Математика: Алгебра и теория чисел

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И КОМПЬЮТЕРНЫХ НАУК
КАФЕДРА АЛГЕБРЫ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ
М. Л. ПЛАТОНОВ
«МАТЕМАТИКА: АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ»
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА ДЛЯ СТУДЕНТОВ СПЕЦИАЛЬНОСТИ
010503.65
«Математическое обеспечение и администрирование информационных систем»
Тюмень
2009
Платонов М. Л. «Математика: Алгебра и теория чисел».
Учебно-методический комплекс. Рабочая учебная программа учебной дисциплины «Математика:
Алгебра и теория чисел» для специальности 010503.65 «Математическое обеспечение и администрирование
информационных систем». Тюмень: Издательство Тюменского государственного университета, 2009, 45 с.
Учебно-методический комплекс, рабочая учебная программа «Математика: Алгебра и теория чисел»
составлена в соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта высшего
профессионального образования для студентов специальности 010503.65 «Математическое обеспечение и
администрирование информационных систем».
Учебно-методический комплекс, рабочая программа учебной дисциплины «Математика: Алгебра и
теория чисел» для специальности 010503.65 “Математическое обеспечение и администрирование
информационных систем” включает в себя:
1. Организационно-методический раздел
1.1.
Извлечение из государственного образовательного стандарта
1.2.
Цели и задачи изучения дисциплины
1.3.
Объем аудиторной нагрузки
2. Тематический план изучения дисциплины
3. Содержание дисциплины
4. Перечень тем практических занятий
5. Перечень вопросов и заданий для самостоятельной работы
6. Контрольные вопросы к зачетам и экзаменам
7. Список основной и дополнительной литературы
8. Система балловых оценок по дисциплине
Рабочая программа учебной дисциплины «Математика: Алгебра и теория чисел» содержит
тематический план изучения дисциплины по модулям, балловую систему оценки по модулям.
Рабочая программа учебной дисциплины «Математика: Алгебра и теория чисел» рекомендована к
электронному изданию кафедрой алгебры и математической логики и опубликована на сайте ТюмГУ:
http://www.umk.utmn.ru.
Рабочая программа учебной дисциплины «Математика: Алгебра и теория чисел» согласована с Учебнометодической комиссией Института математики и компьютерных наук.
Рабочая программа учебной дисциплины «Математика: Алгебра и теория чисел» одобрена Учебнометодической секцией Ученого Совета ТюмГУ.
Рабочая программа учебной дисциплины «Математика: Алгебра и теория чисел» утверждена
проректором по учебной работе ТюмГУ.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: В. Н. Кутрунов, д.ф.-м.н., профессор
© Тюменский государственный университет
© Институт математики и компьютерных наук
© Кафедра алгебры и математической логики
© Платонов М.Л.
© 2009
© Тюменский государственный университет
© Институт математики и компьютерных наук
© Кафедра алгебры и математической логики
© Платонов М. Л.
© 2009
Рабочая программа “Алгебра и теория чисел” для специальности 010503.65 “Математическое обеспечение и администрирование информационных систем”
1.
Организационно-методический раздел.
1.1.
Извлечение из государственного образовательного стандарта высшего
профессионального образования по специальности
010503.65
“Математическое обеспечение и администрирование информационных
систем”.
ТРЕБОВАНИЯ К ОБЯЗАТЕЛЬНОМУ МИНИМУМУ СОДЕРЖАНИЯ ОСНОВНОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ
ПОДГОТОВКИ МАТЕМАТИКА-ПРОГРАММИСТА ПО СПЕЦИАЛЬНОСТИ 010503.65 «МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
И АДМИНИСТРИРОВАНИЕ ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ»
Индекс
Наименование дисциплин и их основные разделы
ЕН
ГСЭ.Ф.00
ЕН.Ф.01
ЕН.Ф.01.01
Всего
часов
Общие математические и естественнонаучные дисциплины
Федеральный компонент
МАТЕМАТИКА
Алгебра и теория чисел: целые и комплексные числа; многочлены над
139
произвольным полем, вычисление корней многочлена, алгебраические
уравнения; определители; общая теория систем линейных уравнений;
действия над матрицами; квадратичные формы; дробно-рациональные
функции; основы теории групп; векторные пространства; линейные
отображения и операторы; евклидовы и унитарные пространства;
алгебры.
1.2.
Цели и задачи изучения дисциплины, её место в учебном процессе.
Требования к уровню освоения содержания дисциплины.
Дисциплина «Математика: Алгебра и теория чисел» входит в цикл общих
математических и естественнонаучных дисциплин в системе подготовки математикапрограммиста по специальности 010503.65 «Математическое обеспечение и
администрирование информационных систем».
Предметом изучения дисциплины являются основные понятия и методы алгебры и
теории чисел.
Работа над материалом учебной дисциплины «Математика: Алгебра и теория чисел»
позволяет реализовать следующие цели и задачи:
1.2.1. Цели преподавания дисциплины.
Цели преподавания учебной дисциплины «Математика: Алгебра и теория чисел»
можно сформулировать следующим образом:


Обеспечение базовой математической подготовки специалистов в соответствии с
требованиями государственного образовательного стандарта высшего профессионального
образования и учебному плану по направлению 0105030.65 «Математическое обеспечение
и администрирование информационных систем».
Обучение студентов фундаментальным понятиям и основным методам общей и линейной
алгебры, теории чисел;
© Тюменский государственный университет
© Институт математики и компьютерных наук
© Кафедра алгебры и математической логики
© Платонов М. Л.
© 2009
Рабочая программа “Алгебра и теория чисел” для специальности 010503.65 “Математическое обеспечение и администрирование информационных систем”




1.2.2.
Формирование теоретических знаний и практических навыков решения задач,
необходимых в дальнейшей учебной и последующей профессиональной деятельности;
Формирование и развитие логического и аналитического мышления, опыта творческой и
исследовательской деятельности, необходимого для решения научных задач
теоретического и прикладного характера;
Повышение интеллектуального уровня;
Формирование научного мировоззрения, математического мышления, представлений о
значимости математики как части современной человеческой культуры, в развитии
цивилизации, о математике как форме описания и методе познания действительности.
Задачи изучения дисциплины
Основными задачами изучения дисциплины являются:






1.2.3.
Изучить материал учебной дисциплины;
Усвоить основные понятия и методы, изучаемые в процессе освоения материала учебной
дисциплины;
Приобрести навыки самостоятельного решения теоретических и практических задач
различного уровня сложности;
Выработать умение проводить анализ полученных в процессе решения фактов и
результатов;
Освоить средства приобретения, накопления и преобразование знаний, широкому их
использованию в практической и будущей профессиональной деятельности.
Обобщить и систематизировать полученные знания, умения и навыки;
Требования к уровню освоения содержания дисциплины
В результате освоения материала учебной дисциплины «Математика: Алгебра и
теория чисел» студент должен
знать:



сущность основных понятий и результатов, изучаемых в дисциплине;
основные формулировки понятий и результатов, изучаемых в дисциплине;
основные методы решения задач алгебры и теории чисел.
уметь:


самостоятельно использовать теоретические и практические знания для решения задач
различного уровня сложности и характера, как в рамках изучаемой дисциплины, так и в
других дисциплинах, использующих материалы данного курс;
анализировать полученные результаты.
владеть:





символикой изучаемой дисциплины;
терминологией изучаемой дисциплины;
навыками построения математических моделей и умения произвести соответствующие
численные расчеты;
навыками применения понятий и методов дисциплины для решения различных задач,
используемых в дальнейшей учебной и профессиональной деятельности;
навыками научного творчества.
© Тюменский государственный университет
© Институт математики и компьютерных наук
© Кафедра алгебры и математической логики
© Платонов М. Л.
© 2009
Рабочая программа “Алгебра и теория чисел” для специальности 010503.65 “Математическое обеспечение и администрирование информационных систем”
Дисциплина «Математика: Алгебра и теория чисел» входит в цикл общих математических и
естественнонаучных дисциплин в системе подготовки по специальности 0105030.65
«Математическое обеспечение и администрирование информационных систем».
Программа учебной дисциплины «Математика: Алгебра и теория чисел» составлена в соответствии с
государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования и
учебным планом.
Материал дисциплины «Математика: Алгебра и теория чисел» является основным материалом для
изучения и непосредственно связан с материалами других математических, профессиональных и
специальных дисциплин, использующихся при подготовке по специальности «Математическое
обеспечение и администрирование информационных систем».
Знания, умения и навыки, полученные студентами в результате усвоения материала учебной
дисциплины, могут быть использованы во всех видах деятельности в соответствии с
Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования.
Объем аудиторной нагрузки, необходимый для усвоения основного материала дисциплины, в
первом семестре составляет 36 часов лекционных занятий и 36 часов практических занятий.
Методика преподавания основывается на сочетании лекционных занятий с практическими
занятиями. Количество времени, отводимое для самостоятельной и индивидуальной работы
студента на освоение материала дисциплины, составляет 67 часов.
Форма контроля знаний, умений и навыков в течение семестра осуществляется в форме
индивидуальных тестовых и контрольных заданий теоретического и практического характера
различных уровней сложности.
Форма итогового контроля освоения и усвоения содержания учебной дисциплины осуществляется в
виде экзаменационного испытания.
© Тюменский государственный университет
© Институт математики и компьютерных наук
© Кафедра алгебры и математической логики
© Платонов М. Л.
© 2009
Рабочая программа “Алгебра и теория чисел” для специальности 010503.65 “Математическое обеспечение и администрирование информационных систем”
1.3.
Объём аудиторной нагрузки
Виды занятий
Всего (часов)
Семестр
Общая трудоемкость
139
1
Аудиторные занятия
72
1
Лекции
36
1
Практические занятия
36
1
Самостоятельная и индивидуальная работа
67
1
Вид промежуточного контроля
тест, к/р
1
Вид итогового контроля
экзамен
1
1.
Элементы общей алгебры (основные алгебраические структуры)
3
3
5
2.
Матрицы
2
2
2
3.
Детерминанты
2
2
2
4.
Системы линейных уравнений
3
3
5
5.
Поле комплексных чисел
2
2
5
Форма контроля
Самостоятельная
(индивидуальная)
работа студента (часов)
Наименование темы
Лекционные
(часов)
№ темы
Практические занятия
(часов)
Тематический план изучения дисциплины
занятия
2.
К/р
К/р
К/р
6.
Кольцо многочленов
3
3
5
7.
Линейные пространства
2
2
5
8.
Линейные отображения и преобразования линейных пространств
3
3
5
9.
Евклидовы и унитарные пространства
2
2
5
10.
Линейные преобразования евклидовых и унитарных пространств
3
3
5
11.
Функции на линейных пространствах
3
3
5
12.
Аффинные и точечные пространства
3
3
5
13.
Преобразования аффинных пространств
3
3
5
14.
Элементы теории чисел
2
2
8
Итого (часов)
36
36
67
© Тюменский государственный университет
© Институт математики и компьютерных наук
© Кафедра алгебры и математической логики
© Платонов М. Л.
© 2009
Рабочая программа “Алгебра и теория чисел” для специальности 010503.65 “Математическое обеспечение и администрирование информационных систем”
3.
Содержание дисциплины.
ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР
АЛГЕБРА
3.1.
Тема №1. Элементы общей алгебры (основные алгебраические
структуры).
3.1.1.
Множества и предикаты.
3.1.1.1.
3.1.1.2.
3.1.1.3.
3.1.2.
Отображения.
3.1.2.1.
3.1.3.
3.1.3.2.
3.1.3.3.
3.1.3.4.
3.1.3.5.
3.1.3.6.
3.1.3.7.
3.1.3.8.
3.1.3.9.
3.2.1.
Отображения. Образ и прообраз отображения. Основные виды отображений:
инъективные, сюръективные, биективные. Композиция отображений. Обратное
отображение. Критерий обратимости отображения. Свойства обратимых отображений.
Основные алгебраические структуры.
3.1.3.1.
3.2.
Множество. Элемент множества. Пустое множество. Принадлежность к множеству.
Подмножество. Равенство множеств. Основные операции над множествами:
пересечение, объединение, разность, дополнение. Основные свойства операций над
множествами.
Декартово произведение множеств. Декартова степень множества. Предикаты.
Тождественно истинные и тождественно ложные предикаты. Характеристический
предикат. Бинарные и n-арные отношения. Основные свойства бинарных отношений:
рефлективность, транзитивность, симметричность, антисимметричность. Основные
виды бинарных отношений.
Отношение эквивалентности. Класс эквивалентности. Теорема о классах
эквивалентности. Фактор-множество.
Алгебры. Алгебраическая операция (внутренний закон композиции). Основные
свойства алгебраических операций. Обратные операции.
Группоид. Полугруппа. Моноид. Правый и левый нулевой элемент. Правый и левый
нейтральный элемент. Правый и левый обратный элемент. Группа. Аддитивные и
мультипликативные группы. Коммутативные группы. Существование и единственность
нулевого элемента в группе. Существование и единственность нейтрального элемента в
группе. Существование и единственность обратного элемента в группе. Критерии
группы.
Алгебра Буля.
Подгруппа. Критерий подгруппы. Смежные классы. Критерий равенства смежных
классов.
Конечные группы. Теорема Лагранжа.
