Тесты на векторы и координаты в пространстве Тест 1. Равенство векторов. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1 . 1. Есть такая точка X на диагонали DB1, что AX = BC1 . 2. Нет вектора PQ такого, что он коллинеарен векторам AK и C1 B , где точка K – середина ребра СС1. 3. Есть такая точка X на отрезке AD1 и такая точка Y на отрезке DC1, что XY ││ AC . 4. Если AX = BD1 , то точка X лежит на прямой C1D1 . 5. Для любой точки X в треугольнике CB1D1 найдётся точка Y в треугольнике BDA1 такая, что DY = - B1 X . Тест 2. Сложение и вычитание векторов Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1 . Вектор B1 D является: 1. суммой векторов B1 A и B1C ; 2. суммой векторов BA , BC и D1 D ; 3. разностью векторов AB1 - AD ; 4. разностью векторов BA1 - DA1 ; 5. суммой векторов DX и D Y , если точка X находится в грани ABA1B1, а точка Y находится в грани CDC1D1. Тест 3. Линейные операции с векторами Основанием пирамиды РABCD является параллелограмм ABCD, точка О – точка пересечения его диагоналей. Тогда: 1 1 1. АВ + AD = AO . 2 2 1 1 2. РА - РС = РО . 2 2 3. РА +2 AO = РС . 4. 2 РА +2 АВ +3 ВР = ВР . 1 1 5. АС + СВ = DB . 2 2 Тест 4. Координаты вектора по базису Дан тетраэдр OABC. Сумма координат вектора по базису OA , OB и OC положительна, если это вектор : 1. BC ; 2. AT , где точка T - центроид треугольника OBC; 3. KL , где точка K - середина отрезка OA, а точка L - середина отрезка BC; 4. OX , где точка X - точка треугольника ABC; 5. XY , где точка X - точка треугольника OAC; точка Y - точка треугольника OBC. Тест 5. Умножение вектора на число Точка X принадлежит тетраэдру ABCD, если: 1. DX = 2 DA + 0,5 DB ; 2. BX = 2 BA - 2 BC + 2 CD ; 3. CX = 0,5 CB - 0,5 CD +0,5 BA ; 4. AX = 0,25 AB + 0,25 AC +0,25 AD ; 5. KX = (1/3) DB + (1/3) BC - (1/3) DA , где точка K - середина ребра AD. Тест 6. Угол между векторами Дан куб ABCDA1B1C1D1 . 1. Среди векторов, заданных рёбрами куба, есть такие, которые образуют образуют с вектором B1 D неострый угол. 2. Среди векторов, заданных диагоналями граней куба, есть такие, которые образуют с вектором B1 D тупой угол. 3. Есть такая точка P на ребре BB1, что угол между векторами B1 D и A1 P - прямой. 4. С увеличением угла между B1 D и B1Q , где точка Q лежит на ребре AA1, увеличивается угол между вектором A1C и вектором B1Q . 5. Есть такие точки X в грани ABA1B1 и Y в грани CDD1 C1 , что угол между векторами B1 D и XY равен 600. Тест 7. Угол между векторами Основание правильной пирамиды РABCD – квадрат ABCD, ее боковые грани – равносторонние треугольники и О точка пересечения диагоналей основания. В этой пирамиде; 1. угол между векторами АР и АС равен 45о; 2. угол между векторами АВ и ВР равен 60о; 3. векторы ВР и PD ортогональны; 4. угол между векторами ВС и AC равен 45о; 5. угол между векторами ВР и РО равен 45о. Тест 8. Координаты вектора в системе координат Рассматривается куб ABCDA1B1C1D1 и система координат, начало которой находится в одной из вершин куба, а оси координат проходят через его рёбра. Тогда: 1. существует вектор, начало и конец которого находятся в вершинах куба, у которого все координаты отрицательны; 2. существует система координат, в которой все координаты вектора DB1 положительны; 3. существует система координат, в которой одна координата вектора DB1 положительна; 4. существует система координат, в которой координаты векторов DB1 и B1 D имеют одинаковые знаки; 5. существует такая система координат, что при движении точки X по какому-либо ребру куба каждая координата вектора A1 X возрастает. Тест 9. Координаты векторов в пространстве 1. Если все координаты вектора увеличились, то модуль его увеличился. 2. Если координаты вектора разделили на одно и то же натуральное число, то его модуль разделился на это же число. 