Лекция2

Оптика твердого тела
и наноструктур
Тимошенко Виктор Юрьевич
Московский Государственный Университет
им. М. В. Ломоносова, Физический факультет
Кафедра ФНТиСП
Лекция 2. Взаимодействие света с
металлами и диэлектриками.
О с о бе н но с т и эле к т р о н но го спе к т р а м е т а л ло в,
полупроводников и диэлектриков. Поглощение и
отражение света в металлах. Модель Друде.
Плазменное отражение и поглощение света. Модель
Друде-Лоренца для диэлектриков. Уравнение
Клаузиуса-Моссоти. Поглощение света на колебаниях
решетки. Фононы. Соотношение Лиддейна-СаксаТеллера. Полоса остаточных лучей. Влияние граничных
условий на колебательный спектр наноструктур и
наночастиц. Поверхностные фононы.
Модельные представления об
электронных свойствах твердых тел
Энергия электрона
По своим электронным свойствам твердые тела подразделяются на
металлы, полупроводники и диэлектрики, что схематично можно
представить на упрощенной зонной схеме:
Mg
Металлы
Na
Полупроводники
Диэлектрики
EF
Eg
E g  3эВ
Вследствие взаимодействий с большим числом атомов в твердом теле
существуют не изолированные свободные электроны, а квазичастицы:
электроны проводимости (qe=- е = -1.6·10-19 Кл) и незаполненные
места в валентной зоне - дырки (qh= е = 1.6·10-19 Кл).
m  (0.1  2)mo
Эффективные массы электронов и дырок:
Колебаниям атомов в твердом теле соответствует квазичастицы – фононы.
*
Классическое описание оптических
свойств металлов: модель Друде
Концентрация электронов в металле ~ 10 23 см 3
В диэлектриках (Eg> 3 эВ) даже при температурах близких к плавлению
практически нет свободных носителей заряда, который, однако, могут
возникать при инжекции электрическим током, электронным пучком или при
оптическом возбуждении.
Несмотря на столь значительные различия в электронных свойствах
металлов и диэлектриков, для описании их оптических свойств допустимым
оказывается квазиклассический подход: рассматриваются носители
заряда с эффективными массами и некоторыми постоянными затухания.
При поглощении и отражении света
металлами основную роль играет
взаимодействие электрического поля
световой волны со свободными
электронами. Такое взаимодействие
может быть описано классической
моделью Друде:
mx 
m

x  eE0 x exp( it )
x

E
e, m

V
z
Модель Друде и оптические параметры
однородной проводящей среды
e 2N e E x
Поляризация единицы
объема среды :
Px   N e ex  
Материальное уравнение
(система единиц СИ):
 


~
D  E 0  P   0 E
Комплексная диэлектрическая
проницаемость:
2

P
p
~     i   1  x  1  2
0Ex
  i 1
Плазменная частота:
   1
 2p
 
2
e
 2p 
Ne
m 0
2
2

n


2
Комплексный показатель
преломления:
2
n~  n  i
m 2  im 1
  
 2p 1
 (  
2
2
)
Коэффициент
поглощения света:
 2n
2

c
Модель Друде и спектральные
зависимости оптических характеристик
1
8
 

0.5
6
n

4
0
2
0
p

p

Для частот меньше плазменной частоты действительная часть
диэлектрической проницаемости становиться меньше 0, а мнимая часть
резко возрастает.
Это вызывает рост показателя поглощения, который превышает значние
показателя преломления.
Модель Друде и спектральные
зависимости поглощения и отражения

N e  1023 см  3
R
 p  5.7  1015 c 1
100
1
10
p 
1
0.1
~
0.01
2c
p
 330н м.
1
2
 /p
0.001
0.01
0.1
1
10
100
.
 /p
0.01
0.1
10
1
100
для частот
   1
p
2
 
1


 2
 2  2
c
cn
 cn 
  0
n  
2
R

  p
(n  1) 2   2
(n  1)  
2
2

2

2
1
 / p
Модель Друде-Лоренца и оптические
свойства диэлектриков
eE
x   1 x  02 x   0 x exp( it )
m
~     i   1 
10
P  N м p м   N м ex0  
P
e2 N м
 1
 0 E0 x
m 0 [(02   2 )  i 1 ]
e2 N м E0 x / m
 2  02  i 1
n~  ~
 
(   1)

n
5
3
0
2
n0
1
-5
  0
1

0
Значение показателя
преломления в области
прозрачности:
0
1

0
n ( / 0 0)  1 
2
N мe2
2

n
0
2
m0
Локальное поле.
Уравнение Клаузиуса-Моссоти.