Циклические группы. Модулярная арифметика. Группа вычетов. Сравнения по
натуральному модулю. Признаки делимости. Системы вычетов. Полная система
вычетов. Приведенная система вычетов. Кольца вычетов по целому и простому
модулю. Поле вычетов по простому модулю. Сравнение с одним неизвестным.
Эквивалентные сравнения. Количество решений. Линейные сравнения. Критерий
разрешимости. Количество решений. Конечные и бесконечные группы. Группа
обратимых элементов в кольце вычетов. Индексы: определения и свойства.
Нормальный делитель. Фактор-группа. Гомоморфизмы и изоморфизмы групп. Свойства
гомоморфизмов и изоморфизмов групп. Ядро и образ гомоморфизма.
Кольца и тела. Свойства колец и тел. Делители нуля. Кольцо вычетов.
Поля. Свойства полей. Характеристика поля. Поле вычетов. Расширения полей.
Тема №2. Матрицы.
Матрицы.
3.2.1.1.
© Тюменский государственный университет
© Институт математики и компьютерных наук
© Кафедра алгебры и математической логики
© Платонов М. Л.
© 2009
Матрица. Квадратная матрица. Диагональная матрица. Единичная матрица. Нулевая
матрица. Вектор-строка. Вектор-столбец. Клеточные и клеточно-диагональные
матрицы. Равенство матриц.
Рабочая программа “Алгебра и теория чисел” для специальности 010503.65 “Математическое обеспечение и администрирование информационных систем”
3.2.1.2.
3.2.1.3.
3.2.1.4.
3.3.
3.3.1.
Тема №3. Детерминанты.
Детерминанты.
3.3.1.1.
3.3.1.2.
3.3.1.3.
3.3.1.4.
3.4.
3.4.1.
Перестановки и подстановки. Инверсии. Правильные произведения элементов
матрицы. Определитель квадратной матрицы порядка n. Определители 2-ого и 3-его
порядков. Миноры и алгебраические дополнения. Теорема Лапласа. Следствия из
теоремы Лапласа. Разложение определителя по теореме Лапласа. Свойства
определителей. Теоремы об определителях суммы и произведения матриц.
Вырожденные и невырожденные матрицы.
След квадратной матрицы и его свойства.
Обратная матрица. Теорема о существовании обратной матрицы. Выражение элементов
обратной матрицы через алгебраические дополнения элементов исходной матрицы.
Свойства обратной матрицы. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных
преобразований. Матричные уравнения.
Тема №4. Системы линейных уравнений.
Общие сведения.
3.4.1.1.
3.4.1.2.
3.4.1.3.
3.4.1.4.
3.5.
Основные операции над матрицами: сложение матриц, умножение матрицы на число,
произведение матриц, транспонирование, возведение в целую неотрицательную
степень. Основные свойства операций над матрицами.
Линейная комбинация строк или столбцов матрицы. Элементарные преобразования
матриц. Матрицы элементарных преобразований.
Ранг матрицы по строкам или столбцам. Минорный ранг матрицы. Свойства ранга
матрицы. Теорема о ранге матрицы. Связь минорного ранга матрицы с линейной
независимостью или линейной зависимостью строк (столбцов) матрицы.
Инвариантность ранга матрицы относительно ее элементарных преобразований.
Вычисление ранга. Эквивалентные матрицы.
Понятие системы линейных уравнений. Решение системы линейных уравнений.
Однородные и неоднородные системы линейных уравнений. Элементарные
преобразования системы линейных уравнений. Эквивалентные системы линейных
уравнений. Совместные и несовместные системы линейных уравнений. Определенные
и неопределенные системы линейных уравнений. Основная и расширенная матрица
системы линейных уравнений. Теорема Кронекера–Капелли. Критерий определенности
системы линейных уравнений.
Система линейных уравнений с квадратной невырожденной основной матрицей.
Теорема Крамера.
Исследование и решение системы линейных уравнений методом Гаусса. Общее
решение системы линейных уравнений. Частные решения системы линейных
уравнений.
Однородные системы линейных уравнений. Нетривиальные (ненулевые) решения
однородной системы линейных уравнений. Свойства нетривиальных решений
однородной системы линейных уравнений. Фундаментальные решения системы
линейных уравнений. Система фундаментальных решений однородной системы
линейных уравнений. Теорема о фундаментальных решениях однородной системы
линейных уравнений. Линейное подпространство решений однородной системы
линейных уравнений. Теорема о связи решений неоднородной и соответствующей
однородной систем линейных уравнений. Линейное многообразие решений
неоднородной системы линейных уравнений.
Тема №5. Поле комплексных чисел.
3.5.1.1.
3.5.1.2.
3.5.1.3.
© Тюменский государственный университет
© Институт математики и компьютерных наук
© Кафедра алгебры и математической логики
© Платонов М. Л.
© 2009
Комплексное число как упорядоченная пара действительных чисел. Сложение и
умножение упорядоченных пар действительных чисел. Единичная и нулевая
упорядоченная пара действительных чисел. Равенство упорядоченных пар
действительных чисел. Противоположная и обратная упорядоченная пара
действительных чисел. Мнимая единица.
Алгебраическая форма комплексного числа. Сложение, произведение и деление
комплексных чисел в алгебраической форме. Сопряженные комплексные числа.
Обратное комплексное число в алгебраической форме.
Модуль комплексного числа. Комплексная плоскость. Тригонометрическая форма
комплексного числа. Аргумент комплексного числа и формулы нахождения аргумента
Рабочая программа “Алгебра и теория чисел” для специальности 010503.65 “Математическое обеспечение и администрирование информационных систем”
комплексного числа. Умножение, деление и комплексных чисел в тригонометрической
форме. Формула Муавра. Извлечение корней из комплексного числа в
тригонометрической форме. Корни из единицы.
3.6.
Тема №6. Кольцо многочленов.
3.6.1.1.
3.6.1.2.
3.6.1.3.
3.6.1.4.
3.6.1.5.
3.6.1.6.
3.6.1.7.
3.6.1.8.
3.6.1.9.
3.6.1.10.
3.7.
3.7.1.
Тема №7. Линейные пространства.
Определение линейного пространства.
3.7.1.1.
3.7.1.2.
3.7.1.3.
3.7.1.4.
3.7.1.5.
3.7.1.6.
3.7.1.7.
3.7.1.8.
3.8.
3.8.1.
3.8.2.
3.8.3.
3.8.4.
3.8.5.
3.9.
3.9.1.
3.9.2.
Операции над полиномами. Полиномы от одного неизвестного над полями
действительных и комплексных чисел. Степень полинома. Равенство полиномов.
Сложение и произведение полиномов. Степень суммы и произведения полиномов и ее
свойства. Свойства сложения и произведения полиномов. Единичный и нулевой
полиномы.
Деление полиномов с остатком. Теорема о делении многочлена на многочлен с
остатком.
Делители полиномов. Основные свойства делимости полиномов. Наибольший общий
делитель двух полиномов. Алгоритм Евклида. Взаимно простые полиномы. Теорема о
наибольшем общем делителе многочленов. Следствие о взаимно простых полиномах.
Теоремы о взаимно простых полиномах. Теорема о наибольшем общем делителе
конечной совокупности полиномов.
Корни полиномов. Теорема Безу. Следствие из теоремы Безу. Схема Горнера. Кратные
корни. Теорема о кратных корнях.
Основная теорема. Следствия из основной теоремы. Формулы Виета.
Интерполяционная
формула
Лагранжа.
Полиномы
с
действительными
коэффициентами.
Рациональные дроби. Теорема о разложении рациональных дробей. Теорема о
разложении правильных рациональных дробей на простейшие дроби.
Алгебра полиномов над произвольным полем. Кольцо полиномов от одного
неизвестного. Разложение полиномов на неприводимые множители. Свойства
неприводимых полиномов. Кратные множители. Выделение кратных множителей.
Теорема существования корня. Кратные корни. Поле рациональных дробей.
Полиномы от нескольких неизвестных.
Приводимость многочленов над полем рациональных чисел. Лемма Гаусса о
примитивных полиномах. Критерий Эйзенштейна. Рациональные корни целочисленных
полиномов.
Алгебраические уравнения. Уравнения 2, 3 и 4 степеней. Границы корней. Теорема
Штурма. Другие теоремы о действительных корнях. Приближенные вычисления корней.
Определение линейного пространства. Примеры. Свойства линейных пространств.
Размерность. Базис. Координаты.
Теорема об изоморфизме между любыми двумя линейными пространствами одной и
той же размерности.
Подпространства линейного пространства.
Алгебраическая (в частности, прямая) сумма подпространств.
Теорема о ранге матрицы.
Системы линейных однородных уравнений.
Комплексификация и овеществление.
Тема №8. Линейные отображения и преобразования линейных
пространств.
Определение и свойства линейных отображений и преобразований.
Матрица линейного отображения.
Действия с линейными операторами.
Ядро и образ линейного оператора.
Инвариантные подпространства и собственные векторы линейного оператора.
Тема №9. Евклидовы и унитарные пространства.
Положительно определенные эрмитовы функции в линейных пространствах.
Евклидовы и унитарные пространства и их простейшие свойства.
© Тюменский государственный университет
© Институт математики и компьютерных наук
© Кафедра алгебры и математической логики
© Платонов М. Л.
© 2009
Рабочая программа “Алгебра и теория чисел” для специальности 010503.65 “Математическое обеспечение и администрирование информационных систем”
3.9.3.
3.9.4.
3.9.5.
3.10.
3.10.1.
3.10.2.
3.10.3.
3.11.
3.11.1.
Подпространства евклидовых и унитарных пространств. Ортогональное
дополнение. Ортогональная проекция.
Линейные операторы в унитарном пространстве.
Структура линейного оператора в евклидовом пространстве.
Тема №10. Линейные преобразования евклидовых и унитарных
пространств.
Основные определения. Сопряженные преобразования.
Самосопряженные и ортогональные преобразования.
Линейные преобразования унитарных пространств.
Тема №11. Функции на линейных пространствах.
Линейные, билинейные и квадратичные функции на линейных пространствах.
3.11.1.1.
3.11.1.2.
3.11.1.3.
3.11.1.4.
3.11.1.5.
3.11.1.6.
3.11.1.7.
3.11.1.8.
3.11.2.
Каноническая форма линейного оператора.
3.11.2.1.
3.11.2.2.
3.11.2.3.
3.11.2.4.
3.12.
3.12.1.
Аффинное n-мерное пространство.
3.12.1.3.
3.12.1.4.
3.12.1.5.
3.13.
3.13.1.
3.13.2.
3.13.3.
Жорданова форма.
Ламбда-матрицы. Элементарные преобразования ламбда-матриц.
Нормальная форма ламбда-матриц.
Теорема о приведении матрицы оператора к канонической форме.
Тема №12. Аффинные и точечные евклидовы пространства.
3.12.1.1.
3.12.1.2.
3.12.2.
Линейные функции.
Билинейные функции и билинейные формы.
Матрица билинейной и квадратичной формы и ее преобразование при переходе к
новому базису.
Ранг билинейной и квадратичной формы (билинейной и квадратичной функций).
Существование канонического базиса для всякой квадратичной и билинейной функций
(“приведение квадратичной формы к каноническому виду”).
Нормальный вид квадратичной формы.
Закон инерции для вещественных квадратичных форм.
Положительно определенные квадратичные функции и формы.
Определение аффинного n-мерного пространства.
Системы координат. Арифметическое аффинное пространство. Изоморфизм всех nмерных пространств между собой.
R-мерные плоскости n-мерного аффинного пространства. R-мерные параллелепипеды.
Геометрически независимые системы точек. Барицентрические координаты.
Симплексы.
Системы линейных уравнений.
Точечные евклидовы пространства.
Тема №13. Преобразования аффинных пространств.
Аффинные преобразования.
Движения аффинного евклидова пространства.
Классификация движений.
ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
3.14.
3.14.1.
3.14.2.
Тема №14. Элементы теории чисел.
Теория делимости: основные понятия и теоремы, наибольший общий делитель,
наименьшее общее кратное, простые числа, единственность разложения на
простые множители, непрерывные дроби и их связь с алгоритмом Евклида.
Важнейшие функции в теории чисел: функции [x] и {x}, мультипликативные
функции, количество делителей и сумма делителей, функция Мебиуса, функция
Эйлера.
© Тюменский государственный университет
© Институт математики и компьютерных наук
© Кафедра алгебры и математической логики
© Платонов М. Л.
© 2009
Рабочая программа “Алгебра и теория чисел” для специальности 010503.65 “Математическое обеспечение и администрирование информационных систем”
3.14.3.
3.14.4.
3.14.5.
3.14.6.
3.14.7.
4.
Сравнения: основные понятия, основные и дополнительные свойства
сравнений, полная система вычетов, приведенная система вычетов, теоремы
Эйлера и Ферма.
Сравнения с одним неизвестным: основные понятия, сравнения первой степени,
сравнения высших степеней по простому модулю, сравнения высших степеней
по составному модулю.
Сравнения второй степени: общие теоремы, символ Лежандра, символ Якоби,
случай составного модуля.
Первообразные корни и индексы: общие теоремы, первообразные корни по
модулям p и 2p, вычисление первообразных корней по модулям p и 2p,
индексы по модулям p и 2p, следствия из предыдущих теорий, индексы по
модулю 2, индексы по произвольному составному модулю.
