ранги матриц через r (A) и r (B) . Так как расширенная
матрица системы B получается из матрицы системы A добавлением
столбца свободных членов, что не может увеличить ранга матрицы, то
их ранги связаны неравенством
(7.25)
r  A   r  B .
Понятие ранга матрицы позволяет сформулировать условие совместности системы (7.23) в форме следующей основной теоремы теории линейных систем.
Т е о р е м а К р о н е к е р а – К а п е л л и. Для того чтобы система m линейных уравнений с n неизвестными вида (7.23) была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был
равен рангу расширенной матрицы:
(7.26)
r  A   r  B .
Не проводя доказательства теоремы, поясним его. При элементарных преобразованиях системы (7.23) в процессе Гаусса, т. е. при элементарных преобразованиях матрицы системы A и расширенной матрицы системы B , ранги этих матриц не изменяются. В п. 7.4 было
установлено, что система (7.1), тождественно совпадающая с системой
(7.23), совместна тогда и только тогда, когда она преобразуется в треугольную систему (7.17) и в трапециевидную систему (7.18). В обоих
случаях, как нетрудно проверить, ранг матрицы A и ранг расширенной матрицы B систем (7.17) и (7.18), так же как и исходной системы
(7.1), соответственно совпадают: r ( A)  r ( B)  n и r ( A)  r ( B)  s .
Из теоремы Кронекера – Капелли и систем (7.17), (7.18) легко получить ответ на вопрос о числе решений линейной системы (7.23): если
r ( A)  r ( B) , то система несовместна; если r ( A)  r ( B)  n , то система
имеет единственное решение; если r ( A)  r ( B)  n , то система имеет
бесчисленное множество решений. Отметим, что если ранг матрицы
системы A равен числу уравнений, т. е. r ( A)  m , то система совместна при любых свободных членах, так как ранг расширенной матрицы
системы B не может быть больше числа её строк.
Таким образом, можно, не решая систему, исследовать её совместность и в случае совместности установить количество решений.
Применим теорему Кронекера – Капелли к однородной системе.
Система m линейных уравнений с n неизвестными называется однородной, если все её свободные члены равны нулю:
56
a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  0,

a21 x1  a22 x2  ...  a2 n xn  0,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn  0 .
(7.27)
Для однородной системы (7.27) расширенная матрица B получается из матрицы системы A добавлением нулевого столбца, что не меняет ранга, поэтому всегда r ( A)  r ( B) . Это значит, что однородная
система всегда совместна. Кроме того, она имеет очевидное нулевое
или тривиальное решение
x1  0,
x 2  0, ... , x k  0, ... ,
xn  0 .
(7.28)
Поэтому, если r ( A)  n , т. е. определитель однородной системы
(7.27) при m  n отличен от нуля
a11
 
a12
...
a1n
a21 a22
...
a2 n




an1 an 2
...
ann
 0,
(7.29)
то однородная система имеет только нулевое решение.
Если же r ( A)  n ,то решений будет бесчисленное множество,
среди которых, кроме нулевого, имеются и ненулевые (нетривиальные)
решения. В частном случае, когда m  n , условие r ( A)  n равносильно условию   0.
7.9. Собственные значения и собственные векторы
квадратной матрицы
В различных разделах математики и её приложениях часто приходится иметь дело с переменными y1 , y 2 , ... , y m , которые являются
функциями переменных x1 , x 2 , ... , x n :
 y1  1 x1, x2 , ... , xn  ,

 y2  2 x1, x2 , ... , xn  ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
 ym  m x1, x2 , ... , xn  .
Такое выражение одной системы переменных через другую систему
носит название преобразования переменных.
57
Рассмотрим частный случай преобразования переменных при помощи линейных однородных функций, когда число «старых» и «новых» переменных совпадает:
 y1  a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn ,

 y 2  a21 x1  a22 x2  ...  a2 n xn ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
 y n  an1 x1  an 2 x2  ...  ann xn .
(7.30)
Преобразование вида (7.30) называется линейным преобразованием. Квадратная матрица, составленная из коэффициентов aij , называется матрицей линейного преобразования:
 a11

 a21
A


a
 n1
a1n 

a22 ... a2 n 
.
  