3. Координаты вектора а (х, у, z) равны его скалярным произведениям на единичные векторы осей координат: х= а i , у= а j , z= а к . 4. Если в пространстве скалярные произведения вектора а на два неколлинеарных вектора равны нулю, то вектор а - нулевой. 5. Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно произведению их дулей тогда и только тогда, когда эти векторы сонаправлены. Тест 10. Скалярное умножение Скалярное произведение векторов a и b может равняться 1: 1. если a = AB , b = AC и AB - диаметр сферы радиуса 1, а точка C принадлежит этой сфере. 2. если a = AB , b = AC в правильной треугольной пирамиде ABCD с вершиной A , у которой боковое ребро равно 1. 3. если a = AB , b = AC в правильной треугольной пирамиде ABCD с вершиной A, у которой ребро основания равно 1. 4. если a = AX , b = С1Y в кубе ABCDA1 B1 C1 D1 с ребром 1 при том, что X принадлежит ребру A1D1 , Y принадлежит ребру CD и A1X = CY. 5. если a = AС , b = A1C в прямоугольном параллелепипеде ABCDA1 B1 C1 D1, у которого основание ABCD квадрат со стороной 1. Тест 11. Равенство векторов. Действия с векторами Дан тетраэдр ABCD . В нём; 1. AD - DB = AC - CB ; 2. AD - BD - CB = BD - AD - CA ; 3. AB AC AD BA BC BD ; 4. BC DA CD CB AD BD ; 5. AC CB BD AB BC CD . Тест 12. Скалярное умножение Дан правильный тетраэдр ABCD с ребром 2. Скалярное произведение векторов a и b больше 1, если : 1. a AD , b CB ; 2. a DB , b CN , если N - центр противоположной грани точке C ; 3. a AD, b 10BA 0,1CA . 4. a AM , b CN , если M и N - центры противоположных граней точкам A и C соответственно; 5. a AK , b CL , если K – середина ребра CD, L – середина ребра DB. Тест 13. Сумма и разность векторов, длина вектора Пусть векторы a , b , с некомпланарны ( линейно независимы ). Тогда a b с , если: 1. a b с 0 ; 2. существует вектор x такой, что a c x b c x ; 3. x : a b c x 0 ; 4. x : a c x b c x ; 5. a p q, b p q, c p q . Тест 14. Сумма и разность векторов. Длина вектора Пусть векторы a , b , с некомпланарны ( линейно независимы ). Тогда 1. ab с : │ a b c │>│ a b c │; 2. ab с : │ a b c │<│ a b c │; 3. ab с : │ a b c │≤ │ a b c │; 4. ab с : │ a │= │ a + b + c │ = │ b + c │; 5. ab с : │ b + c │ =│ a b c │=│ a b c │ = │ a │, Тест 15.. Сумма и разность векторов. Длина вектора Пусть векторы a , b , с некомпланарны ( линейно независимы ). Тогда a b с : 1. a b c a b c ; 2. a b c, a b c, 3. │ a b c │= │ a b c │ 4. │ a b c │< min (│ a │, │ b │, │ c │ ) 5. a b c ┴ a , a b c ┴ b , a b c ┴ c , Тест 16. Линейные операции с векторами, длина, перпендикулярность Существуют такие некомпланарные векторы a , b , с ,что: 1 1 1 1. a b с 0 ; 2 3 4 2. a 2b 3 с 2a b с ; 3. a 2b с || a b 2 с ; 4. a 3b с a 3b с 5. │ 2a 2b 2 с │= │ 3a 3b 3 с │ Тест 17. Линейная комбинация векторов Если векторы a , b , с единичные и некомпланарные, то существуют такие числа x, y , z , что : 1. x a yb z c xa yb z c ; 2. x a yb z c 1; 3. x a yb yb z c 4. x a b a yb = 5. a + b + с = x a z c ; b z c , если x 1, y 1, z 1. xa yb z c . Тест 18. Разложение вектора на составляющие по трём прямым Пусть p xa yb z c и векторы a , b , с выходят из вершины D правильного тетраэдра ABCD. Тогда | xyz | 1, если: 1. p 2. p 3. p 4. p AC , DK , где точка K - середина AB ; DO , где точка O - центр грани ABC ; KL , где точка K - середина AB, а точка L - середина DC; 5. p AA1 + BB1 + CC 1 , где точки A1,B1,C1 - центры граней BCD, ACD, ABC соответственно Тест 19. Проекция вектора В результате проектирования вектора на три попарно перпендикулярные оси: при увеличении длины вектора увеличивается каждая его проекция; существует два таких угла между единичным вектором и осью z, при которых его проекции равны; 3. увеличение одной проекции единичного вектора приводит к уменьшению других его проекций; 4. увеличение угла между единичным вектором и осью z увеличивает хотя бы одну его проекцию; 5. увеличение проекций единичного вектора на оси x и y приводит к увеличению угла между вектором и осью z. Тест 20. Координаты векторов в пространстве» 1. Если координаты вектора увеличились, то модуль его увеличился. 