Характеристики: определения, важнейшие свойства характеров.
Перечень тем практических занятий.
4.1.
Элементы общей алгебры (основные алгебраические структуры). Решение
задач практического и теоретического характера по теме №1.
Множества. Предикаты. Отображения. Основные алгебраические структуры.
4.2.
Матрицы. Решение задач практического и теоретического характера по
теме №2.
Матрицы. Основные операции над матрицами. Свойства операций над матрицами.
Ранг матрицы.
4.3.
Детерминанты. Решение задач практического и теоретического характера
по теме №3.
Детерминанты. Основные свойства детерминантов. Миноры и алгебраические
дополнения. Теорема Лапласа. Обратная матрица.
4.4.
Системы линейных уравнений. Решение
теоретического характера по теме №4.
задач
практического
и
Системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Теорема Крамера. Метод
последовательного исключения неизвестных. Фундаментальная система решений.
4.5.
Поле комплексных чисел. Решение задач практического и теоретического
характера по теме №5.
Комплексные числа в алгебраической форме. Операции над комплексными числами в
алгебраической форме. Комплексные числа в тригонометрической форме. Операции
над комплексными числами в тригонометрической форме.
4.6.
Кольцо многочленов. Решение задач практического и теоретического
характера по теме №6.
© Тюменский государственный университет
© Институт математики и компьютерных наук
© Кафедра алгебры и математической логики
© Платонов М. Л.
© 2009
Рабочая программа “Алгебра и теория чисел” для специальности 010503.65 “Математическое обеспечение и администрирование информационных систем”
Полиномы. Операции над полиномами. Теорема о делении полиномов с остатком.
Алгоритм Евклида. Наибольший общий делитель. Теорема Безу. Схема Горнера.
Теорема о разложении на простейшие дроби. Критерий Эйзенштейна. Теорема
Штурма.
4.7.
Линейные пространства. Решение задач практического и теоретического
характера по теме №7.
Линейные пространства. Свойства линейных пространств. Базис и размерность.
Изоморфизм линейных пространств. Подпространства линейных пространств.
4.8.
Линейные отображения и преобразования линейных пространств.
Решение задач практического и теоретического характера по теме №8.
Определение и свойства линейных отображений и преобразований. Матрица
линейного отображения. Действия с линейными операторами. Ядро и образ
линейного оператора. Инвариантные подпространства и собственные векторы
линейного оператора.
4.9.
Евклидовы и унитарные пространства. Решение задач практического и
теоретического характера по теме №9.
Положительно определенные эрмитовы функции в линейных пространствах.
Евклидовы и унитарные пространства и их простейшие свойства. Подпространства
евклидовых и унитарных пространств. Ортогональное дополнение. Ортогональная
проекция. Линейные операторы в унитарном пространстве. Структура линейного
оператора в евклидовом пространстве.
4.10.
Линейные преобразования евклидовых и унитарных пространств.
Решение задач практического и теоретического характера по теме №10.
Основные определения. Сопряженные преобразования. Самосопряженные и
ортогональные преобразования. Линейные преобразования унитарных пространств.
4.11.
Функции на линейных пространствах. Решение задач практического и
теоретического характера по теме №11.
Линейные, билинейные и квадратичные функции на линейных пространствах. Матрица
преобразования. Ранг билинейной и квадратичной форм. Закон инерции квадратичных
форм. Жорданова форма.
4.12.
Аффинные и точечные пространства. Решение задач практического и
теоретического характера по теме №12.
Аффинное n-мерное пространство. Изоморфизм всех n-мерных арифметических
пространств. Плоскости в n-мерном аффинном пространстве. Геометрически
независимые системы точек. Евклидовы точечные пространства.
© Тюменский государственный университет
© Институт математики и компьютерных наук
© Кафедра алгебры и математической логики
© Платонов М. Л.
© 2009
Рабочая программа “Алгебра и теория чисел” для специальности 010503.65 “Математическое обеспечение и администрирование информационных систем”
4.13.
Преобразования аффинных пространств. Решение задач практического и
теоретического характера по теме №13.
Аффинные преобразования.
Классификация движений.
4.14.
Движения
аффинного
евклидова
пространства.
Элементы теории чисел. Решение задач практического и теоретического
характера по теме №14.
Теория делимости. Важнейшие функции теории чисел. Сравнения. Сравнения первой и
второй степеней. Первообразные корни и индексы. Характеристики.
© Тюменский государственный университет
© Институт математики и компьютерных наук
© Кафедра алгебры и математической логики
© Платонов М. Л.
© 2009
Рабочая программа “Алгебра и теория чисел” для специальности 010503.65 “Математическое обеспечение и администрирование информационных систем”
5.
Перечень вопросов и заданий для самостоятельной работы.
5.1.
5.1.1.
Перечень тем для самостоятельного изучения.
Тема №14. Элементы теории чисел [7.1.1.].
5.1.1.1.
5.1.1.2.
5.1.1.3.
5.1.1.4.
5.1.1.5.
5.1.1.6.
5.1.1.7.
5.2.
5.2.1.
Теория делимости: основные понятия и теоремы, наибольший общий делитель,
наименьшее общее кратное, простые числа, единственность разложения на простые
множители, непрерывные дроби и их связь с алгоритмом Евклида.
Важнейшие функции в теории чисел: функции [x] и {x}, мультипликативные функции,
количество делителей и сумма делителей, функция Мебиуса, функция Эйлера.
Сравнения: основные понятия, свойства сравнений, дополнительные свойства
сравнений, полная система вычетов, приведенная система вычетов, теоремы Эйлера и
Ферма.
Сравнения с одним неизвестным: основные понятия, сравнения первой степени,
сравнения высших степеней по простому модулю, сравнения высших степеней по
составному модулю.
Сравнения второй степени: общие теоремы, символ Лежандра, символ Якоби, случай
составного модуля.
Первообразные корни и индексы: общие теоремы, первообразные корни по модулям
p и 2p, вычисление первообразных корней по модулям p и 2p, индексы по модулям
p и 2p, следствия из предыдущих теорий, индексы по модулю 2, индексы по
произвольному составному модулю.
Характеристики: определения, важнейшие свойства характеров.
Перечень теоретических вопросов для самостоятельной работы.
Теоретические вопросы для самостоятельной работы.
5.2.1.1.
Что называется матрицей размера m×n?
5.2.1.2.
Что называется элементами матрицы?
5.2.1.3.
Как обозначается элемент, расположенный в i-ой строке и j-ом столбце матрицы?
5.2.1.4.
Какая матрица называется квадратной?
5.2.1.5.
Что называется порядком квадратной матрицы?
5.2.1.6.
Какая матрица называется нулевой?
5.2.1.7.
Какая матрица называется диагональной?
5.2.1.8.
Какая матрица называется единичной?
5.2.1.9.
Какие матрицы называются равными?
5.2.1.10.
Что называется суммой двух матриц?
5.2.1.11.
Можно ли складывать матрицы разных размеров?
5.2.1.12.
Что называется суммой k матриц, k∈ℕ, k≥2?
5.2.1.13.
Что называется произведением числа на матрицу?
5.2.1.14.
Какая матрица называется противоположной к данной матрице?
5.2.1.15.
Что называется разностью двух матриц?
5.2.1.16.
Какие операции над матрицами называются линейными?
5.2.1.17.
Каковы свойства линейных операций над матрицами?
5.2.1.18.
В каком случае можно одну матрицу умножить на другую?
5.2.1.19.
Что называется произведением одной матрицы на другую?
5.2.1.20.
Каковы должны быть размеры матриц A, B и C, чтобы существовало произведение
(AB)C?
5.2.1.21.
Что называется произведением k матриц, k∈ℕ, k>2?
5.2.1.22.
В каком случае существуют произведения AB и BA?
5.2.1.23.
Пусть существуют произведения AB и BA. Справедливо ли равенство AB=BA?
5.2.1.24.
Возможно ли равенство AB=O, если A и B – ненулевые матрицы?
5.2.1.25.
Каковы свойства произведения матриц?
5.2.1.26.
В каком случае существует произведение AA?
5.2.1.27.
Что называется целой положительной степенью квадратной матрицы?
5.2.1.28.
Что называется нулевой степенью квадратной матрицы?
5.2.1.29.
Что называется первой степенью квадратной матрицы?
5.2.1.30.
Что называется многочленом от квадратной матрицы?
5.2.1.31.
В каком случае квадратная матрица называется корнем многочлена 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 +
𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 ?
5.2.1.32.
Какая матрица называется транспонированной к данной матрице?
© Тюменский государственный университет
© Институт математики и компьютерных наук
© Кафедра алгебры и математической логики
© Платонов М. Л.
© 2009
Рабочая программа “Алгебра и теория чисел” для специальности 010503.65 “Математическое обеспечение и администрирование информационных систем”
5.2.1.33.
5.2.1.34.
Какая операция называется транспонированием матрицы?
Пусть матрица имеет размер m×n. Каков будет размер матрицы транспонированной к
ней?
5.2.1.35.
Пусть A=(aij). Указать номера строки и столбца на пересечении которых стоит элемент aij
матрицы A в матрице AT?
5.2.1.36.
Какими свойствами обладает операция транспонирования?
5.2.1.37.
Что называется детерминантом (определителем) матрицы n-ого порядка?
5.2.1.38.
Перечислить основные свойства детерминантов?
5.2.1.39.
Доказать свойство detA=detAT непосредственным вычислением детерминантов, если A –
матрица третьего порядка?
5.2.1.40.
Что называется минором порядка k матрицы Am×n?
5.2.1.41.
Какие значения может принимать число k – порядок минора матрицы Am×n?
5.2.1.42.
Что называется минором, дополнительным к данному минору?
5.2.1.43.
Каких размеров должна быть матрица, существует понятие минора?
5.2.1.44.
Для любого ли минора порядка k в матрице Am×n существует дополнительный к нему
минор?
5.2.1.45.
Что называется алгебраическим дополнением манора матрицы?
5.2.1.46.
Что называется алгебраическим дополнением элемента aij матрицы прядка n?
5.2.1.47.
Сформулировать теорему Лапласа.
5.2.1.48.
Сформулировать следствия из теоремы Лапласа.
5.2.1.49.
Какая матрица называется обратной к данной матрице?
5.2.1.50.
Какая матрица называется невырожденной (неособенной)?
5.2.1.51.
Какая матрица называется вырожденной (особенной)?
5.2.1.52.
Доказать, что произведение двух невырожденных матриц есть невырожденная
матрица.
5.2.1.53.
Пусть AB — вырожденная матрица. Всегда ли можно утверждать, что хотя бы одна из
перемножаемых матриц вырожденная?
5.2.1.54.
Для какой матрицы существует обратная матрица?
5.2.1.55.
Доказать, что для невырожденной матрицы обратная матрица единственная?
5.2.1.56.
Пусть detA0. Записать формулу, по которой находиться матрица, обратная матрице
A=(aij), i,j=1,2,…,n.
5.2.1.57.
Пусть A и B — невырожденные матрицы и α0. Доказать справедливость следующих
свойств:
1
a) 𝑑𝑒𝑡𝐴−1 =
;
𝑑𝑒𝑡𝐴
b) (𝐴−1 )−1 = 𝐴;
c) (𝐴𝑘 )−1 = (𝐴−1 )𝑘 ;
d) (𝐴𝐵)−1 = 𝐵 −1 𝐴−1 .
5.2.1.58.
Что называется рангом матрицы?
5.2.1.59.
В каком случае ранг квадратной матрицы порядка n равен n?
5.2.1.60.
Ранг матрицы равен r. Чему равен ранг матрицы транспонированной к данной?
5.2.1.61.
Какие преобразования матрицы называют элементарными?
5.2.1.62.
Матрица B получена из матрицы A при помощи элементарных преобразований. Чему
равен ранг:
a) Матрицы B, если ранг матрицы A равен r;
b) Матрицы A, если ранг матрицы B равен r?
5.2.1.63.
Что называется базисным минором матрицы?
5.2.1.64.
В каком случае некоторая строка является линейной комбинацией других k строк этой
матрицы?
5.2.1.65.
В каком случае k (k>1) строк матрицы называются линейно независимыми?
5.2.1.66.
Какие строки и столбцы матрицы называются базисными?
5.2.1.67.
Сформулировать теорему о базисном миноре матрицы.
5.2.1.68.
Что можно сказать о числе базисных миноров матрицы ранга r?
5.2.1.69.
Какой минор матрицы называется минором, окаймляющим ее минор порядка k?
5.2.1.70.
Чему равно максимальное число линейно независимых строк (столбцов) матрицы?
5.2.1.71.
Какая система уравнений называется линейной?
5.2.1.72.
Что называется основной матрицей системы и расширенной матрицей системы m
линейных уравнений с n неизвестными?
5.2.1.73.
Пусть дана система линейных уравнений
© Тюменский государственный университет
© Институт математики и компьютерных наук
© Кафедра алгебры и математической логики
© Платонов М. Л.
© 2009
Рабочая программа “Алгебра и теория чисел” для специальности 010503.65 “Математическое обеспечение и администрирование информационных систем”
𝑎11 𝑥1
𝑎21 𝑥1
{
…
𝑎𝑚1 𝑥1
+ 𝑎12 𝑥2
+ 𝑎22 𝑥2
… …
+ 𝑎𝑚2 𝑥2
+
+
…
+
…
…
…
…
+ 𝑎1𝑛 𝑥𝑛
+ 𝑎2𝑛 𝑥𝑛
…
…
+ 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛
=
=
…
=
𝑏1
𝑏2
.