an 2 ... ann 
a12
...
(7.31)
Пользуясь правилом умножения матриц, можно линейное преобразование (7.30) записать в виде матричного равенства
Y  AX ,
(7.32)
где через X , Y обозначены матрицы-столбцы



X  



x1 

x2 
,
 

xn 



Y 



y1 

y2 
.
 

yn 
(7.33)
О п р е д е л е н и е 1. Линейное преобразование переменных
(7.30) с квадратной матрицей A называется невырожденным если
матрица A невырожденная, и называется вырожденным, если A –
вырожденная матрица.
Для невырожденного линейного преобразования существует обратное преобразование, выражающее переменные x1 , x2 , ... , xn через
y1 , y2 , ... , yn . Это обратное преобразование является также линейным
и выражается матричным равенством
1
X  A Y,
(7.34)
где A1 – обратная матрица.
58
П р и м е р 1. Дано линейное преобразование переменных
 y1  4 x1  3x2  2 x3 ,

 y2  2 x1  x2  x3 ,
 y  3x  x  x .
1
2
3
 3
Требуется найти обратное линейное преобразование, выражающее переменные x1, x2 , x3 через y1, y2 , y3 .
Р е ш е н и е. Введём матрицу данного линейного преобразования
и матрицы-столбцы переменных:
2 
 4 3


A    2 1 1 ,
 3 1
1 

 x1 


X   x2  ,
 x 
 3 
Найдём обратную матрицу
 4 3 2 1 0 0  : (4)


  2 1  1 0 1 0
~
 3 1

1 0 0 1

 y1 


Y   y2  .
 y 
 3 
A1 методом Жордана – Гаусса:
 1 3 / 4 1 / 2 1 / 4 0 0  (2),(-3)


1 1
0 1 0
 2
 3
1
1
0 0 1

3/ 4
1/ 2
1 / 4 0 0
1


5/ 2
0
1 / 2 1 0  :(5/2)
0
 0  5 / 4  1 / 2  3 / 4 0 1


~
3/ 4
1/ 2
1/ 4
0 0
1


1
0
1 / 5 2 / 5 0  (-3/4),(5/4)
0
0  5 / 4 1 / 2  3 / 4
0 1

1 / 2 1 / 10  3 / 10 0 
1 0


0
1/ 5
2 / 5 0
0 1
0 0  1/ 2  1/ 2
1 / 2 1 · (-2)

0
 1 0 1 / 2 1 / 10  3 / 10


0 1/ 5
2/5
0
0 1
0 0
1
1
 1  2 

1
 1 0 0  2 / 5 1/ 5


1/ 5 2 / 5
0 
0 1 0
0 0 1
1  1  2 

~
~
~
(-1/2)
1
  2 / 5 1/ 5


A   1/ 5 2 / 5
0 .

1  1  2 

1
59
~
По формуле (7.34) находим в матричном виде обратное линейное
преобразование:
1
 2

