ФОНОНЫ. Фононы представляют собой кванты поля звуковых волн в макроскопическом теле. Теоретически они вводятся также как фотоны при квантовании электромагнитного поля. Электромагнитное поле может быть разложено в ряд Фурье по плоским волнам. При этом гамильтониан электромагнитного поля разлагается на сумму членов, каждый из которых эквивалентен гармоническому осциллятору. Квантами энергии этих гармонических осцилляторов и являются фотоны. Аналогично гамильтониан твердого тела, которое построено из атомов, образующих кристаллическую решетку, может быть аппроксимирован суммой членов, каждый из которых представляет гармонический осциллятор, соответствующий нормальному колебанию системы атомов. В классической механике нормальное колебание есть волна деформации плоскостей решетки, т.е. звуковая волна. В квантовой механике такие колебания порождают кванты, называемые фононами. Поэтому квантовое состояние кристаллической решетки, близкое к основному, должно характеризоваться числами имеющихся фононов с данными импульсами. Следовательно, при низких температурах твердое тело можно рассматривать как объем, содержащий газ невзаимодействующих фононов. Поскольку фонон является квантом некоторого гармонического осциллятора, он имеет характеристическую частоту i и энергию i . Состояние решетки, характеризующееся наличием одного фонона, , причем волновой соответствует звуковой волне, записанной в виде: e вектор имеет величину k , где с – скорость звука. Вектор поляризации c не обязательно перпендикулярен волновому вектору k . Таким образом, вектор поляризации имеет три независимые компоненты, соответствующие одному продольному колебанию – волне сжатия и двум поперечным колебаниям – волнам сдвига. Так как в возбужденном состоянии гармонический осциллятор может иметь любое число квантов, фононы подчиняются статистике Бозе, причем их полное число не сохраняется. i kr t Твердое тело, состоящее из N атомов, имеет 3N нормальных колебаний, поэтому должно быть 3N различных типов фононов с характеристическими частотами 1 , 2 ,..., 3N . Значения этих частот зависят от свойств решетки. В эйнштейновской модели решетки принимается, что все частоты равны между собой. Усовершенствованием этой модели является модель Дебая, который принял, что для определения частот, и только для этой цели, можно рассматривать твердое тело как упругий континуум объема V. Фононные частоты являются в этом случае 3N нижними нормальными частотами такой системы. Поскольку упругий континуум имеет непрерывное распределение частот, нас интересует число нормальных колебаний, частоты которых лежат между и d. Чтобы найти это число, нужно учесть граничные условия для звуковой волны в упругой среде. Выбирая граничные условия периодичности, находим, как обычно, 2 k 2 / L n V 1/ 3 nx ny , n z (1) причем вектор n имеет целые компоненты 0, 1, 2,... .Интересующее нас число нормальных колебаний с частотами и d равно f d 3V 4 2 k 2 dk 23 c 3 . (2) Множитель 3 появляется из-за того, что возможны три направления поляризации. Поскольку k / c , имеем f d V 3 2 d . 2 2 c 3 Максимальную частоту m определим из условия (3) ь 3 2 d m 3 V 3N 2 3 2 3 2 c 0 2 c 1 / 3 2 m f d V 0 2 откуда при v V / N получим m c 3v , (4) . Длина волны, соответствующая m , равна m 2c 12v 1 / 3 , т.е. примерно m расстоянию между частицами. Вычислим статистическую сумму для газа фононов. Энергия состояния, в 3N котором имеется ni фононов i-ого сорта, равна Eni ni i . i 1 Фононы, так же как фотоны, подчиняются статистике Бозе. Ввиду отсутствия закона сохранения частиц, химический потенциал фононной системы равен нулю. Поэтому 1 1 ni , i / T i / T e 1 e 1 (5) 3N i 3V 4 kmax 2 ck 3V 4 max 2 E k dk ck / T d / T . / T i 1 e i e 1 2c 3 0 e 1 1 23 0 2 2 N Поскольку max c 3V 1/ 3 , имеем: max E 9 9T 4 max / T 3 1 2 d x dx 3TDTD / T , N max 3 0 e / T 1 max 3 e x 1 0 (6) где Dx - функция Дебая определяется следующим образом: 1 x 3 1 , x 1 3 x dx x 2 3 1 x 0 x 1 x / 2 x / 6 .. 3 D x 3 x dx x x3 0 e 1 1 x x 3 dxe x 1 e 2 x ... , x 1 x 3 0 3 x 2 2 2 x 1 3 x dx 1 x / 2 x / 12 1 3x / 8 x / 20, x 0 4 x x 4 3 x 3 x 3 dxe x 1 4 x 3 dxe x x dxe 3 , x 1 4 x 3 0 n 1 n x3 0 30 x 3 0 5x , (3.64) а TD -температура Дебая равна 2 2 N T D max c 3V 1/ 3 . (7) Рис.1. Теплоемкость как функция температуры в модели Дебая. Поэтому энергия имеет вид: 2 3T 1 TD D 1 , T D T 20 T E 8 T 3TDT D / T 3T . 3 4 N T T D T 5 T , D Соответственно, для теплоемкости получаем 2 1 TD 1 , TD T cV dDTD / T 20 T 3DTD / T 3T 3 . 3 4 N dT 4 T TD T 5 T , D (8) (9)