…
𝑏𝑚
Записать ее в матричном виде.
5.2.1.74.
5.2.1.75.
5.2.1.76.
5.2.1.77.
5.2.1.78.
5.2.1.79.
5.2.1.80.
5.2.1.81.
5.2.1.82.
5.2.1.83.
5.2.1.84.
5.2.1.85.
5.2.1.86.
5.2.1.87.
5.2.1.88.
5.2.1.89.
5.2.1.90.
5.2.1.91.
5.2.1.92.
5.2.1.93.
5.2.1.94.
5.2.1.95.
5.2.1.96.
5.2.1.97.
5.2.1.98.
5.2.1.99.
5.2.1.100.
5.2.1.101.
5.2.1.102.
5.2.1.103.
5.2.1.104.
5.2.1.105.
5.2.1.106.
5.2.1.107.
© Тюменский государственный университет
© Институт математики и компьютерных наук
© Кафедра алгебры и математической логики
© Платонов М. Л.
© 2009
Что называется решением m линейных уравнений с n неизвестными?
Какая система линейных уравнений называется совместной?
Какая система линейных уравнений называется несовместной?
Какая система линейных уравнений называется определенной?
Какая система линейных уравнений называется неопределенной?
Написать формулы Крамера.
Сформулировать теорему Кронекера-Капелли (критерий совместности системы).
В каком случае система линейных уравнений имеет единственное решение?
Пусть AX=B — система n линейных уравнений с n неизвестными и detA=0. Что можно
сказать о решении такой системы?
Какие неизвестные совместной системы линейных уравнений называются базисными и
какие – свободными?
Сколько базисных неизвестных может иметь система линейных уравнений?
Сколько свободных неизвестных может иметь совместная система линейных
уравнений?
Какая система линейных уравнений называется однородной?
Какое решение однородной системы называется тривиальным?
Может ли однородная система линейных уравнений быть несовместной?
Сформулировать необходимое и достаточное условие того, чтобы однородная система
линейных уравнений имела только тривиальное решение.
Сформулировать необходимое и достаточное условие того, чтобы однородная система
линейных уравнений имела нетривиальное решение.
Что называется фундаментальной системой решений однородной системы линейных
уравнений?
При каком условии однородная система линейных уравнений имеет фундаментальную
систему решений?
Сколько решений содержит фундаментальная система решений однородной системы
линейных уравнений?
Сколько фундаментальных систем решений может иметь однородная система
линейных уравнений?
Какая система фундаментальных решений называется нормированной?
Что называется прямым ходом метода Гаусса?
Что называется обратным ходом метода Гаусса?
Каково множество решений системы, если прямой ход метода Гаусса приводит матрицу
системы к треугольному виду, и все элементы главной диагонали отличны от нуля?
Совместна или несовместна система, если расширенная матрица системы после k-ого
хода метода Гаусса содержит строку, все элементы которой, кроме последнего, равны
нулю?
Совместна или несовместна система, если расширенная матрица системы после k-ого
хода метода Гаусса содержит строку, в которой имеется ненулевой элемент, а все
остальные элементы, включая последний, равны нулю?
Как определяется операция сложения (внутренняя операция) на множестве V?
Как определяется операция умножения элемента множества V на число α∈ℝ (внешняя
операция)? Что называется произведением числа α∈ℝ на элемент x∈V?
Что называется вещественным линейным пространством?
Какое линейное пространство называется комплексным?
Что называется арифметическим действительным пространством? Как оно
обозначается?
Что называется разностью x-y элементов x и y пространства V?
Какое множество V1 элементов линейного пространства называется подпространством
пространства V?
Рабочая программа “Алгебра и теория чисел” для специальности 010503.65 “Математическое обеспечение и администрирование информационных систем”
5.2.1.108.
5.2.1.109.
5.2.1.110.
5.2.1.111.
5.2.1.112.
5.2.1.113.
5.2.1.114.
5.2.1.115.
5.2.1.116.
5.2.1.117.
5.2.1.118.
5.2.1.119.
5.2.1.120.
5.2.1.121.
5.2.1.122.
5.2.1.123.
5.2.1.124.
5.2.1.125.
5.2.1.126.
5.2.1.127.
5.2.1.128.
5.2.1.129.
5.2.1.130.
5.2.1.131.
5.2.1.132.
5.2.1.133.
5.2.1.134.
5.2.1.135.
5.2.1.136.
5.2.1.137.
5.2.1.138.
5.2.1.139.
5.2.1.140.
5.2.1.141.
5.2.1.142.
5.2.1.143.
5.2.1.144.
© Тюменский государственный университет
© Институт математики и компьютерных наук
© Кафедра алгебры и математической логики
© Платонов М. Л.
© 2009
Что называется линейной комбинацией векторов x1, x2, …, xn? Что называется
коэффициентами линейной комбинации векторов?
Какая линейная комбинация векторов называется тривиальной и какая —
нетривиальной?
Какая система векторов называется линейно независимой?
Какая система векторов называется линейно зависимой?
Что называется размерностью линейного пространства? Как обозначается размерность
линейного пространства?
Что называется базисом n-мерного пространства?
Указать размерность и базис линейного пространства, если известно, что в этом
пространстве существует n линейно независимых векторов e1, e2, …, en и любой вектор
этого пространства линейно выражается через e1, e2, …, en.
Что называется разложением вектора линейного пространства по базису e1, e2, …, en
этого пространства?
Что называется координатами вектора линейного пространства в базисе e1, e2, …, en
этого пространства?
Чему равны координаты нулевого вектора в произвольном базисе линейного
пространства?
Пусть два вектора равны между собой. Как связаны их координаты в одном и том же
базисе?
Даны координаты двух векторов в некотором базисе. Чему равны координаты суммы
векторов в этом же базисе?
Даны координаты вектора в некотором базисе. Чему равны координаты произведения
вектора на число в том же базисе?
Что называется матрицей системы векторов e1, e2, …, en?
Как определить, является ли система m векторов n-мерного линейного пространства
линейно независимой, если известны координаты векторов в некотором базисе?
Как определить, образует ли система n векторов n-мерного линейного пространства
базис этого пространства, если известны координаты векторов в некотором базисе?
Что называется матрицей перехода от одного базиса к другому?
Всякая ли матрица порядка n может быть матрицей перехода от одного базиса к
другому в n-мерном пространстве?
Пусть T – матрица перехода от базиса e1, e2, …, en линейного пространства V к базису e1´,
e2´, …, en´ того же пространства. Какова матрица перехода от базиса e1´, e2´, …, en´ к
базису e1, e2, …, en?
Записать формулы преобразования координат вектора, если известна матрица T
перехода от базиса e1, e2, …, en к базису e1´, e2´, …, en´.
Что называется скалярным произведением векторов в вещественном линейном
пространстве?
Что называется скалярным квадратом вектора?
Что называется евклидовым пространством?
Как определяются базис и размерность евклидова пространства?
Записать в евклидовом пространстве неравенство Коши-Буняковского. Для каких
векторов неравенство Коши-Буняковского превращается в равенство?
Что называется нормой (длиной) вектора линейного пространства? Какое линейное
пространство называется нормированным?
Каким равенством можно определить норму (длину) вектора в евклидовом
пространстве?
Что называется углом между ненулевыми векторами евклидова пространства?
Какие два вектора евклидова пространства называются ортогональными?
Какая система векторов евклидова пространства называется ортогональной?
В каком случае ортогональная система векторов линейно независима?
Какой базис евклидова n-мерного пространства (n≥2) называется ортогональным?
Какой вектор евклидова пространства называется нормированным или единичным?
Что называется нормированием данного вектора?
Какая система векторов называется ортонормированной?
Какой базис евклидова n-мерного пространства (n≥2) называется ортонормированным?
Что называется ортогонализацией данного вектора?
Рабочая программа “Алгебра и теория чисел” для специальности 010503.65 “Математическое обеспечение и администрирование информационных систем”
5.2.1.145.
5.2.1.146.
5.2.1.147.
5.2.1.148.
5.2.1.149.
5.2.1.150.
5.2.1.151.
5.2.1.152.
5.2.1.153.
5.2.1.154.
5.2.1.155.
5.2.1.156.
5.2.1.157.
5.2.1.158.
5.2.1.159.
5.2.1.160.
5.2.1.161.
5.2.1.162.
5.2.1.163.
5.2.1.164.
5.2.1.165.
5.2.1.166.
5.2.1.167.
5.2.1.168.
5.2.1.169.
5.2.1.170.
5.2.1.171.
5.2.1.172.
5.2.1.173.
5.2.1.174.
5.2.1.175.
5.2.1.176.
5.2.1.177.
5.2.1.178.
5.2.1.179.
5.2.1.180.
5.2.1.181.
5.2.1.182.
5.2.1.183.
5.2.1.184.
5.2.1.185.
© Тюменский государственный университет
© Институт математики и компьютерных наук
© Кафедра алгебры и математической логики
© Платонов М. Л.
© 2009
Записать формулу, по которой вычисляется скалярное произведение векторов через их
координаты в ортонормированном базисе.
Записать формулу, по которой вычисляется норма (длина) вектора через его
координаты в ортонормированном базисе?
Что называется скалярным произведением векторов в комплексном линейном
пространстве?
Что называется унитарным пространством?
Записать формулу, по которой вычисляется скалярное произведение векторов через их
координаты в ортонормированном базисе унитарного пространства?
Записать формулу, по которой вычисляется норма (длина) вектора через его
координаты в ортонормированном базисе унитарного пространства?
Что называется оператором, действующим из линейного пространства V в линейное
пространствоW (отображение пространства V в пространство W)?
Что называется оператором пространства V?
Что называется образом и прообразом вектора?
Какие операторы называются равными?
Какой оператор называется линейным?
Какой оператор пространства V называется тождественным?
Что называется матрицей линейного оператора пространства V в данном базисе?
Записать формулу для определения в базисе e1, e2, …, en координат образа вектора x,
если известны координаты вектора x и матрица A оператора в этом базисе?
Что называется ядром линейного оператора?
Как обозначается ядро линейного оператора?
Что называется образом (областью значений) линейного оператора?
Как обозначается образ линейного оператора?
Что называется рангом оператора?
Что называется дефектом оператора?
Пусть A – матрица линейного оператора f:V→V, где V – линейное вещественное
пространство размерности n. Как найти:
a. Ранг и дефект оператора f?
b. Ядро и образ оператора f?
Что называется суммой двух операторов?
Является ли сумма двух линейных операторов линейным оператором?
Операторы f и g заданы в некотором базисе соответственно матрицами A и B. Чему
равна матрица оператора f+g в этом же базисе?
Что называется произведением двух операторов?
Является ли произведение двух линейных операторов линейным оператором?
Какой линейный оператор называется невырожденным?
Какой линейный оператор называется вырожденным?
Какие линейные операторы называются взаимно обратными?
Какой линейный оператор называется обратным данному линейному оператору?
Какой линейный оператор имеет обратный?
Невырожденный оператор в некотором базисе задан матрицей. Чему равна в этом же
базисе матрица обратного оператора к данному?
Что называется собственным вектором и собственным значением линейного
оператора?
Что называется характеристическим уравнением линейного оператора?
Что называется характеристическими числами линейного оператора?
Что называется спектром линейного оператора?
Какой спектр линейного оператора называется простым?
Как найти собственные значения линейного оператора, если известна матрица этого
оператора в некотором базисе?
Как найти собственные векторы линейного оператора, если известна матрица этого
оператора в некотором базисе?
Пусть λ – собственное значение линейного оператора n-мерного пространства, A –
матрица данного линейного оператора в некотором базисе. Чему равно максимальное
число линейно независимых векторов этого оператора с собственным числом λ?
Каковы необходимые и достаточные условия того, чтобы в пространстве размерности n
существовал базис, состоящий из собственных векторов линейного оператора?
Рабочая программа “Алгебра и теория чисел” для специальности 010503.65 “Математическое обеспечение и администрирование информационных систем”
5.2.1.186.
5.2.1.187.
5.2.1.188.
5.2.1.189.
5.2.1.190.
5.2.1.191.
5.2.1.192.
5.2.1.193.
5.2.1.194.
5.2.1.195.
5.2.1.196.
5.2.1.197.
5.2.1.198.
5.2.1.199.
5.2.1.200.
5.2.1.201.
5.2.1.202.
5.2.1.203.
5.2.1.204.
5.2.1.205.
5.2.1.206.
5.2.1.207.
5.2.1.208.
5.2.1.209.
5.2.1.210.
5.2.1.211.
5.2.1.212.
5.2.1.213.
5.2.1.214.
5.2.1.215.
5.2.1.216.
5.2.1.217.
5.2.1.218.
5.2.1.219.
5.2.1.220.
5.2.1.221.
5.2.1.222.
5.2.1.223.
5.2.1.224.
5.3.
Пусть e1, e2, …, en – базис пространства, состоящий из собственных векторов линейного
оператора. Записать матрицу линейного оператора в этом базисе.
Какая вещественная матрица называется ортогональной?
Каково необходимое и достаточное условие ортогональности матрицы?
Чему равен определитель ортогональной матрицы?
Может ли невырожденная матрица быть ортогональной?