  y1  y2  y3 
5
5

1   y1  
 x1    2 / 5 1 / 5

 
  1


2
0   y2   
y1  y2
 x2    1 / 5 2 / 5
.
5
5
 x  





1  1  2   y3 
 3  
y1  y2  2 y3





Приравнивая элементы матриц, получим обратное линейное преобразование вида
2
1

 x1   5 y1  5 y 2  y3 ,

1
2

y1  y 2 ,
 x2 
5
5

x

y

y2  2 y3 .
 3
1


При рассмотрении ряда вопросов, связанных с приложениями
матричного исчисления, для данной квадратной матрицы A бывает
необходимым отыскивать ненулевые матрицы-столбцы X , для которых умножение на матрицу A слева равносильно умножению на некоторое число  , т. е. для которых имеет место равенство
(7.35)
A X   X.
Нулевой столбец, конечно, при любом  удовлетворяет этому соотношению. Однако ненулевые матрицы-столбцы, удовлетворяющие
условию (7.35), существуют далеко не при всяком  .
О п р е д е л е н и е 2. Число  называется собственным числом
или собственным значением квадратной матрицы A , если существует
ненулевая матрица-столбец X такая, что выполняется равенство
(7.35). Если  – собственное значение матрицы A , то всякая матрицастолбец X , удовлетворяющая равенству (7.35), называется собственным вектором X матрицы A , принадлежащим собственному значению  .
Выясним, что представляют собой собственные значения данной
квадратной матрицы (и существуют ли они вообще).
Матричное равенство (7.35), выражающее линейное преобразование «старых» переменных x1 , x2 , ... , xn в «новые» переменные
y1   x1 , y2   x2 , ... , yn   xn , равносильно системе n линейных
уравнений с n неизвестными
60
a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  x1 ,

a21 x1  a22 x2  ...  a2 n xn  x2 ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
an1 x1  an 2 x2  ...  ann xn  xn ,
(7.36)
которую можно переписать в виде однородной системы
 a11   x1  a12 x2  ...  a1n xn  0 ,

a21 x1  a22    x2  ...  a2 n xn  0,
(7.37)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
an1 x1  an 2 x2  ...  ann    xn  0 .
Существование собственного вектора X , удовлетворяющего
условию (7.35), равносильно, таким образом, существованию ненулевого решения у системы n линейных однородных уравнений (7.37) с
n неизвестными. Согласно п. 7.8 однородная система (7.37) имеет
ненулевое решение тогда и только тогда, когда её определитель  равен нулю, т. е.
a11   a12
... a1n

a21
a22   ...


 
an1
an 2
...
a2 n
0.
(7.38)
ann  
Образуем матрицу A   En , где En – единичная матрица n -го
порядка. Тогда
 a11

 a21
A   En  


a
 n1
a1n 

a22 ... a2 n 

  

an 2 ... ann 
a12
...
 1 0 ... 0 


 0 1 ... 0 
     


 0 0 ... 1 


... a1n
 a11   a12



a22   ... a2 n
 a21

 
.


 


a
an 2
... ann   
 n1
Следовательно, собственные значения  матрицы A характеризуются тем, что для них обращается в нуль определитель
(7.39)
A   En  0 .
Равенство (7.39) называется характеристическим уравнением матрицы A . Это условие на параметр  , которому должны удовлетворять
61
A   En степени
n относительно  называется характеристическим многочленом матрицы A , а его корни 1 ,  2 , ... ,  n , представляющие собой только
действительные (вещественные) числа, будут являться собственными
значениями матрицы A . Характеристический многочлен имеет вид
n
n 1
A  En   1  n   1  n1  a11  a22  ...  ann   ...  A .
(7.40)
все собственные значения матрицы A . Многочлен
Коэффициент характеристического многочлена a11  a22  ...  ann
называется следом матрицы A и обозначается символом tr A (от английского слова trace – след):
(7.41)
tr A  a11  a22  ...  an n .
Свободный член характеристического многочлена равен его значению при   0 , а это значение равно A  0En  A , где A –
определитель квадратной матрицы A . Отсюда следует, что квадратная матрица A имеет собственное значение   0 тогда и только тогда, когда A  0 , т. е. когда матрица A вырожденная.
Чтобы найти все собственные векторы матрицы A , принадлежащие данному собственному значению  , надо, очевидно, найти все
решения системы (7.37). Эти решения будут удовлетворять и системе
(7.36), а значит, столбцы из решений будут собственными векторами
матрицы A , обращающими в тождество матричное соотношение
(7.35).
Отметим, что собственное значение собственного вектора X
определяется однозначно. Действительно, предположим, что собственному вектору X соответствуют два различных собственных значения  и 1 . Тогда из равенства  X  1 X следует, что
(  1 ) X  0 . Но, по определению, собственный вектор X –
ненулевой, поэтому   1 .
Напротив, собственный вектор X , принадлежащий данному собственному значению  , определяется не однозначно, а с точностью
до постоянного множителя.
До сих пор на элементы матрицы A мы не накладывали никаких
ограничений, они могли быть любыми действительными (вещественными) числами. Однако, если помимо условия вещественности элементов матрицы A предположить ещё, что матрица A симметрическая,
т. е. совпадает со своей транспонированной матрицей, то имеет место
следующая теорема.
Т е о р е м а. Если собственные векторы X 1 и X 2 симметрической матрицы A принадлежат различным собственным значениям 1
62
и  2 , то они удовлетворяют условию ортогональности
X 1T X 2  0 ,
где
T
X1
(7.42)
– вектор-строка (транспонированный столбец X 1 ).
Д о к а з а т е л ь с т в о. По условию A X 1  1 X 1 и A X 2   2 X 2 .
Составим произведение X 1T A X 2 и вычислим его двумя способами с
учётом сочетательности умножения трёх матриц и операции транспонирования произведения двух матриц, указанных в п. 6.1.
Имеем:
X 1T A X 2  X 1T  A X 2   X 1T  2 X 2    2 X 1T X 2 ,






