Олимпиадные задания для 9 класса

Школьные олимпиады 9 класс.
Вариант 1
1. Найти все натуральные числа, оканчивающиеся на 91, которые после
вычеркивания этих цифр уменьшаются в целое число раз.
 x3 y  2 x 2 y 2  xy 3  4,

2
2
 x  y  x y  y x  4.
2. Решите систему уравнений 
3. Постройте графики уравнений | y | + y + | x | + x = 6; x + y + 3 = 0 и
найдите площадь полученной фигуры.
4. Упростить
62 62 22 3
.
5. Найти угол В в треугольнике АВС, если известно, что высоты,
выходящие из А и С, пересекаются внутри треугольника и одна из них
делится точкой пересечения на равные части, а другая в отношении 2 : 1,
считая от вершины.
6. На участке трамвайного пути длиной в 1 км пешеход, проходящий этот
участок в течение 12 минут, ежедневно подсчитывает число трамваев, его
обгоняющих и встречных. В течение года первых оказалось 225, вторых –
600. Определить скорость трамвая.
Вариант 2
1. Найти, при каких значениях а система уравнений имеет четыре
решения?
 x  y  1,
 2
2
 x  y  a.
2. Найти два трехзначных числа, зная, что их сумма кратна 498, а частное
кратно 5.
3. За весну Обломов похудел на 25 %, затем за лето прибавил в весе 20
%, за осень похудел на 10 %, а за зиму прибавил 20 %. Похудел ли он или
поправился за год?
4. Окружность, касающаяся гипотенузы прямоугольного треугольника, а
также продолжений его обоих катетов, имеет радиус 25 см. Найдите
периметр треугольника.
5. Один рабочий может выполнить работу за 4 часа, а другой – за 6 часов.
Сколько должен работать третий рабочий, чтобы сделать эту работу, если его
производительность равна средней первых двух?
6. Построить график уравнения:
2x2 + 4x + 2y2 – 4y – 5 (x + 1) ∙ (y – 1) + 4 = 0.
Вариант 3.
1. Полторы курицы за полтора дня снесли полтора яйца. Сколько снесет
дюжина куриц за 12 дней?
2. Решить уравнение (x2 – x – 1)2 – x3 = 5.
3. Найти значение выражения:
(2  3)  (22  32 )  ...  (2256  3256 )  (2512  3512 )  21024
31024
.
4. В некоторой трапеции длина одной из диагоналей равна сумме длин
оснований трапеции, а угол между диагоналями равен 60°. Доказать, что
трапеция равнобедренная.
5. В уравнении x2 – ax + a – 1 = 0, где а – действительное число, найдите а,
2
2
при котором x1  x2 принимает наименьшее значение.
6. Легковой автомобиль и грузовик испытывали на проселочной дороге.
При этом легковой автомобиль проехал на 12 км больше, чем грузовик, но
бензин у него кончился на 0,5 часа раньше. Какая машина проедет дальше и
на сколько при той же заправке по асфальтовой дороге, если скорость на
асфальте на 16 км/ч больше, чем по проселку (время расхода бензина не
зависит от качества дороги)?
Вариант 4
 x3  y 3  19  ( x  y ),
 3
3
 x  y  7  ( x  y ).
1. Решите систему уравнений 
2.
Найдите
все
значения
а,
при
которых
2
(a – 2) ∙ (x + 2x) ≥ 4 не выполняется ни при каком х.
неравенство
3
3. Пешеход прошел 8 моста и услышал звук подъезжающего к
автомобиля. Если он побежит назад, то достигнет начала
одновременно с автомобилем. Если он побежит вперед, то будет у
моста также одновременно с автомобилем. С какой скоростью
пешеход, если скорость автомобиля 60 км/ч?
мосту
моста
конца
бежит
4. В пересечении двух равных кругов вписан ромб с диагоналями 12 см и
6 см. Найдите радиус окружности.
5. Найдите все пары натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению: x2
– xy – 2x + 3y = 11.
6. Найдите четыре последовательных натуральных числа, произведение
которых равно 1680.
Вариант 5
1. Сравните 12723 и 51318.
2. Два поезда движутся друг другу навстречу по параллельным путям –
один со скоростью 60 км/ч, а другой 80 км/ч. Пассажир, сидящий во втором
поезде, заметил, что первый поезд шел мимо него в течение 6 с. Какова длина
первого поезда?
3. Решите систему уравнений:
 x 2  yz  3,
 2
 y  xz  4,
 z 2  xy  5.

4. Докажите, что если а, b, c – длины сторон треугольника, то уравнение
b x + (b2 + c2 – a2) ∙ x + c2 = 0 не имеет действительных корней.
2 2
5. Найти значение выражения:
1
 x 1
x 1
1
x 1
:

2
2
( x  1) x  1  ( x  1) x  1 2

x 1
x 1
x при х = 2005.
6. В трапеции ABCD: AD = 30, BC = 20, AB = 6, CD = 8 (AD, BC –
основания). Найти радиус окружности, проходящей через точки А и В и
касающейся прямой CD.