Пусть матрицы A и B – ортогональные матрицы одинакового порядка. Является ли
матрица AB ортогональной?
Пусть A – ортогональная матрица. Является ли ортогональной матрица:
a. AT.
b. A-1.
Является ли ортогональной матрица перехода от одного ортонормированного базиса к
другому ортонормированному базису?
Какой линейный оператор называется ортогональным?
Каково необходимое и достаточное условие ортогональности оператора?
Перечислить основные свойства ортогональных операторов.
Какой оператор называется сопряженным данному оператору?
Какие операторы называются взаимно сопряженными?
Как связаны между собой в ортонормированном базисе матрицы взаимно
сопряженных операторов евклидова пространства?
Перечислить основные свойства сопряженного оператора евклидова пространства.
Какой оператор называется самосопряженным (симметрическим)?
Какой вид имеет матрица самосопряженного оператора евклидова пространства в
ортонормированном базисе?
Каким условием связаны собственные векторы самосопряженного оператора
евклидова пространства, соответствующие различным собственным значениям?
Может ли комплексное число быть характеристическим числом самосопряженного
оператора евклидова пространства?
Сформулировать теорему о полноте собственных векторов самосопряженного
оператора евклидова пространства.
Сформулировать свойства самосопряженного оператора, следующие из теоремы о
полноте собственных векторов самосопряженного оператора евклидова пространства.
Что называется квадратичной формой n переменных x1, x2, …, xn?
Какая квадратичная форма называется вещественной?
Что называется матрицей квадратичной формы?
Что называется рангом квадратичной формы?
Какая квадратичная форма называется невырожденной?
Как записать квадратичную форму n переменных x1, x2, …, xn в матричном виде?
Какая квадратичная форма называется канонической?
Какой вид имеет матрица канонической квадратичной формы?
В каком случае говорят, что квадратичная форма приводится к каноническому виду?
Всякая ли квадратичная форма приводится к каноническому виду?
В чем суть метода Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду?
Какие миноры матрицы называются главными миноры матрицы?
В каком случае применим метод Якоби приведения квадратичной формы к
каноническому виду?
Какой вид имеет невырожденное преобразование (оператор), приводящее методом
Якоби к каноническому виду квадратичную форму, главные миноры матрицы которой
отличны от нуля?
Единственным ли образом определяется канонической вид для данной квадратичной
формы?
В чем заключается закон инерции квадратичных форм?
Изменится ли ранг квадратичной формы при невырожденном линейном
преобразовании?
Всякую ли квадратичную форму можно привести методом Лагранжа к каноническому
виду?
Перечень практических заданий для самостоятельной работы.
© Тюменский государственный университет
© Институт математики и компьютерных наук
© Кафедра алгебры и математической логики
© Платонов М. Л.
© 2009
Рабочая программа “Алгебра и теория чисел” для специальности 010503.65 “Математическое обеспечение и администрирование информационных систем”
5.3.1.
Элементы общей алгебры (основные алгебраические структуры). Решение задач
практического и теоретического характера по теме №1.
5.3.1.1.
5.3.1.2.
5.3.2.
Матрицы. Решение задач практического и теоретического характера по теме
№2.
5.3.2.1.
5.3.2.2.
5.3.2.3.
5.3.3.
5.3.5.2.
5.3.5.3.
[7.1.4]: 51.2, 51.5, 51.6, 51.8, 51.12, 51.14, 51.22-51.24.
[7.1.7]: 1352, 1356, 1357-1363, 1367-1376, 1415, 1416, 1422, 1427-1430.
[7.1.9]: 895-904, 923.
Линейные преобразования евклидовых и унитарных пространств. Решение
задач практического и теоретического характера по теме №10.
5.3.10.1.
5.3.10.2.
5.3.10.3.
5.3.11.
[7.1.4]: 8.3
[7.1.7]: 1277-1283, 1434, 1441-1444, 1445-1450, 1452-1454, 1457, 1458.
[7.1.9]: 965, 966, 968, 972.
Евклидовы и унитарные пространства. Решение задач практического и
теоретического характера по теме №9.
5.3.9.1.
5.3.9.2.
5.3.9.3.
5.3.10.
[7.1.4]: 6.1, 6.3, 6.7-6.12, 34.1-34.5, 34.10, 34.12-34.14, 35.1-35.9, 35.12, 35.13, 35.15-35.21.
[7.1.7]: 1277-1294, 1297-1304, 1307-1313, 1317-1322, 1324, 1326, 1330-1332.
[7.1.9]: 879-882, 889, 890, 899-905.
Линейные отображения и преобразования линейных пространств. Решение
задач практического и теоретического характера по теме №8.
5.3.8.1.
5.3.8.2.
5.3.8.3.
5.3.9.
[7.1.4]: 25.1-25.5, 25.8, 26.1-26.3, 28.1, 28.2, 28.8, 28.9, 29.1, 29.2, 33.1.
[7.1.7]: 1771, 1773.
[7.1.9]: 538, 539, 543-546, 549, 588, 631-634, 641, 647, 663, 664, 668, 669, 670, 686-696.
Линейные пространства. Решение задач практического и теоретического
характера по теме №7.
5.3.7.1.
5.3.7.2.
5.3.7.3.
5.3.8.
[7.1.4]: 20.1-20.8, 20.11-21.3, 21.9-21.10, 22.7-22.8, 22.11-22.15, 22.18-22.23, 24.1-24.4,
24.6, 24.17-24.26.
[7.1.7]: 18-21, 66-70, 81, 106.l
[7.1.9]: 1-3, 5, 6, 10, 15, 21-24, 36-45, 75, 80, 108-113, 120, 121.
Кольцо многочленов. Решение задач практического и теоретического характера
по теме №6.
5.3.6.1.
5.3.6.2.
5.3.6.3.
5.3.7.
[7.1.4]: 8.1, 8.2, 8.4-8.6., 8.23, 8.24.
[7.1.7]: 554-563, 567-571, 578-581, 689-704.
[7.1.9]: 335-353, 398-420.
Поле комплексных чисел. Решение задач практического и теоретического
характера по теме №5.
5.3.5.1.
5.3.6.
[7.1.4]: 9.1-16.19.
[7.1.7]: 1-553.
[7.1.9]: 127-334, 979.
Системы линейных уравнений. Решение задач практического и теоретического
характера по теме №4.
5.3.4.1.
5.3.4.2.
5.3.4.3.
5.3.5.
[7.1.4]: 17.1-19.28.
[7.1.7]: 788-974.
[7.1.9]: 464-537.
Детерминанты. Решение задач практического и теоретического характера по
теме №3.
5.3.3.1.
5.3.3.2.
5.3.3.3.
5.3.4.
[7.1.4]: 1.1-5.6, 51.4-68.16.
[7.1.7]: 1634-1637, 1640-1647, 1649-1652, 1659, 1685, 1687-1690, 1696, 1709-1737, 17401748, 1754-1773, 1779-1785, 1789-1799.
[7.1.4]: 51.22-51.24.
[7.1.7]: 1452-1454, 1541-1544, 1560-1563, 1570-1578.
[7.1.9]: 968, 972.
Функции на линейных пространствах. Решение задач практического и
теоретического характера по теме №11.
5.3.11.1.
5.3.11.2.
© Тюменский государственный университет
© Институт математики и компьютерных наук
© Кафедра алгебры и математической логики
© Платонов М. Л.
© 2009
[7.1.4]: 37.1, 37.6, 38.11, 38.17, 38.18.
[7.1.7]: 1175-1192, 1201, 1202, 1212-1216, 1243-1262.
Рабочая программа “Алгебра и теория чисел” для специальности 010503.65 “Математическое обеспечение и администрирование информационных систем”
5.3.11.3.
5.3.12.
Аффинные и точечные пространства. Решение задач практического и
теоретического характера по теме №12.
5.3.12.1.
5.3.12.2.
5.3.12.3.
5.3.13.
[7.1.4]: 49.2, 49.16, 49.20.
[7.1.7]: 1347, 1875-1878.
[7.1.9]: 889, 890.
Преобразования аффинных пространств. Решение задач практического и
теоретического характера по теме №13.
5.3.13.1.
5.3.13.2.
5.3.13.3.
5.3.14.
[7.1.9]: 939, 944, 951.
[7.1.4]: 49.24, 49.25, 49.28, 49.30.
[7.1.7]: 1870.
[7.1.9]: 883.
Элементы теории чисел. Решение задач практического и теоретического
характера по теме №14.
5.3.14.1.
[7.1.1].
(Примерный вариант)
Тема №1. Элементы общей алгебры (основные алгебраические системы).
a)
b)
c)
d)
Найдите все подмножества множества {1, 2, 3}.
Докажите, что множество {1, 2, …, n} имеет 2n различных подмножеств.
Каким условиям должны удовлетворять множества A и B, чтобы: A∩B=A∪B, (A\B)∪B=A, (A∪B)\B=A.
Докажите, что для произвольных множеств A, B и C справедливы следующие равенства:
i.
A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C);
ii.
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C);
iii.
A∪(A∩B)=A, A∩(A∪B)=A;
iv.
A∪∅=A, A∩∅=∅;
v.
(A\B)\C=(A\C)\B;
vi.
(A\B)\C=(A\C)\(B\C);
vii.
(A∪B)\(A∩B)=(A\B)∪(B\A);
viii.
A\(A\B)=A∩B;
ix.
(B∪C)\A=(B\A)∪(C\A);
x.
B∪(A\B)=A∪B, B∩(A\B)=∅;
xi.
A\(B∪C)=(A\B)∩(A\C), A\(B∩C)=(A\B)∪(A\C).
e) Докажите, что для любых подмножеств A и B универсального множества U справедливы следующие
равенства:
i.
A∪U=U, A∩U=A;
̅=U, A∩A
̅=∅;
ii.
A∪A
̅
̅
iii.
∅=U, U=∅;
̅̅̅̅̅̅̅
̅∩B
̅∪B
̅, ̅̅̅̅̅̅̅
̅;
iv.
A∪B=A
A∩B =A
̅;
v.
A\B = A ∩ B
f) Докажите, что для произвольных множеств A, B и C:
i.
A\B = A ↔ A ∩ B = ∅;
ii.
A ⊆ B ↔ A ∪ B = B ↔ A ∩ B = A;
iii.
A ⊆ B → A\C ⊆ B\C, A ⊆ B → A ∩ C ⊆ B ∩ C, A ⊆ B → A ∪ C ⊆ B ∪ C;
iv.
A\B = A ↔ B\A = B;
v.
A ⊆ B ⊆ C ↔ A ∪ B = B ∩ C.
g) Докажите, что для любых подмножеств A, B и C универсального множества U:
̅⊆B
̅.
i.
A⊆B↔A
̅, A ∪ B = U ↔ A ⊆ B
̅.
̅↔B⊆A
̅↔B⊆A
ii.
A∩B=∅↔A⊆B
h) Из 100 студентов 28 изучают английский язык, 30 – немецкий, 42 – французский, 8 – английский и
немецкий, 10 – английский и французский, 5 – немецкий и французский и 3 студента изучают все три
иностранных языка. Сколько студентов не изучают ни одного языка? Изучают только французский язык?
i) Из 100 студентов 24 не изучают ни одного из иностранных языков, 26 – немецкий, 48 – французский, 8 –
французский и английский, 8 – немецкий и французский, 18 – только немецкий, 23 – немецкий, но не
английский. Сколько студентов изучают только английский язык?
j) Сколько существует натуральных чисел, меньших 1000, которые:
© Тюменский государственный университет
© Институт математики и компьютерных наук
© Кафедра алгебры и математической логики
© Платонов М. Л.
© 2009
Рабочая программа “Алгебра и теория чисел” для специальности 010503.65 “Математическое обеспечение и администрирование информационных систем”
i.
ii.
iii.
iv.
v.
Делятся на 2 и на 3;
Делятся на 2, но не делятся на 3;
Делятся на 3, но не делятся на 2;
Делятся на 2 или на 3;
Не делятся ни на 2, ни на 3?
(Примерный вариант)
a)
Найдите A×B и B×A, если:
i.
A={1, 2}, B={1, 2, 3};
ii.
A={a, b}, B={a, c, e}.
b) Изобразите на декартовой плоскости следующие множества:
i.
[0, 1]×[0, 1];
ii.
[0, 1]×(-∞, 3];
iii.
[1, 2]×[-∞, +∞];
iv.
[0, +∞)×{2, 3};
c) Докажите, что при любых множествах A, B и C:
i.
(A∪B)×C=(A×C)∪(B×C), (A∩B)×C=(A×C)∩(B×C);
ii.
(A\B)×C=(A×C)\(B×C);
iii.
A⊂B → A×C⊂B×C;
iv.
(A×B)∪(B×A)=C×C →A=B=C.
d) Докажите, что для любых множеств A, B, C и D: (A∩B)×(C∩D)=(A×C)∩(B×D). Справедливо ли аналогичное
равенство для объединения множеств?
e) Докажите, что для любых бинарных отношений ρ и σ между элементами множеств X и Y:
i.
(ρ∪σ)-1=ρ-1∪σ-1, (ρ∩σ)-1=ρ-1∩σ-1;
ii.
(ρ\σ)-1=ρ-1\σ-1;
(𝜌̅ )−1 = ̅̅̅̅̅
iii.
𝜌−1 ;
iv.