X A X 2  X A X 2  X A X 2   A X 1  X 2  1 X 1  X 2 
T
1


T
1

T
1

T
T
T
 1 X 1T X 2  1 X 1T X 2 .
Следовательно, 1 ( X X 2 )   2 ( X 1T X 2 ) , откуда ввиду условия
T
1
1   2 и вытекает равенство (7.42). Теорема доказана.
П р и м е р 2. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы
0
 7 2


A 2
6 2 .
 0 2
5 

Р е ш е н и е. Матрица A – симметрическая. Имеем характеристическое уравнение
7
2
0
2
6
2
0
2
5
 0 , 3  18 2  99   162  0 .
Его корни различны: 1  3 ,  2  6 ,  3  9 . Система уравнений для
нахождения собственных векторов
 2 x2
7    x1



2
x

6

  x2
 2 x3

1

 2 x2  5    x3

есть
 0,
 0,
 0.
Подставим сюда поочерёдно 1  3 ,  2  6 ,  3  9 и в каждом
случае найдём собственные векторы:
 1 
 2 
 2 
 




X1   2  ,
X2   1 ,
X3   2  .
 2 
 2 
 1 
 




63
Нетрудно проверить, что полученные собственные векторы попарно удовлетворяют условию ортогональности (7.42).
ЛИТЕРАТУРА
1. Боревич З.И. Определители и матрицы. – М.: Наука, 1970.
2. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. – М.: Наука, 1974.
3. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Высшая
математика для экономистов / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.:
Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997.
4. Кудрявцев Л.Д. Мысли о современной математике и ее изучении. – М.: Наука, 1977.
5. Меркулов В.А. О некоторых принципах преподавания математики школьникам и студентам // Вестник ВолгГАСА. Сер.: Гуманит.
науки. Вып. 1 (3). – Волгоград: ВолгГАСА, 2000. – С. 96 – 101.
6. Меркулов В.А., Руденок И.П. Определители, системы линейных
уравнений, линейные преобразования и матрицы: Учеб. пособие. –
Волгоград: ВолгГИСИ, 1994.
7. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления.
Т. 2. – М.: Наука, 1978.
8. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. Ч. 1.
– М.: Рольф, 2001.
9. Шнейдер В.Е., Слуцкий А.И., Шумов А.С. Краткий курс высшей
математики. Т. 1. – М.: Высш. шк., 1978.
64