2. Если координаты вектора разделили на одно и то же число, то его модуль разделился на это же число. 3. Координаты вектора а (х, у, z) равны его скалярным произведениям на единичные векторы осей координат: х= а i , у= а j , z= а к . 4. Если в пространстве скалярные произведения некоторого вектора а на два неколлинеарных вектора равны нулю, то вектор а нулевой. 5. Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно произведению их модулей тогда и только тогда, когда эти векторы сонаправлены. Тест 21. Скалярное умножение Скалярное произведение векторов a и b больше 1, если дан куб ABCD A1 B1 C1 D1 со стороной 2 и: 1. a = AB , b = C1 D1 ; 2. a = 0,5 AD , b = -2 C1 B1 ; 3. a = 2 AС , b = 2 B1 A1 ; 4. a = BD , b = A1 B1 + C1 B1 5. a = 0,5 AD + BA , b = 0,5 C1 D1 + B1C1 ; Тест 22. Скалярное умножение Координатная форма Если два вектора ортогональны и известны по две одноименные их координаты , то можно найти и третьи их координаты . Скалярное произведение двух векторов положительно не тогда и только тогда, когда все координаты данных векторов положительны. Если один вектор постоянен, а все координаты другого вектора уменьшаются, то их скалярное произведение уменьшается. Если два ненулевых вектора коллинеарны, то их их скалярное произведение положительно только тогда, когда они сонаправлены. Зная длины векторов и их скалярное произведение, можно найти их координаты. Тест 23. Скалярное умножение 1. a b , если a = ( 1, a, -a ), b = ( -a, 1, a ). 2. Существуют два значения x, при которых b a , если a = ( 1, x, -1 ), b = ( 1, - x, -1). 3. Существуют два значения угла между единичными векторами a и b , при которых a b - a b =2. 4. Если b ( a с ) , то сумма углов, которые образованы вектором b с единичными векторами a и с равна 1800. 5. Если векторы a , b , с единичные и некомпланарные, a b b с и с b с a , то a b с a Тест 24. Обобщающий Если 1 2 , 1 2 , γ 1 > γ 2 и a b с , то 1 a 1 b 1 c > 2 a 2 b 2 c . Разложение вектора на составляющие по четырём попарно пересекающимся прямым единственно. Если координаты вектора равны, то он образует равные углы с плоскостями координат. 4. Если векторы a , b , с , d единичные , то ( a b )( c d ) 4. 5. Если векторы a , b , с единичные, лежат в одной плоскости и a b = c b = a c , то a b a c 2 b c . Тест 25. Обобщающий Некоторые векторы a и b коллинеарны, если a = ( 1, x, 1 ) и b = ( x, 1, 1 ). Некоторые векторы ортогональны, если первый из них задан боковым ребром правильной шестиугольной пирамиды, а второй – диагональю её основания, причём эти отрезки не пересекаются. Некоторый из трёх векторов a , b , с является линейной комбинацией двух других, если a = ( 1,x, 1 ) , b = ( 2, x, 1 ), с = ( -4, - 2x, 2 ) , если x ≠ 0. Если для некоторых ненулевых векторов a b = b с и b с = a с , то векторы a и b с ортогональны. Если единичные векторы a и b таковы, что a · b = 1, то некоторые их соответственные координаты равны. Тест 26. Расстояние между точками Точки A,B,C имеют такие координаты: A( 1, a, 0 ),B ( a,1, 0 ),C ( -1, -1, -1). Тогда: существует такое значение a , при котором треугольник ABC является прямоугольным; существует такое значение a, при котором треугольник ABC является тупоугольным; существует такое значение a, при котором треугольник ABC является равносторонним; при любом значении a данные точки являются вершинами равнобедренного треугольника; нет