P
E лок  E 
3 0

E

E лок R
P   0 E (~  1)
~
P   0 N м E лок   0 N м E
E лок  E (1 
~  2
3
 – поляризуемость молекулы
У равнение Клаузиуса-Моссоти:
~  1 N м e 2
1

 2
~  2 3m 0 0   2  i 1
~  1
3
)E
~  2
3
N м- концентрация молекул
~  1 1
 N м
~
 2 3
В условиях резонанса
поляризуемость молекул среды
резко возрастает, что приводит
вследствие фактора локального 
~  2
поля к значениям
Поглощение света на колебаниях решетки.
Фононы.
Фонон - квант колебаний кристаллической решетки.
акустические
оптические
Кристалл, содержащий s-атомов в
элементарной ячейке, имеет 3s колебательных
мод, из которых 3 моды – акустические и (3s-3)
– оптические. Акустические колебания
соответствуют смещению атомов в
элементарной ячейке как единого целого,
тогда как при оптических колебаниях
происходит относительное смещение атомов
в элементарной ячейке, как схематично
показано для случая s=2.
Для твердых тел с решеткой типа алмаза
(Si, Ge, GaAs,…) элементарная ячейка
содержит s=2 атома, поэтому для них
характерны следующие типы фононов: 1
продольный акустический (LA) и 2
поперечных (вырожденных) акустических
(TA), а также 1 продольный оптический
(LО) и 2 поперечных (вырожденных)
оптических (TО).

LO
TO
LA
TA
0
/a
Модель Друде-Лоренца для взаимодействия
света с колебаниями решетки
Уравнения движения для ТО-фононной моды
можно записать в виде: .
1
m11  c(2  1 )  qE
 
m22  c(2  1 )  qE
   2  1
 
c

 
     
2
TO

E

+q
–q
  1 /(m11  m2 1 )
qE

2
TO

qE

c

m1


m2
2
E  E0 exp( it )
   0 exp( it )
0 
qE0
1
2
  2  TO
При учете затухания, очевидно, получим:
Поляризация среды,
обусловленная колебаниями
решетки, содержащей N
элементарных ячеек в единице
объема:
0 
qE0
1
2
  2  TO
 i
2
q
NE
1
P реш  Nq 0 
2
  2  TO
 i
Диэлектрическая функция при взаимодействия
света с колебаниями решетки с учетом
электронной поляризуемости
P
~
 1
P
0E
реш
2
2





TO
LO
~
 ( )   () 1  2
,

2
   TO  i 
эл
Решение ищем в виде:
~( )  A 
 ()  A
соотношение Лиддейна-Сакса-Теллера:
B
    i
2
2
TO
 (0)  A 
2
2  (0)
LO  TO
 ( )
B
2
TO
Вследствие инерционности поляризуемости среды статическая
диэлектрическая проницаемость всегда больше высокочастотной
(оптической) диэлектрической проницаемости, т.е. :
 (0)
1
 ( )
LO  TO
Соотношение Лиддейна-Сакса-Теллера связано с тем, что модуль Юнга (деформация
растяжения-сжатия) всегда больше модуля сдвига.
Спектр диэлектрической функции и
оптических характеристик при
взаимодействия света с колебаниями решетки
В случае малого затухания ( <<1) :
2
2
2 
 TO
 2  LO
 LO
 ( )   () 1  2
  ( ) 2
2 
2
  TO 
  TO

LO    TO :  < 0 , n~    i   i
Свет не распространяется
в такой среде, а затухает
на длинах порядка
Коэффициент
отражения
стремится к 1:
R

1

c
2
(n  1) 2   2
(n  1)  
2
2



R
2 
1
1
2
 
0
c
1 2


 1.
Это полоса остаточных лучей :
TO
LO    TO
LO

Влияние границ нанокристаллов на их
колебательный спектр. Поверхностные фононы
Intensity, a.u.
16000
por-GaP in glycerol
por-GaP in ethanol
por-GaP in air
por-GaP in water
-1
LO=403cm
-1
TO=365cm
s=398
ωs
air
s=395
ethanol
8000
s=394
glycerol
εm
0
360
390
Raman shift, cm
420
-1
Частота поверхностного фонона ωs зависит от
диэлектрической проницаемости окружающей среды
εm и лежит между ωТО и ωLО .
ε(0) и ε() - низкочастотная и высокочастотная
диэлектрические проницаемости вещества
нанокристаллов, L - форм-фактор (фактор
деполяризации), который равен 1/3 для сферы, а
для эллипсоида лежит в диапазоне 0 > L > 1.
S2
 (0)   m 1 / L  1

2
TO  ()   m 1 / L  1
Итоги Лекции 2:
• Диэлектрические функции и оптические характеристики
металлов и диэлектриков могут быть рассмотрены в
рамках классического подхода. Вблизи резонансных
частот их хорошо описывает модель Друде-Лоренца.
• Более точное выражение для диэлектрической функции
диэлектриков получается с учетом фактора локального
поля, что описывается уравнением Клаузиуса-Моссоти.
• Взаимодействие света с колебаниями решетки может
быть описано моделью Друде-Лоренца с учетом вклада
электронной поляризуемости и соотношения ЛиддейнаСакса-Теллера.
• Полоса частот в области между поперечными и
продольными частотами соответствует полному
отражению света от полярного диэлектрика и называется
полосой остаточных лучей.
• Частота поверхностных фононов в нанокристаллах
полярных диэлектриков лежит между частотами
продольных и поперечных оптических фононов.
Контрольные вопросы к
Лекции 2
• В чем сходство и различие моделей
взаимодействия света с веществом Друде и
Друде-Лоренца?
• Что такое «плазменное отражение»
• Что такое «полоса остаточных лучей»
• В чем физический смысл соотношения
Лиддейна-Сакса-Теллера?
• Что описывает уравнение КлаузиусаМоссоти?
• От чего зависит частота поверхностных
фононов?