ρ⊆σ ⟶ ρ-1⊆σ-1.
f) Докажите, что:
i.
Отношение ρ рефлексивно ↔ idA⊆ρ;
ii.
Отношение ρ антирефлексивно ↔ idA∩ρ=∅;
iii.
Отношение ρ симметрично ↔ ρ=ρ-1;
iv.
Отношение ρ антисимметрично ↔ ρ∩ρ-1⊆idA, (idA={(x, x)| x∈A}).
g) Укажите,
какими
свойствами
(рефлексивностью,
антирефлексивностью,
симметричностью,
антисимметричностью, транзитивностью) обладает каждое из следующих отношений:
i.
«∥» на множестве всех прямых плоскости;
ii.
«⊥» на множестве всех прямых плоскости;
iii.
«=» на множестве действительных чисел;
iv.
«<» на множестве действительных чисел;
v.
«≤» на множестве действительных чисел;
vi.
«∩» на множестве всех прямых плоскости;
vii.
Отношение подобия треугольников на плоскости;
viii.
«⊆» на семействе всех подмножеств универсального множества;
ix.
«⊂» на семействе всех подмножеств универсального множества.
h) На множестве натуральных чисел для каждого из следующих бинарных отношений найдите область
определения и область значений и укажите, какими свойствами (рефлексивностью,
антирефлексивностью, симметричностью, антисимметричностью, транзитивностью) оно обладает:
i.
ρ={(1,1)};
ii.
ρ={(3,5), (5,3), (3,3), (5,5)}, ρ={(3,5), (5,3)};
iii.
xρy ↔ НОД(x,y)=1;
iv.
xρy ↔ y-x=12;
v.
xρy ↔ |x-y|=12;
vi.
xρy ↔ x=y2;
vii.
xρy ↔ (x-y) | 3.
i) Найдите область определения и область значений каждого из следующих отношений, заданных на
множестве
действительных
чисел,
и
укажите,
какими
свойствами
(рефлексивностью,
антирефлексивностью, симметричностью, антисимметричностью, транзитивностью) оно обладает:
i.
ρ={(x,y)| x2=y2};
© Тюменский государственный университет
© Институт математики и компьютерных наук
© Кафедра алгебры и математической логики
© Платонов М. Л.
© 2009
Рабочая программа “Алгебра и теория чисел” для специальности 010503.65 “Математическое обеспечение и администрирование информационных систем”
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
ii.
ρ=[0,2]×[0,2];
iii.
ρ=[0,2]×[1,3];
iv.
ρ={(x,y)| xy=0}.
Что можно сказать об отношениях 𝜌̅ и 𝜌−1 , если отношение ρ:
i.
Рефлексивно;
ii.
Антирефлексивно;
iii.
Симметрично;
iv.
Антисимметрично;
v.
Транзитивно?
Докажите, что при любом отношении ρ на множестве отношения ρ ∩ ρ−1 и ρ ∪ ρ−1 симметричны.
Докажите, что отношение «⊆» является отношением порядка.
Пусть A={1,2,3,4,5,6}. Покажите, что:
i.
Подмножества A1={2,3,4}, A2={1}, A1={5,6} образуют покрытие A;
ii.
Подмножества A1={1,2}, A2={3}, A3={4,5,6} образуют разбиение A.
Докажите, что если ρ – рефлексивное и транзитивное отношение на множестве, то ρ ∩ ρ−1 – отношение
эквивалентности.
Определите, какие из следующих отношений являются отображениями; какие из отображений взаимнооднозначны, какие – обратимы:
i.
φ={(x,y)∈ℝ×ℝ| y=x2};
ii.
φ={(x,y)∈{0,+∞)×(-∞,+∞)| y=x2};
iii.
φ={(x,y)∈[0,1]×[0,1]| y=x2};
iv.
φ={(x,y)∈[-1,0]×[-1,0]| x2+y2=1};
v.
φ={(x,y)∈ℕ×ℕ| |x-y|=1}.
Пусть f – отображение X на Y. Докажите, что следующие утверждения эквивалентны:
i.
x1≠x2 → f(x1)≠f(x2);
ii.
f(x1)=f(x2) → x1=x2.
(Примерный вариант)
a)
Докажите, что при любом натуральном n:
i.
(4n+15n-1) | 9;
ii.
(6n+3n+2+3n) | 11.
b) Докажите, что сумма кубов трех последовательных натуральных чисел делится на 9.
c) Докажите, что при любом натуральном n:
i.
13+23+33+…+n3=¼n2(n+1)2;
1
1
1
𝑛
ii.
+ + ⋯ + (4𝑛−3)(4𝑛+1) =
;
1∙5
5∙9
4𝑛+1
iii.
1∙1!+2∙2!+3∙3!+…+n∙n!=(n+1)!-1;
iv.
1 + 𝑥 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛 =
v.
1
1+𝑥
+
2
1+𝑥 2
+
4
1+𝑥 4
𝑥 𝑛+1 −1
+⋯+
𝑥−1
2𝑛
1+𝑥 2
, 𝑥 ≠ 1.
1
𝑛
= 1 − (𝑛+1)!.
d) Докажите тождества:
𝑘
i.
𝐶𝑛𝑘 + 𝐶𝑛𝑘−1 = 𝐶𝑛+1
;
0
1
ii.
С𝑛 + 𝐶𝑛 + ⋯ + 𝐶𝑛𝑛 = 2𝑛 ;
iii.
𝐶𝑛1 + 2𝐶𝑛2 + ⋯ + 𝑛𝐶𝑛𝑛 = 2𝑛−1 .
(Примерный вариант)
Тема №2. Матрицы.
−2 6 9
3 −5 7
Вычислите (2A-3B)×CT, если 𝐴 = ‖
‖, 𝐵 = ‖
‖, 𝐶
5 4 −7
−8 4 3
1 −1
b) Вычислите f(A), если 𝐴 = ‖
‖, f(x)=x2-5x+7.
2 1
0
c) Найдите матрицы, перестановочные с матрицами A и B, если 𝐴 = ‖
1
d) Возвести в степень:
5 −4 𝑛
i.
‖
‖ .
6 −5
a)
© Тюменский государственный университет
© Институт математики и компьютерных наук
© Кафедра алгебры и математической логики
© Платонов М. Л.
© 2009
1
=‖
3
2
2
3
‖.
1
1
−3
‖, 𝐵 = ‖
2
2
2
‖.
1
Рабочая программа “Алгебра и теория чисел” для специальности 010503.65 “Математическое обеспечение и администрирование информационных систем”
𝑛
𝑐𝑜𝑠𝜑 −𝑠𝑖𝑛𝜑
‖ .
𝑠𝑖𝑛𝜑 𝑐𝑜𝑠𝜑
Вычислите ранг матриц:
4
9
0 7
−1
1
6 0
i.
‖
‖.
0 −1
2 1
4 −3 −1 9
−1 −3 −2
1 −3
4
1
2
4 −1
ii.
‖
‖.
−6
9 −1 −2
6
4
6
1 12 −3
Докажите, что:
i.
Если к матрице приписать один столбец, то ее ранг либо не изменится, либо увеличится на
единицу.
ii.
Если после вычеркивания какого-либо столбца ранг матрицы не изменится, то этот столбец
линейно выражается через другие столбцы.
iii.
Если какой-нибудь столбец матрицы линейно выражается через другие столбцы этой матрицы, то
после его вычеркивания ранг матрицы не изменится;
iv.
Ранг суммы матриц не превосходит суммы их рангов.
ii.
e)
f)
‖
(Примерный вариант)
Тема №3. Детерминанты.
a)
Определите число инверсий в перестановках:
i.
1 3 5 7 9 2 4 6 8.
ii.
2 5 8 1 4 7 3 6 9.
b) Подберите k и l так, чтобы перестановка:
i.
7 4 3 k l 8 5 2 была нечетной;
ii.
6 3 5 k 7 l 2 1 была четной.
c) Определите число инверсий в перестановках:
i.
1 3 5 7 … 2n-1 24 6 8 … 2n.
ii.
2 4 6 8 … 2n 1 3 5 7 … 2n-1.
d) Выясните, какие из произведений элементов матрицы являются членами определителя 7-ого порядка, и
укажите знак этого члена определителя:
i.
a43a53a63a15a23a34a71.
ii.
a23a67a54a16a35a41a72.
iii.
a15a28a74a36a61a43.
iv.
a72a16a33a55a27a61a44.
e) Вычислите определители, пользуясь определением:
2 −4
9
i.
|−6
3 −5|.
7 −8
4
12 16
8
ii.
|20 14 24|.
12
8
4
0 0 3 4
0 0 4 3
iii.
|
|.
1 2 0 0
2 1 0 0
5
0 0
0
0
0 8
0
iv.
|
|.
0
0 0 −3
0 −4 0
0
f) Вычислите определители:
1
4 −3 −4
2 −2
1 −4
i.
|
| используя разложение по элементам 1 и 2 строк.
5
7
3
8
−7 −9
6 −3
© Тюменский государственный университет
© Институт математики и компьютерных наук
© Кафедра алгебры и математической логики
© Платонов М. Л.
© 2009
Рабочая программа “Алгебра и теория чисел” для специальности 010503.65 “Математическое обеспечение и администрирование информационных систем”
1
2
7 −3
2 −1 −9 −1
ii.
|
| используя разложение по элементам 3 столбца.
−4 −2
8
2
1
1 −8
1
g) Вычислите определители:
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛
0 𝑎22 … 𝑎2𝑛
i.
| ⋮
⋮
⋮
⋮ |.
0
0 … 𝑎𝑛𝑛
𝑎11 … 𝑎1𝑛−1 𝑎1𝑛
𝑎21 … 𝑎2𝑛−1 0
ii.
| ⋮
⋮
⋮
⋮ |.
𝑎𝑛1 …
0
0
h) Как изменится определитель, если:
i.
Каждый элемент i-ой строки умножить на -1;
ii.
Все строки переписать в обратном порядке;
iii.
К каждой строке, начиная со 2-ой, прибавить предыдущую;
iv.
К каждой строке, начиная со 2-ой, прибавить предыдущую, а к первой строке прибавить
последнюю?
1 0 −1
1 −1
i) Решите матричные уравнения: AX=B, XB=C, AXB=C, где: 𝐴 = ‖
‖, 𝐵 = ‖ 0 2 −3‖, 𝐶 =
−1
2
−4 1
3
1 2 −3
‖
‖.
−1 2
3
(Примерный вариант)
Тема №4. Системы линейных уравнений.
a)
Решить систему линейных уравнений по методу Крамера:
𝑥 − 3𝑦 − 4𝑧 = 4
𝑦 − 3𝑧 = −1
i.
{2𝑥 +
3𝑥 − 2𝑦 −
𝑧 = 11
2𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 3
ii.
{ 𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
3𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 6
b) Найти решение системы линейных уравнений методом Гаусса:
2x1 + 3x2 − 4x3 −
x4 = 0
x1 + 3x2 + 2x3 − 3x4 = 3
i.
{
3x1 + 6x2 − 2x3 + 4x4 = 3
5x1 +
x2 − 6x3 + 3x4 = 3
2x1 − 2x2 − 2x3 +
x4 = −1
3x1 +
x2 − 3x3 −
x4 =
0
ii.
{
x1 + 3x2 −
x3 − 2x4 =
1
4x1 + 4x2 − 4x3 − 3x4 =
1
c) Найти систему фундаментальных решений системы линейных однородных уравнений:
4x1 + 3x2 +
x3 − 7x4 − 2x5 = 0
x
−
3x
−
6x
+ x5 = 0
i.
{ 1
2
3 − 2x 4
5x1 − 5x2 + 7x3 − 3x4 + x5 = 0
2x1 − 5x2 −
3x3 +
3x4 = 0
3x1 + 3x2 +
7x3 −
9x4 = 0
ii.
{
5x1 − 3x2 +
4x3 −
6x4 = 0
x1 + 8x2 + 10x3 − 12x4 = 0
d) Укажите, при каких значениях параметра t следующие системы совместны, несовместны, имеют
единственное решение, имеют бесконечное число решений:
2𝑥1 +
𝑥2 + 2𝑥3 + 2𝑥4 = 2
2𝑥1 + 9𝑥2 +
+ 4𝑥4 = 2
i.
{
2𝑥1 + 5𝑥2 +
𝑥3 + 3𝑥4 = 2
2𝑥1 − 3𝑥2 + 3𝑥3 + 𝑡𝑥4 = 7
© Тюменский государственный университет
© Институт математики и компьютерных наук
© Кафедра алгебры и математической логики
© Платонов М. Л.
© 2009
Рабочая программа “Алгебра и теория чисел” для специальности 010503.65 “Математическое обеспечение и администрирование информационных систем”
𝑥1
4𝑥1
{
4𝑥1
3𝑥1
ii.
+
−
−
+
2𝑥2
𝑥2
𝑥2
𝑡𝑥2
−
+
+
+
𝑥3
3𝑥3
𝑡𝑥3
4𝑥3
=
=
=
=
1
0
0
−1
(Примерный вариант)
Тема №5. Поле комплексных чисел.
a)
b)
c)
d)
Найти сумму, разность, произведение и частное двух комплексных чисел z1=3+2i и z2=-1-i.
Найти тригонометрическую форму комплексного числа z=4+2i.
Найти алгебраическую форму комплексного числа z=cos(3π/4)-sin(3π/4).