таких значений a , при которых эти точки не являются вершинами треугольника. Тест 27. Уравнение прямой в пространстве Уравнение прямой, проходящей через точку ( x0, y0, z0 ) с направляющим вектором ( 1/a, 1/b, 1/c) имеет вид: a (x – x0) = b ( y – y0 ) = c ( z – z0 ) . Тогда: 1. Точки, равноудалённые от всех осей координат находятcя только на прямой x = y = z. 2. существуют такие значения a, b, c, что прямая пересекает оси координат в начале системы координат и образует со всеми осями равные углы; 3. если x = x0 или y – y0 , или z = z0), то прямая параллельна одной из координатных плоскостей; 4. если уравнение прямой p : ax = by = cz , а прямой q : bx = ay = cz, то существуют такие положительные a , b, c , при которых эти прямые перпендикулярны. 5. если уравнение прямой p : ax = by = cz , а прямой q bx = ay = cz , то они могут быть параллельны, Тест 28. Уравнение прямой в пространстве Прямая p задана уравнением ( x – 1 ) 2 + ( y – a ) 2 = 0, прямая q задана уравнением ( y – 1 ) 2 + ( z – a ) 2 = 0, прямая r задана уравнением ( x – a ) 2 + ( z – a ) 2 = 0. Тогда: 1. есть такое значение a, при котором эти прямые имеют общую точку; 2. при a > 1 эти прямые попарно скрещиваются; 3. найдётся такое значение a, при котором прямая r равноудалена от двух других прямых; 4. с возрастанием a возрастает расстояние от каждой прямой до начала координат; 5. существует прямая, которая пересекает все данные прямые. Тест 29. Уравнение плоскости Плоскость α задана уравнением ax + y + z = 1, плоскость β задана уравнением x + ay + z = 1, плоскость γ задана уравнением x + y + az = 1. Существует значение a, при котором: 1. хотя бы одна из этих плоскостей проходит через начало координат; 2. эти плоскости параллельны, причём a > 1; 3. у этих плоскостей есть общая прямая; 4. эти плоскости попарно перпендикулярны; 5. угол между каждой парой плоскостей один и тот же, отличен от прямого, причём a положительно, но меньше, чем 2. 1. 2. 3. 4. 5. Тест 30. Уравнение плоскости Прямая задана уравнением ax = y = z, плоскость задана уравнением ax + y - z = 1. Существует значение a, при котором: прямая лежит в плоскости; прямая пересекает плоскость в начале координат; точка ( 1, a, a ) является точкой пересечения прямой и плоскости; прямая перпендикулярна плоскости; угол между прямой и плоскостью при a → 0 стремится к нулю. Тест 31. Угол между плоскостями Плоскость α задана уравнением x + y + z = a, плоскость β задана уравнением x + y = a, плоскость γ задана уравнением z = a. Тогда: 1. существует значение a, при котором: плоскости β и γ взаимно перпендикулярны; 2. при любом значении a плоскости α и β не перпендикулярны; 3. существует значение a, при котором плоскость α образует равные углы с плоскостями β и γ ; 4. ےαβ + ےβγ + ےγα > 1800; 5. хотя бы одна из этих плоскостей образует равные углы с плоскостями координат. Тест 32. Угол между прямой и плоскостью Плоскость α задана уравнением x + z = a, прямая p задана уравнением x = a – y = z, прямая q задана уравнением ( x – y ) 2 + ( z – a ) 2 = 0 , прямая r задана уравнением x/0 = y/0 = z/1. Тогда: 1. p ┴ α; 2. ےqα = π/6; 3. ےrα = π/4; 4. существует такое значение a , при котором прямая p перпендикулярна плоскости, параллельной прямым q и r; 5. угол между прямой p и плоскостью α больше угла между прямой a и плоскостью, параллельной прямым q и r; Тест 33. Угол между прямыми 1. При любом значении a ≠ 0 прямые AB и CO перпендикулярны ( точка O - начало координат )., если уравнение прямой OC : ( y – ax )2 + z2 = 0, уравнение прямой AB: ( x – 1 )/-1 = y/ 0 = z + 1/ -1. 2. Угол между прямой p , уравнение которой x/1 = y + 1/ -2 = z / 0, и прямой q, уравнение которой ( x - 1 )/2 = ( y – 0,5 ) -1 z / 0 больше 600. 