акустические фононы

3
ФИЗИКА
КОНДЕНСИРОВАННОГО
СОСТОЯНИЯ
М.Г. Шеляпина
1
КВАЗИЧАСТИЦЫ
Конденсированная материя - система сильновзаимодействующих единиц,
совершающих сложные колебательные движения как целое
Вещество состоит из структурных единиц, каждая структурная единица обладает
внутренними степенями свободы, которые определяют характер движения атомов.
Предсказать заранее свойства невозможно
(e.g. высокотемпературная сверхпроводимость)
Теория конденсированного состояния: теоретические модели,
приближенные методы расчета
Существует квазичастичный метод для описания возбужденных состояний
конденсированных сред
Термодинамический аспект:
• система в основном состоянии при T = 0
• любые вариации плотности приводят к потенциальной энергии U
• min U соответствует однородной системе (= периодичной)
•  T = 0 соответствует кристаллической структуре
2
КВАЗИЧАСТИЦЫ
Соотношение неопределенности Гайзенберга:
 состояние полного покоя невозможно
 нулевые колебания (при T = 0)
Амплитуда “0” колебаний определяется энергией связи
Если энергия взаимодействия мала (т.е потенциальная яма неглубокая)
 амплитуда велика (частица не локализована)
 жидкость не замерзает при T = 0
Пример: гелий – незамерзающая квантовая жидкость
3
КВАЗИЧАСТИЦЫ
Свойства конденсированных сред определяются не только структурой, но и динамикой
их поведения, т.е. особенностями движений, сопровождающих переход среды в
возбужденное состояние.
В пространственно-однородной среде возбуждение дискретно (в виде квантов)
В газах – каждая частица структурная единица и вещества, и движения
В конденсированных средах – движение кооперативно (скоррелировано)
 каждое элементарное возбуждение охватывает много частиц (ансамбль)
Элементарные возбуждения, на которые можно разложить состояния системы и которые
могут распространяться в среде – квазичастицы
Условие существования квазичастицы:
- неопределенность во времени
 возбужденные состояния, соответствующие квазичастицам должны быть
квазистационарными
4
КВАЗИЧАСТИЦЫ
Два типа элементарных возбуждений
1. Элементарные возбуждения, которые после выключения взаимодействий
структурных единиц переходят в частицы идеального газа
E.g. электронная ферми-жидкость
2. Элементарные возбуждения обусловленные только силами
взаимодействия между структурными единицами и отсутствуют в
идеальном газе
E.g. фононы
Полная E системы вблизи основного состояния:
E = Eg.s. + Ei ,
Ei - энергия элементарных возбуждений
В динамическом отношении квазичастицы подобны обычным частицам, но
для их существования нужна среда
5
КВАЗИЧАСТИЦЫ
Основные характеристики квазичастиц
•
Энергия E
•
Квазиимпульс p
•
Закон дисперсии E(p)
для классической частицы
из релятивистской теории
при v <<c
•
Эффективная масса квазичастицы
•
Константа взаимодействия – заряд
•
Статистика, описывающая взаимодействие ансамбля частиц
•
Энергетический спектр
•
Функция спектральной плотности
6
ТЕПЛОВЫЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ РЕШЕТКИ
Основное состояние кристалла. Нулевые колебания
Кристалл – совокупность структурных элементов (связанных упругими силами)
положительно заряженные атомные остовы,
нейтральные атомы,
многоатомные молекулы
Колебания ансамбля (и каждой частицы) определяются всей системой
Число нормальных колебаний:
3jN – 6 = 3jN – 3 поступательных сс как целого
– 3 вращательных сс как целого
N – число элементарных ячеек,
j – число атомов в элементарной ячейке
при N  
3jN
7
ТЕПЛОВЫЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ РЕШЕТКИ
В кристалле колебания не являются гармоническими
Но, если амплитуда мала (при низких T), то можно использовать гармоническое
приближение
Каждое нормальное колебание – гармонический осциллятор
E возбужденного состояния + E нулевых (невозбужденных) колебаний
Нулевые колебания – следствие принципа неопределенности
 при T = 0  частица колеблется в определенной области пространства
(движение – суперпозиция нормальных колебаний) с частотой
min ≤  ≤ max
max – определяется неопределенностью межатомных расстояний Δ
0
min – определяется размером всего кристалла
8
ТЕПЛОВЫЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ РЕШЕТКИ
Δ 0можно определить используя принцип соответствия классических и