Найти (3+i)5.
e)
Найти √−
3
1
1−𝑖
.
(Примерный вариант)
Тема №6. Кольцо многочленов.
a) Пусть f(x)∈P[x], c∈P. Докажите, что f(x)-f(c) ⋮ x-c.
b) Найдите частное и остаток при делении:
i.
x4+2x2 +20x+7 на x+3;
ii.
x3+x2-7 на x+4+4i
c) Разложить многочлен x4-8x3+24x2-50x+22 по степеням x-2.
d) Найдите кратность корня c многочлена f(x), если c=1 и f(x)=2x4-7x3+9x2-5x+1.
e) Докажите, что 100x100-50x50+10x10-5x5+x-56 ⋮ x-1.
f) При каких значениях p и q x16-3x9+4x4+px2+qx ⋮ x2-1.
g) Найдите НОД и НОК двух многочленов (x3-8)(x2-4x+4) и (x2-4)3
h) Решить уравнение x4+2x3+2x2+6x-3=0.
i)
𝑥 3 −𝑥 2 +2𝑥−3
Разложите на элементарные дроби (𝑥 2
−4𝑥+4)(𝑥−2)2
.
(Примерный вариант)
Тема №7. Линейные пространства.
Пусть φ:L1⟶L2 — изоморфизм между линейными пространствами. Докажите, что система векторов a1,
a2, …, ak из L:
i.
Линейно зависима тогда и только тогда, когда линейно зависима система их образов a1’, a2’, …, ak’.
ii.
Линейно независима тогда и только тогда, когда линейно независима система их образов a1’, a2’,
…, ak’.
iii.
Является максимальной линейно независимой тогда и только тогда, когда максимальной линейно
независимой является система их образов.
b) Докажите, что каждая из следующих систем векторов является базисом пространства ℂ над полем ℝ:
i.
1, i.
ii.
1+i, 1-i.
c) Проверьте, образует ли каждая из следующих систем векторов базис в пространстве ℝ4, и найдите
координаты вектора x=(1,2,3,4) в каждом из этих базисов:
i.
a1=(1,1,1,1), a2=(1,-1,1,-1), a3=(1,-1,1,1), a4=(1,-1,-1,-1).
ii.
a1=(1,2,3,0), a2=(1,2,0,3), a3=(1,0,2,3), a4=(0,1,2,3).
iii.
a1=(1,-2,-3,5), a2=(-4,2,-1,3), a3=(1,-5,2,-4), a4=(-2,-5,-2,4).
d) Проверьте, образует ли каждая из следующих систем многочленов в пространстве многочленов ≤4, и
найдите координаты многочлена f(x)=5x4-4x3+3x2-2x+1 в каждом из этих базисов:
i.
1, x, x2, x3, x4.
ii.
1-x4, x-x4, x2-x4, x3-x4, x4.
iii.
1, x-1, (x-1)2, (x-1)3, (x-1)4.
a)
© Тюменский государственный университет
© Институт математики и компьютерных наук
© Кафедра алгебры и математической логики
© Платонов М. Л.
© 2009
Рабочая программа “Алгебра и теория чисел” для специальности 010503.65 “Математическое обеспечение и администрирование информационных систем”
e)
Докажите, что множество матриц порядка n над полем K с операциями – сложением матриц и
умножением матрицы на число из K – является n2-мерным векторным пространством над K.
f) Докажите, что в n-мерном векторном пространстве:
i.
Любая линейно независимая система из n векторов является базисом.
ii.
Любую линейно независимую систему можно дополнить до базиса.
(Примерный вариант)
a)
Докажите, что подмножество M линейного пространства L над полем K является его
подпространством тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:
i.
M≠∅;
ii.
a, b∈M → a+b∈M;
iii.
a∈L, k∈K → ka∈M.
b) Докажите, что следующие подмножества пространства ℝn являются его подпространствами:
i.
{(a1,a2,…,an)| an=0}.
ii.
{(a1,a2,…,an)| a1+a2+…+an=0}.
iii.
{(a1,a2,…,an)| a1-a2+..+(-1)nan=0}.
c) Пусть L – линейное пространство над полем P, a1,a2,…,an – система векторов из L и L(a1,a2,…,an) –
множество всех конечных линейных комбинаций из векторов этой системы. Докажите, что:
i.
L(a1,a2,…,an) – подпространство пространства L;
ii.
Размерность подпространства L(a1,a2,…,an) равна рангу системы векторов a1,a2,…,an.
d) Найдите размерность и базис линейного подпространства, натянутого на систему векторов:
i.
a1(3, 11, 5, 4), a2(4, 12, 5, 10), a3(1, 13, 6, 4), a4(3, 11, 9,2).
ii.
a1(0, 1, 6, 3, 2), a2(5, 3, 1, 1, 0), a3(4, 2, 4, 2, 1), a4(6, -5, 6, -3, -1), a5(0, -5, -2, -3, -1).
e) Докажите, что множество решений системы линейных однородных уравнений с n неизвестными с
коэффициенты из поля P является подпространством пространства всех решений соответствующей ей
системы линейных неоднородных уравнений.
f) Пусть L – линейное пространство. Докажите, что:
i.
Сумма конечного числа подпространств пространства L является его подпространством;
ii.
Пересечение любого количества подпространств пространства L является его подпространством:
iii.
Линейная оболочка L(a1,a2,…,an) векторов a1,a2,…,an совпадает с пересечением всех
подпространств пространства L, содержащих эти векторы.
iv.
Пусть L(a1,a2,…,ak) и L(b1,b2,…,bl) – линейные оболочки систем векторов a1,a2,…,ak и b1,b2,…,bl
соответственно. Максимальная линейно независимая подсистема системы a1,a2,…,ak,b1,b2,…,bl
является базисом подпространства L(a1,a2,…,ak)+ L(b1,b2,…,bl).
g) Найдите базис и размерность суммы и пересечения подпространств, натянутых на систему векторов:
a1(1, 2, 1, 0)
b1(2, -1, 0, 1)
a2(-1, 1, 1, 1)
b2(1, -1, 3, 7)
h) Построить линейное многообразие решений системы и найти его размерность:
𝑥1 + 3𝑥2 + 2𝑥3 = 1
2𝑥1 −
𝑥2 + 3𝑥3 = 3
{
3𝑥1 − 5𝑥2 + 4𝑥3 = 5
𝑥1 + 17𝑥2 + 4𝑥3 = −1
(Примерный вариант)
Является ли линейным пространством над полем вещественных чисел:
a)
Множество всех векторов плоскости с общим началом в точке O:
Концы которых лежат на одной прямой;
Каждый из которых лежит на одной из осей координат OX и OY;
Концы которых лежат в первой четверти системы координат;
b) Множество векторов пространства компоненты которых:
i.
Являются целыми числами;
ii.
Удовлетворяют тому условию, что их сумма равна нулю;
iii.
Удовлетворяют тому условию, что их сумма равна единице;
iv.
С четными номерами равны между собой.
i.
ii.
iii.
© Тюменский государственный университет
© Институт математики и компьютерных наук
© Кафедра алгебры и математической логики
© Платонов М. Л.
© 2009
Рабочая программа “Алгебра и теория чисел” для специальности 010503.65 “Математическое обеспечение и администрирование информационных систем”
(Примерный вариант)
a) Система векторов x, y, z линейно независима. Будет ли линейно независимой система x+y, y+z, z+x?
b) Доказать, что система из четырех векторов a1(1,0,0), a2(0,1,0), a3(0,0,1), a4(1,1,1) является линейно
зависимой и что любая система из этих трех векторов является линейно независимой.
c) В пространстве всех непрерывных функций на отрезке (a,b) выбраны четыре функции x1(t)=1, x2(t)=t,
x3(t)=t2, x4(t)=1+t+t2. Доказать, что система из четырех этих функций линейно зависима и любая
система из трех этих функций линейно независима.
d) Доказать, что если система a1, a2,…, ak линейно независима и b=λ1a1+λ2a2+…+λkak, то указанное
представление вектора b единственно.
(Примерный вариант)
a)
Каким должно быть число ζ, чтобы система векторов (0,1,ζ), (ζ,0,1), (ζ,1,ζ) являлась базисом
трехмерного линейного векторного пространства?
b) Доказать, что совокупность симметрических вещественных матриц порядка n образует линейное
пространство над R, если за операции взять сложение матриц и умножение матрицы на
действительное число. Найти базис и размерность этого пространства.
c) Те же вопросы для совокупности кососимметрических матриц порядка n (т.е. матриц, у которых aij=aji).
d) Найти какой-нибудь базис и размерность линейного пространства, состоящего из тех векторов,
компоненты которых удовлетворяют условию x1+x2+…+xn=0.
e) Рассмотрим множество всех тех векторов линейного пространства размерности n, каждая компонента
которых равна 0 либо 1. Сколько различных базисов содержится в этом множестве?
(Примерный вариант)
Тема №8. Линейные отображения и преобразования линейных пространств.
a)
Докажите, что в пространстве L следующие преобразования являются линейными:
i.
0x=0 для любого x∈L;
ii.
Ex=x для любого x∈L;
iii.
Ax=kx для любого x∈L.
b) Пусть L – n-мерное векторное пространство над полем K, e1, e2, …, en – базис в L, 𝑥 = ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 𝑒𝑖 .докажите,
что следующие преобразования пространства L – линейные:
i.
𝐴𝑥 = ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 𝑒𝑖 .
ii.
𝐴𝑥 = ∑𝑛𝑖=1 𝑘𝑖 𝑥𝑖 𝑒𝑖 , ki∈K.
c) Пусть L – линейное пространство над полем K, A – линейное преобразование пространства L. Докажите,
что при любых x1, x2, …, xn∈L и k1, k2, …, kn∈K: 𝐴(∑𝑛𝑖=1 𝑘𝑖 𝑥𝑖 ) = ∑𝑛𝑖=1 𝑘𝑖 𝐴𝑥𝑖 .
d) Пусть a1, a2, …, an – система векторов в пространстве L, A – линейный оператор пространства L. Докажите,
что:
i.
Если система векторов a1, a2, …, an линейно зависима, то и система векторов Aa1, Aa2, …, Aan
(образов векторов a1, a2, …, an)линейно зависима.
ii.
Если система Aa1, Aa2, …, Aan линейно независима, то система векторов a1, a2, …, an линейно
независима.
e) Пусть V3 – линейное пространство, A - оператор поворота на π/2 вокруг оси OX (от OY к OZ), B – оператор
поворота на π/2 вокруг оси OY (от OZ к OX). Докажите, что:
i.
A4=B4=E.
ii.
AB≠BA.
f) Найдите образ и ядро линейных оператора дифференцирования в пространстве многочленов степени ≤n.
g) В пространстве многочленов степени ≤n найдите матрицу оператора дифференцирования в базисе
1,x,x1,…,xn.
h) Пусть e1, e2, e3, e4 – базис линейного пространства, матрица линейного преобразования в данном базисе
имеет вид
1 2
0 1
3 0 −1 2
(
)
2 5
3 1
1 2
1 3
© Тюменский государственный университет
© Институт математики и компьютерных наук
© Кафедра алгебры и математической логики
© Платонов М. Л.
© 2009
Рабочая программа “Алгебра и теория чисел” для специальности 010503.65 “Математическое обеспечение и администрирование информационных систем”
Найти матрицу этого линейного преобразования в базисе
f1=2e1+3e2+4e3+5e4
f2=3e1+3e2+4e3+5e4
f3=4e1+4e2+3e3+5e4
f4=5e1+5e2+5e3+5e4
i) Пусть A – линейный оператор на K3, x=(x1, x2, x3). Найдите ранг и дефект оператора A, а также базис образа
и ядра: Ax=(x1-2x2+3x3, x1-2x2+3x3, x1+2x2+3x3).
j) Докажите, что в линейном пространстве любое подпространство инвариантно относительно следующих
операторов:
i.
Тождественного;
ii.
Нулевого;
iii.
Подобия;
iv.
Проектирования.
k) Пусть A – линейный оператор пространства L. Докажите, что:
i.
Система собственных векторов x1, x2, …, xn оператора A с попарно различными собственными
значениями k1, k2, …, kn линейно независима;
ii.
Если пространство L является n-мерным, то оператор A имеет не более n различных собственных
значений;
iii.
Если пространство L является n-мерным, а оператор A имеет n различных собственных значений,
то существует базис пространства L, состоящий из собственных векторов;
iv.
Нулевой вектор и все собственные векторы, отвечающие данному собственному значению,
образуют подпространства пространства L;
l) В пространстве ℝ3 найдите собственные значения и собственные векторы линейного оператора,
заданного матрицей:
−1 −5
2
i.
(−1 −2 −1).
4
5
1
3 −6
9
ii.
( 1 −2
3).
−3
6 −9
m) В пространстве ℂ3 найдите собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного
матрицей:
2 −1 −1
i.
(1
1 −1).
1 −1
1
2 1 0
ii.
(0 2 1).
2 1 3
(Примерный вариант)
Тема №9. Евклидовы и унитарные пространства.
a)
Докажите, что следующие формулы определяют скалярное произведение:
i.
В пространстве ℝn: если a=(a1,a2,…,an) и b=(b1,b2,…,bn), то (a,b)=a1b1+a2b2+…+anbn.
𝑏
ii.
В пространстве C[a,b]: (𝑓, 𝑔) = ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 .
iii.