3. Угол между прямой p , уравнение которой x = y = z , и прямой q1, уравнение которой x = - y = z , больше угла между прямой p и прямой q2, уравнение которой x = y = -z . 4. Существует a > 0, при котором угол между прямой p , уравнение которой ( -ay + z - 1 )2 + x2 = 0, и прямой q, уравнение которой ( x - ay +1 ) 2 + z2 = 0, равен 600. 5. При возрастании a ( a > 1 ) угол между прямой p , уравнение которой ax = y = z, и прямой q, уравнение которой x = y = az стремится к прямому. . Тест 34. Расстояние от точки до плоскости 1. Расстояние от начала координат до плоскости x + y + z + a = 0 растёт при увеличении a; 2. Расстояние от точки A ( 1, 1, 1) до плоскости α, уравнение которой x + y = 0 равно расстоянию от точки B ( - 1,- 1, - 1 ) до плоскости α. 3. Расстояние от точки A ( -a, 0, a) до плоскости α, уравнение которой y + z = 1 не равно расстоянию от точки A до плоскости β, уравнение которой - y + z = 1. 4. Расстояние от прямой ( x - 1 )2 + ( y – 1 )2 = 0 до плоскости α, уравнение которой x + y + 1 = 0 больше 2. 5. Расстояние от плоскости α, уравнение которой x + y + z = 1 до плоскости β, уравнение которой x + y + z = -1, меньше 2. Тест 35. Уравнение сферы Рассматривается уравнение сферы в общем случае: (x - a )2 + ( y - b )2 + ( z - c )2 = R2. Тогда: при a > 0, b < 0, c > 0 существует такое значение R, при котором вся сфера лежит в одном из октантов; 2. при a = - 2, b = 2 , c = 2 найдётся такое значение R, при котором сфера касается плоскостей координат; 3. при увеличении a и постоянных R , b и c расстояние от начала координат до сферы растёт; 4. если центр сферы находится в точке ( - 1, -1, -1 ) и R = 2 , то на одной из координатных плоскостей эта сфера высекает единичную окружность; 5. при постоянном R и возрастающих a , b , с эта сфера удаляется от начала координат. Тест 36. Расстояние от точки до фигуры Расстояние от точки A до фигуры F больше 1, если: 1. A ( 0, - 2, 0 ), F задаётся условием | x/y | ≥ 1; 2. A (1, 0, 0 ), F задаётся условием x = | y | = z; 3. A ( 0, 0, -2 ), F задаётся условием y2 = 1; 4. A ( -1, 1, 1 ), F задаётся условием x - y2 - z2 + 1; 5. A ( 0, 0, 0 ), F задаётся условием x2 + y2 + z2 - x – y – z +1,5 = 0. Тест 37. Сфера 1. Некоторая сфера, уравнение которой x2 + y2 + z2= a2 , проходит через точку ( a , - a, a ). Некоторая сфера, уравнение которой ( x + 1 ) 2 + ( y + a ) 2 + ( z + a ) 2 = 1, касается плоскости xy. Некоторая сфера, уравнение которой ( x – a )2 + y2 + z2= 1, отсекает на оси y отрезок длины 2. Некоторый шар ( x - 0,9 ) 2 + ( y – 0,9 ) 2 + ( z – 0,9 ) 2 a2 , имеет общие точки с шаром ( x - 1 ) 2 + ( y - 1 ) 2 + ( z - 1 ) 2 1. Некоторые сферы, уравнения которых ( x – a )2 + y2 + z 2 = 1 и x 2 + ( y + a )2 + z 2 = 1, удалены на расстояние 1 при a > 2. Тест 38. Координатный метод В координатном пространстве ( х, у, z ) : уравнение х2 – 1 = 0 задает плоскость. плоскости, заданные уравнениями 2х- 3у + 6z = 1 и 2х + 3у + 6z = 1, параллельны. плоскости, заданные уравнениями 2х - 3у + 6z = 6 и -2х +3у + 6z = 6, имеют общую точку (3, 2, 1). плоскость, заданная уравнением х – у + z + 9 = 0, и сфера, заданная уравнением х2 + у2 + z2 = 4, имеют общую точку. уравнение ах + bу2 = c при ненулевых a и b задает параболу. Тест 39. Обобщающий Середина отрезка AB находится удалена от начала координат больше, чем на 1, если A( 5, 2, 0), B( -5, -1, 2). 2. Точки A ( -1, 2, 0) и B ( -2, 1, 0 ) равноудалены от прямой p, уравнение которой y =-x= 5. 3. Точка C ( a, 2a, a ) лежит на прямой, проходящей через точки A( -1,-2, 0) и B (-3,-5, 0). 4. Существует a 2, при котором шар ( x – a )2 + ( y – a )2 + ( z – a )2 ≤ 1 лежит в шаре ( x + a )2 + ( y + a )2 + ( z + a )2 ≤ 25. 5. Фигура, уравнение которой xy 1 удалена от начала координат на расстояние, большее 1.