квантовомеханических выражений для энергии:

Δ
0
определяет размер локализации атома в решетке
Если Δ 0⁄ ≪ 1  вероятность перескока частицы из (.) в (.) мала
 решетка квазикристаллический объект
Если Δ 0⁄ ~1  квазикристаллическое приближение неприемлемо
Если атомы не локализованы вблизи определенных точек пространства, а
с большой вероятностью перемещаются в решетке – квантовые
кристаллы
Если в квантовых кристаллах при T = 0 увеличить амплитуду нулевых
колебаний так, что Δ 0⁄ > 1 , то произойдет плавление кристалла, 
квантовая жидкость
9
ФОНОНЫ
 два почти эквивалентных метода описания колебаний кристаллической
решетки - на основе представлений в виде стоячих или бегущих волн
Стоячие волны
Колебания одномерной решетки L из N одинаковых атомов на расстоянии
a с закрепленными концами
Нормальные колебания – стоячие волны сжатия и растяжения
Аналог – колебания струны
min = 2a соседние атомы в противофазе
3-я гармоника
min соответствуют  = 2L
2-я гармоника
Набор длин волн 2L, L, L/2, L/3, … , 2a
 набор волновых чисел kq = 2/q
основная мода
q = 1, 2, 3 …
kmin = /L
kmax = /a
Всего N нормальных колебаний N = kmax /kmin
10
ФОНОНЫ
При T = 0 атомы совершают сложные колебания (суперпозиция колебаний
с частотами min ≤  ≤ max). Они не несут тепловой энергии.
С  T начинают возбуждаться тепловые колебания.
Из общих соображений:
При T = T0 могут возбуждаться только колебания с ħq<
0
 с  T начнут возбуждаться сначала низкочастотные моды и т.д. до max.
С другой стороны, энергия колебания каждой моды kq есть nħq
Если
Если 2
~ħq  возбуждается 1 квант (n = 1)
 возбуждаются 2 кванта (n = 2) …
 с  T увеличивается число возбужденных мод, одновременно с этим
увеличивается и число квантов в каждой моде.
Каждый квант энергии ħq называют фононом
11
ФОНОНЫ
При T = 0 фононы отсутствуют. С  T начинают возбуждаться сначала
низкочастотные фононы, затем все более и более высокочастотные.
Одновременно с этим увеличивается число фононов в каждой моде.
Заметим
min соответствуют  = 2L
Если размер кристалла 1 см  min ≈ 105Гц  T ≈ 10-6 K
1 мкм  T ≈ 10-2 K
 мала вероятность рождения фононов при низких T
 система в основном состоянии даже при T ≠ 0
Но, введенные таким способом фононы не квазичастицы, им нельзя
приписать импульс.
12
ФОНОНЫ
Бегущие волны
Нормальные колебания заменяются соответствующим набором бегущих
волн, удовлетворяющих циклическим граничным условиям.
Для одномерной решетки L из N одинаковых атомов на расстоянии a
max = L
Циклические граничные условия  отражения на границе нет
Набор длин волн:
Ему соответствует набор волновых чисел:
13
ФОНОНЫ
Теперь каждому значению модуля волнового вектора соответствует 2
бегущих волны (направленных противоположно)
− / ≤
≤ /
Общее число значений равно N
Использование бегущих волн позволяет более просто ввести понятие
фононов как квазичастиц (дуализм волн и частиц, квазичастица,
обладающая энергией и квазиимпульсом).
Для  >> a : длинноволновые волны распространяются со скоростью звука
(дискретность не проявляется) и скорость звука почти на зависит от 

;

14
ФОНОНЫ
Каждому кванту энергии ħq с волновым вектором kq удобно поставить в
соответствие фонон - квазичастицу
Eq = ħq - энергия
pq = ħkq - квазиимпульс
Скорость фонона определяется групповой скоростью распространения
колебаний
Кроме объемных могут быть и поверхностные фононы – волны Рэлея
15
АКУСТИЧЕСКИЕ ФОНОНЫ
Закон дисперсии акустических фононов
Рассмотрим цепочку атомов одного сорта массы m связанных попарно
L = Na
a – расстояние между атомами
β1 – коэффициент жесткости
ξn – смещение n-го атома из равновесия
В положении равновесия сила,
действующая на атом = 0
При смещении:
Уравнение движения n-го атома:
Ищем решение в виде:
Тогда
NB! Нет зависимости от n
16
АКУСТИЧЕСКИЕ ФОНОНЫ
Сверху частоты колебаний ограничены ωmax
При ω << ωmax – линейная зависимость от k
Это аналогично зависимости частоты
звуковых колебаний от волнового вектора
в струне
 Низкочастотные колебания – бегущая звуковая волна
где дискретная координата na заменяется непрерывной координатой x
 Фононы, соответствующие звуковым волнам – акустические фононы
17
АКУСТИЧЕСКИЕ ФОНОНЫ
Соотношение
– дисперсионное уравнение.
