Цифровая обработка сигналов и изображений

Цифровая обработка
сигналов и изображений
Дискретное преобразование Фурье
и его свойства
Ортогональность сигналов
Множество непрерывных функций действительного переменного
{Un(t)} = {U0(t), U1(t), …} называется ортогональным на интервале
[t0; t0+T], если
t 0 T
c, m  n,
t U m (t )U n (t )dt 0, m  n.
0
При c = 1 множество {Un(t)} называется ортонормированным.
Для вычисления сигнала через коэффициенты разложения используется:

x(t )   anU n (t ).
n 0
Ортогональность сигналов
Коэффициенты разложения an из указанного соотношения можно определить, если
умножить обе его части на Un(t) и проинтегрировать в интервале [t0; t0+T]:
t 0 T


x(t )U m (t )   an
n 0
t0
В силу условий ортогональности получим
1
an 
C
t 0 T
 x(t )U
t0
n
(t )dt
t 0 T
U
t0
n
(t )U m (t )dt
Теорема Парсеваля
Для доказательства теоремы Парсеваля возведем обе части соотношения в квадрат:



x(t )  U n (t ) a   a p aqU p (t )U q (t ).
2
2
n 0
2
n
p 0 q 0
Проинтегрируем обе части:

 
1
2
2 1
2
x(t )   an  U n (t ) dt   a p aq  U p (t )U q (t )dt.

TT
TT
n 0
p 0 q 0
T
По условию ортогональности:
1
C  2
2
x(t ) dt   an .

TT
T n 0
Ряд Фурье. Разложение в ряд Фурье
Впервые в 1807 году французский математик и физик Жан Батист
Жозеф Фурье показал, что любую произвольную функцию x(t ) можно
представить в виде бесконечной суммы синусных и косинусных членов:


n 1
n 1
x(t )  a0   an cos n0t   bn sin n0t
где 0 (рад/с) – основная угловая частота, которая связана с
периодом T функции соотношением n0 . Частоты T  2 0
называют гармониками, так как они кратны основной частоте.
В данном случае речь идет о системе ортогональных функций вида
1, cos n0t , sin n0t
a0 
1
x(t )dt ;

TT
an 
2
x(t ) cos notdt;

TT
bn 
2
x(t ) sin notdt

TT
Ряд Фурье
Коэффициенты {a0, an, bn} можно вычислить с учетом ортогональности множества
функций {cos n0t, sin n0t} на периоде T:
T 2 , m  n,
T cos n0t cos m0tdt  0, m  n;
(1)
 cos n0t sin m0tdt  0, m, n;
(2)
T
T 2 , m  n,
T sin n0t sin m0tdt  0, m  n.
(3)
С учетом этих соотношений получаем:
a0 
1
x(t )dt ;
T T
(4)
an 
2
x(t ) cos n0tdt;

TT
(5)
bn 
2
x(t ) sin n0tdt.
T T
(6)
Сумма синусов и косинусов
=
3 sin(x)
A
+ 1 sin(3x)
B
+ 0.8 sin(5x)
C
+ 0.4 sin(7x)
D
A+B
A+B+C
A+B+C+D
Семейство преобразований Фурье
9
t
t
Cигнал непрерывный и апериодический
Cигнал непрерывный и периодический
N=8
t
Отсчет N-1
Отсчет 0
Cигнал дискретный и апериодический
Cигнал дискретный и периодический
t
Прямое и обратное непрерывное
преобразование Фурье
x(t) – исходная функция времени

Прямое преобразование Фурье
x( j )   x(t )e jt dt
0
(отображение исходной функции времени в спектральную
область)
1
x
(
t
)

Обратное преобразование Фурье
2
(восстановление функции по её спектру)

jt
x
(
j

)
e
d

0
Основная идея дискретного преобразования Фурье
1 N 1
C x (k ) 
X (m)W k m

N m 0
N 1
X (m)   C x (k )W km
k 0
k  0, N  1
 i 2 / N
i  1 W  e
Обозначения:
X(m) – значение сигнала в момент времени n;
C x (k ) – значение спектра сигнала в точке 2πk;
N – количество отсчетов;
Дискретное преобразование Фурье
Таким образом, если {X(m)} означает последовательность X(m) конечных
действительных или комплексных чисел, где m = 0, ..., N-1, то дискретное
преобразование Фурье этой последовательности определяется как
1
C x (k ) 
N
N 1
 X (m)W
km
, где k = 0, …, N-1, W=e-i2π/N
m 0
N 1
X (m)   C x (k )W  km .
k 0
Функции W km являются N-периодическими, т.е. Wkm=W(k+N)m=Wk(m+N). Следовательно,
последовательности {Cx(k)}, {X(m)} также являются N-периодическими, т.е.
X ( m)  X ( SN  m);
C x ( k )  C x ( SN  k ).
Основные свойства ДПФ
 Теорема линейности
 Теорема комплексной сопряженности
 Теорема сдвига
 Теорема свертки
 Теорема корреляции
Основные свойства ДПФ
 Теорема линейности: ДПФ является линейным, т.е. если
X (m)  Cx (k )
Y ( m)  C y ( k )
Z (m)  aX (m)  bY (m)
то
C z (k )  aC x (k )  bC y (k )
 Теорема комплексной сопряженности: если
X (m)  X (0), X (1),..., X ( N 1)
- такая последовательность
действительных чисел, что N/2 – целое число и X (m)  Cx (k ) , то
Cx (
N
N
 l )  C x (  l ), l  0, N / 2
2
2
 Теорема сдвига: если Z (m)  Cz (k )
то C (k )  W  kh C (k )
W  e  i 2 / N
z
x
и
Z (m)  X (m  h) , h  0, N  1,
Основные свойства ДПФ. Теорема свертки
Если X (m) и Y (m) - последовательность действительных
Y (m)  C y (k ) , X (m)  Cx (k ) , а свертка этих
чисел, при которых
последовательностей определяются как
1
Z ( m) 
N
N 1
 X (h)Y (m  h), m  0,1,..., N  1
h 0
то C z (k )  C x (k )C y (k )
Суть:
свертка временных последовательностей эквивалентна
умножению их коэффициентов ДПФ
Основные свойства ДПФ. Теорема корреляции
Если X (m) и Y (m) - последовательность действительных
Y (m)  C y (k ) , а корреляция
чисел, при которых
X (m)  Cx (k ),
этих последовательностей определяются как

1
(
m
)

Z
N
то
N 1
 X (h)Y (m  h), m  0,1,..., N  1
h 0
C  (k )  C x (k )C y (k )
Z
Теорема Парсеваля
Под теоремой Парсеваля обычно понимают унитарность преобразования Фурье. То
есть сумма (или интеграл) квадрата функции равна сумме (или интегралу) квадрата
результата преобразования



x(t ) dt 
2


2
F{x(t )} dt ,

где F{*} обозначает непрерывное преобразование Фурье, которое связывает временной
или пространственный сигнал x(t) с его представлением в частотной области X(f).
В дискретном виде теорему записывают следующим образом:
N 1

i 0
1
x(i ) 
N
2
N 1
 X (k )
2
,
k 0
где X(k) представляет собой дискретное преобразование Фурье сигнала x(i), имеющего
N отсчетов.