При ω ≈ωmax оно существенно нелинейно, это значит, что групповая
скорость распространения фононов
↓ и = 0 при
.
«-» соответствует волне в обратном направлении.
При
Vg = 0  бегущая волна превращается в стоячую , где
соседние атомы колеблются в противофазе.
Набор волновых векторов:
Каждому kq соответствует ωq которая лежит в интервале 0 ≤ωq ≤ωmax и
образует квазинепрерывный спектр:
в низкочастотной области – эквидистантный
при ω ≈ωmax расстояние между частотами  0
Область
- первая зона Бриллюэна, далее периодически
повторяется при сдвиге на
18
АКУСТИЧЕСКИЕ ФОНОНЫ
Закон дисперсии акустических фононов при учете 2-х соседей
К чему приводит более полный учет взаимодействий?
Учет взаимодействия n с n – 2, n – 1, n + 1, n + 2
Ищем решение уравнения
в виде
Т.о.
19
АКУСТИЧЕСКИЕ ФОНОНЫ
Для продольных колебаний
при учете 1-х и 2-х соседей
появляется максимум.
Тем больше, чем больше β2.
Для свинца β2≈ β1/2.
Для продольных более заметно.
Обе поперечные ветви
совпадают.
Вклады от 3-х и далее соседей,
обычно много меньше.
20
АКУСТИЧЕСКИЕ ФОНОНЫ
 Зависимость ω(k) для двух характерных
направлений в сечении зоны Бриллюэна
плоскостью kz = 0.
Различные сечения поверхности ω =
ω(k) плоскостью kz = 0 
Для малых k закон дисперсии линеен  фигуры
подобны (ω1). При ω  ωmax  искажения.
Искажения больше в направлении, где ω(k)
меняется быстро - [100]  кривая вытягивается
(ω2), а затем исчезает совсем (ω3)
21
АКУСТИЧЕСКИЕ ФОНОНЫ
ГЦК решетка
Семейство плоскостей
(на max расстоянии)
1-я зона Бриллюэна
2-я зона Бриллюэна
22
АКУСТИЧЕСКИЕ ФОНОНЫ
Спектральная плотность акустических фононов
Энергетический спектр АФ в реальных веществах очень сложен. Для его описания
необходимо знать детальное описание поверхностей постоянной частоты ω(k) = const в
ЗБ для всех ветвей.
Спектральная плотность:
- распределение числа фононов по частотам
Общее число состояний:
Число разрешенных состояний в ЗБ:
Спектральная плотность – аддитивная функция:
Для одноатомного кристалла проекции
kqx определяются из соотношений 
Число разрешенных состояний совпадает
с числом атомов = N; число акустических
волн 3N (продольная ветвь и 2 поперечные)
23
АКУСТИЧЕСКИЕ ФОНОНЫ
24
АКУСТИЧЕСКИЕ ФОНОНЫ
Объем между двумя поверхностями постоянной частоты:
Число фононов в слое:
Интегрирование ведется по поверхности , которая м.б. не замкнута и с разрывами.
25
АКУСТИЧЕСКИЕ ФОНОНЫ
В общем случае:
R – размерность (1, 2, 3)
Для 2D кристалла :
S - площадь
Для 1D кристалла:
L – длина цепи
В общем случае найти спектральную плотность сложно, но она важна для ряда
теоретических задач.
Рассмотрим простейшую модель, а потом внесем поправки.
26
АКУСТИЧЕСКИЕ ФОНОНЫ
Модель Дебая
Пусть кристалл изотропный без дисперсии
 ЗБ- сфера
 одно значение kпред и ωпред .
 Vзв не зависит от направления.
Это абстракция, не применимо даже к кубическим кристаллам, но позволяет
понять некоторые особенности спектральной плотности.
27
АКУСТИЧЕСКИЕ ФОНОНЫ
Из условия нормировки спектральной
плотности:
Площади под кривыми одинаковы.
28
АКУСТИЧЕСКИЕ ФОНОНЫ
В реальном кристалле ЗБ не сфера, а многогранник  несколько предельных
значений |k|  набор «треугольников» с разными значениями ωпред.
29
АКУСТИЧЕСКИЕ ФОНОНЫ
В общем случае – 2 ветви для поперечных волн.
30
АКУСТИЧЕСКИЕ ФОНОНЫ
Особенности Ван-Хова
Точный расчет дает острые изгибы D(ω) – это
особенности в критических точках ЗБ, где Vg = 0,
особенности Ван-Хова
• локальный максимум
• локальный минимум
• седловая точка – разрыв перемычки между
двумя поверхностями ω = const
• седловая точка – образование перемычки
между двумя поверхностямиω = const
31
АКУСТИЧЕСКИЕ ФОНОНЫ
Статистика акустических фононов
В решетке м.б. возбуждено одновременно неограниченное число фононов 
в каждом квантовом состоянии с E = ħ м.б. любое число фононов
 фононы подчиняются статистике Бозе.
Число возбужденных фононов определяется условием теплового равновесия
 минимум свободной энергии:
 химический потенциал μ = 0.
Рассмотрим моду фононного спектра с частотой q
Пусть соответствующая волна – квантовый осциллятор
q нумерует разрешенные состояния, которые возникают с ростом T.
32
АКУСТИЧЕСКИЕ ФОНОНЫ
Из распределения Гиббса , вероятность того, что при T осциллятор
с собственной частотой q находится в квантовом состоянии nq с
энергией Eqnq :
Нормировочная постоянная – из условия

Тогда
33
АКУСТИЧЕСКИЕ ФОНОНЫ
Среднее число фононов
Среднее число фононов с энергией ħq при температуре T
Обозначим
Тогда
и
34
АКУСТИЧЕСКИЕ ФОНОНЫ
Средняя энергия
Средняя энергия возбужденного осциллятора с частотой q при
температуре T
Отсюда получаем
- сумма энергии нулевых колебаний и средней тепловой энергии
возбужденных фононов с частотой q .
При
Напомним, число мод в каждой ветви = 3N. Для каждой ветви – своя пред,
||пред > пред . Число фононов в каждой моде не ограничено и
определяется только температурой.
35
АКУСТИЧЕСКИЕ ФОНОНЫ
Температура Дебая
Температурой Дебая TD называется некоторая характерная для каждого
вещества температура, при которой энергия тепловых колебаний решетки
становится сравнимой с энергией высокочастотных фононных мод.
TD – удобный параметр для определения многих характеристик тт
(теплоемкость, теплопроводность …), хотя не м.б. определена точно в
общем случае.
Однозначно ее можно ввести только для одномерной цепочки атомов:
пред ещё называют дебаевской частотой D
Для кристаллов
1) три ветви;
2) для каждой ветви нет одного значения пред 
 усреднение :
36
АКУСТИЧЕСКИЕ ФОНОНЫ
Для усреднения необходимо сделать предположения о законе дисперсии
Дебай: аппроксимируем каждую ветвь Di() зависимостями
считая, что Vi зв= const для каждой ветви.
Для реальных кристаллов это не так.
Но, для малых |k| (где закон дисперсии линейный), можно ее ввести как
Далее, считая, что Vi зв= const , находим из условия нормировки
И вычисляем
37
АКУСТИЧЕСКИЕ ФОНОНЫ
Среднюю температуру Дебая для кристалла можно ввести, аппроксимируя
D() параболой
Зная закон дисперсии, пред находим из условия нормировки:
где

, где
Т.о. TD – условный параметр, зависит от модели.
Физический смысл - TD условно разделяет шкалу температур на две области:
• При
≪ Ѳ в кристалле возбуждены только длинноволновые
колебания с энергией малой по сравнению с Ѳ
• При
≫ Ѳ в кристалле существуют все колебания, включая колебания
с предельно возможной частотой, энергия которых порядка Ѳ
38