В пространстве Mn(ℝ): (𝐴, 𝐵) = ∑𝑛𝑖,𝑘=1 𝑎𝑖𝑘 𝑏𝑖𝑘 .
𝑛
𝑚
b) Докажите, что в евклидовом пространстве (∑𝑛𝑖=1 𝑘𝑖 𝑎𝑖 , ∑𝑚
𝑗=1 𝑙𝑗 𝑏𝑗 ) = ∑𝑖=1 ∑𝑗=1 𝑘𝑖 𝑙𝑗 (𝑎𝑖 , 𝑏𝑗 ).
c) Докажите, что для любых ai, bi∈ℝ: |∑𝑛𝑖=1 𝑎𝑖 𝑏𝑖 | ≤ √∑𝑛𝑖=1 𝑎𝑖2 √∑𝑛𝑖=1 𝑏𝑖2 .
d) Докажите, что в евклидовом пространстве E:
i.
a⊥a ↔ a=0;
ii.
0⊥a при любом a∈E;
iii.
Если вектор a ортогонален любому вектору пространства E, то a=0;
iv.
Если вектора a ортогонален каждому из векторов b1, b2, …, bn, то он ортогонален любой их
линейной комбинации;
v.
Система ненулевых попарно ортогональных векторов линейно независима.
e) Докажите, что в евклидовом пространстве |a|=|b| ↔ a+b⊥a-b.
f) Ортонормируйте систему векторов пространства ℝ4: a1=(1,1,1,1), a2=(1,1,-3,-3), a3=(4,3,0,-1).
g) Покажите, что система векторов ортогональна, дополните ее до ортогонального базиса и нормируйте:
© Тюменский государственный университет
© Институт математики и компьютерных наук
© Кафедра алгебры и математической логики
© Платонов М. Л.
© 2009
Рабочая программа “Алгебра и теория чисел” для специальности 010503.65 “Математическое обеспечение и администрирование информационных систем”
a1=(1,-1,1,-1), a2=(1,1,1,1).
h) Постройте ортонормированный базис подпространства, натянутого на систему векторов:
a1=(3,0,0,2), a2=(1,2,2,4), a3=(3,0,-6,-13), a4=(-1,2,4,9).
i) Пусть M – подпространство евклидова пространства E. Докажите, что:
i.
Множество M⊥ всех векторов из E, ортогональных каждому вектору из M, является
подпространством пространства E;
ii.
Если e1, e2, …, en – базис подпространство M, f1, f2, …, fm – базис подпространства M⊥, то e1, e2, …,
en,, f1, f2, …, fm – базис подпространства E;
iii.
E=M+M⊥.
j) В евклидовом пространстве ℝ4 найдите ортонормированный базис ортогонального дополнения к
линейной оболочке системы векторов: a1=(4,10,-1,4), a2=(1,1,-1,-2), a3=(2,4,-1,0).
(Примерный вариант)
Тема №10. Преобразования евклидовых и унитарных пространств.
Доказать, что поворот плоскости на угол 𝛼 вокруг начала координат является линейным
преобразованием, и найти матрицу этого преобразования в любом ортонормированном базисе, если
положительное направление отсчета углов совпадает с направлением кратчайшего поворота,
переводящего первый базисный вектор во второй.
1
0
0
b) Выясните, является ли матрица линейного преобразования (0 𝑐𝑜𝑠𝜑 −𝑠𝑖𝑛𝜑 ) ортогональной?
0 𝑠𝑖𝑛𝜑 𝑐𝑜𝑠𝜑
c) Векторы a1=(1,2) и a2=(1,0) заданы своими координатами в некотором ортонормированном базисе
2
6
пространства L и сами образуют базис этого пространства. Матрица (
) в базисе a1, a2 задает
2 −6
линейное преобразование пространства L. Найдите в этом базисе матрицу преобразования, сопряженного
данному.
d) Найти матрицу линейного преобразования, переводящего векторы a1, a2, a3 соответственно в векторы b1,
b2, b3, в том же базисе, в котором даны координаты векторов:
i.
a1=(2,3,5), a2=(0,1,2), a3=(1,0,0)
b1=(1,1,1), b2=(1,1,-1), b3=(2,1,2).
ii.
a1=(2,0,3), a2=(4,1,5), a3=(3,1,2)
b1=(1,2,-1), b2=(4,5,-2), b3=(1,-1,1).
e) .пусть линейное преобразование 𝜑 пространства 𝑹𝑛 переводит линейно независимые векторы a1, a2, …, an
в векторы b1, b2, …, bn соответственно. Доказать, что матрицу 𝐴𝜑 этого преобразования в некотором базисе
e1, e2, …, en можно найти из равенства 𝐴𝜑 = 𝐵𝐴−1 , где столбцы матриц A и B состоят из координат
векторов a1, a2, …, an и соответственно b1, b2, …, bn относительно базиса e1, e2, …, en.
𝑎 𝑏
f) Показать, что левое и правое умножение матрицы второго порядка на матрицу (
) являются
𝑐 𝑑
линейными преобразованиями пространства всех матриц второго порядка, и найти матрицы этих
преобразований в базисе, состоящем из матриц:
1 0
0 0
0 1
0 0
(
),(
),(
),(
).
0 0
1 0
0 0
0 1
g) Показать, что дифференцирование является линейным преобразованием пространства всех многочленов
степени не превышающей n от одного неизвестного с вещественными коэффициентами.
Найти матрицу этого преобразования в базисе:
i.
1, x, x2, …, xn;
a)
(x−a)2
(x−a)n
ii.
1, x-a,
, …,
, где a=const.
2!
n!
h) Линейное преобразование 𝜑 в базисе e1, e2, e3, e4 имеет матрицу
1 2
0 1
3 0 −1 2
(
)
2 5
3 1
1 2
1 3
Найти матрицу этого преобразования в базисе:
i.
e1, e1+e2, e1+e3, e1+e4;
ii.
e1, e1+e2, e1+e2+e3, e1+e2+e3+e4.
i) Линейное преобразование 𝜑 в базисе a1=(8,-6,7), a2=(-16,7,-13), a3=(9,-3,7) имеет матрицу
© Тюменский государственный университет
© Институт математики и компьютерных наук
© Кафедра алгебры и математической логики
© Платонов М. Л.
© 2009
Рабочая программа “Алгебра и теория чисел” для специальности 010503.65 “Математическое обеспечение и администрирование информационных систем”
j)
k)
1 −18 15
(−1 −22 15).
1 −25 22
Найти матрицу преобразования 𝜑 в базисе b1=(1,-2,1), b2=(3,-1,3), b3=(2,1,2).
3 5
Пусть преобразование 𝜑 в базисе a1=(1,2), a2=(2,3) имеет матрицу (
). Преобразование 𝜓 в базисе
4 3
4 6
b1=(3,1), b2=(4,2) имеет матрицу (
). Найти матрицу преобразования 𝜑 + 𝜓 в базисе b1, b2.
6 9
2 −1
Пусть преобразование 𝜑 в базисе a1=(-3,7), a2=(1,-2) имеет матрицу (
). Преобразование 𝜓 в базисе
5 −3
1 3
b1=(6,-7), b2=(-5,6) имеет матрицу (
). Найти матрицу преобразования 𝜑𝜓 в базисе b1, b2.
2 7
(Примерный вариант)
Тема №11. Функции на линейных пространствах.
a) Найти матрицу квадратичной формы 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ) = 2𝑥12 + 3𝑥22 + 4𝑥32 − 2𝑥1 𝑥2 + 4𝑥1 𝑥3 − 3𝑥2 𝑥3 .
b) Найти невырожденное преобразование, приводящее квадратичную форму 2𝑥12 + 3𝑥22 + 4𝑥32 − 2𝑥1 𝑥2 +
4𝑥1 𝑥3 − 3𝑥2 𝑥3 к каноническому виду.
c) Найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму 8𝑥12 − 7𝑥22 + 8𝑥32 + 8𝑥1 𝑥2 −
2𝑥1 𝑥3 + 8𝑥2 𝑥3 к каноническому виду.
d) Привести методом Лагранжа квадратичную форму 2𝑥12 + 3𝑥22 + 4𝑥32 − 2𝑥1 𝑥2 + 4𝑥1 𝑥3 − 3𝑥2 𝑥3 к
каноническому виду.
e) Выяснить, являются ли эквивалентными квадратичными формы
𝑥12 + 2𝑥22 − 𝑥32 + 4𝑥1 𝑥2 − 2𝑥1 𝑥3 − 4𝑥2 𝑥3 и −4𝑥12 − 𝑥22 − 𝑥32 − 4𝑥1 𝑥2 + 4𝑥1 𝑥3 + 18𝑥2 𝑥3 .
(Примерный вариант)
Тема №12. Аффинные и точечные пространства.
Найти параметрические уравнения плоскости, заданной общими уравнениями:
x1 + x2 − 2x3 + 3x4 = 1
i.
{ x1 + 2x2 − x.3 + 2x4 = 3
x1 − x2 − 4x3 + 5x4 = −3
2𝑥1 − 𝑥2 + 𝑥3 + 2𝑥4 + 3𝑥5 = 2
6𝑥1 − 3𝑥2 + 2𝑥3 + 4𝑥4 + 5𝑥5 = 3
ii.
{
6𝑥1 − 3𝑥2 + 4𝑥3 + 8𝑥4 + 13𝑥5 = 9
4𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 2𝑥5 = 1
b) Найти общее уравнение плоскости, заданной параметрическими уравнениями:
𝑥1 = 2 + 𝑡1 + 𝑡2
𝑥2 = 1 + 2𝑡1 + 𝑡2
𝑥3 = −3 + 𝑡1 + 𝑡2
i.
𝑥4 = 3 + 3𝑡1 + 𝑡2
{ 𝑥5 = 1 + 𝑡1 + 3𝑡2
𝑥1 = 1 + 𝑡1 + 𝑡2
𝑥2 = 2 + 𝑡2
𝑥3 = 5 − 𝑡1 + 3𝑡2
ii.
𝑥4 = 3 + 2𝑡1 − 𝑡2
{𝑥5 = 1 + 3𝑡1 − 2𝑡2
c) Доказать, что любая плоскость π аффинного пространства сама является аффинным пространством,
размерность которого равна размерности π.
a)
(примерный вариант)
Тема №13. Преобразования аффинных пространств.
a)
Докажите, что при параллельной проекции фигуры с одной плоскости на другую, фигура на второй
i.
совпадает с тем, что изображено на первой, если плоскости параллельны;
© Тюменский государственный университет
© Институт математики и компьютерных наук
© Кафедра алгебры и математической логики
© Платонов М. Л.
© 2009
Рабочая программа “Алгебра и теория чисел” для специальности 010503.65 “Математическое обеспечение и администрирование информационных систем”
ii.
является растяжением (сжатием) того, что изображено на первой плоскости, относительно
прямой пересечения плоскостей, если плоскости пересекаются.
a) Что такое гомотетия с коэффициентом
i.
Равным 1;
ii.
Равным -1.
b) Какое преобразование обратно гомотетии с коэффициентом
i.
Равным 10;
1
ii.
Равным − .
2
c)
Докажите, что гомотетия относительно точки является аффинным преобразованием.
d) Докажите, что гомотетию относительно точки можно представить как композицию двух растяжений или
сжатий относительно перпендикулярных прямых, проходящих через заданную точку.
e) Докажите, что при гомотетии все расстояния увеличиваются или уменьшаются.
f)
Докажите, что при гомотетии окружности переходят в окружности, а правильные треугольники - в
правильные треугольники.
g) Докажите, что композиция двух гомотетий есть гомотетия, причем центры этих гомотетий лежат на одной
прямой.
h) Докажите, что композиция гомотетии с коэффициентом не равным единице и параллельного переноса
есть гомотетия с тем же самым коэффициентом, но относительно другой точки.
i)
Докажите, что при аффинном преобразовании пересекающиеся прямые переходят в пересекающиеся,
параллельные прямые – в параллельные, параллелограмм – в параллелограмм, трапеция – в трапецию
j)
Докажите, что отношение длин отрезков на одной и той же прямой при аффинном преобразовании
сохраняется
k) Докажите, что отношение длин отрезков на параллельных прямых при аффинном преобразовании
сохраняется.
l)
Докажите, что при аффинном преобразовании выпуклая фигура переходит в выпуклую фигуру.
m) Докажите, что применяя движения, растяжения и сжатия можно получить любое аффинное
преобразование.
(Примерный вариант)
Тема №14. Элементы теории чисел.
a)
b)
c)
d)
e)
5.4.
Является ли отношение делимости ⋮:
i.
Отношением порядка на множестве натуральных чисел;
ii.
Отношением порядка на множестве целых чисел;
iii.
Симметричным, антисимметричным, транзитивным на множестве целых чисел.
Найдите a и b, если при любом целом n имеет место: n3+an+b ⋮ n2+1.
Найдите все числа большие 25000, но меньшие 30000, у которых как при делении на 131, так и при
делении на 1965 остаток равен 125.
Было 7 листов бумаги. Некоторые из них разрезали на 7 кусков каждый. Затем некоторые из
получившихся кусков снова разрезали на 7 кусков и так сделали несколько раз. Могло ли в результате
получиться 1973 куска?
𝑎𝑏
Докажите, что НОК(𝑎, 𝑏) =
.
НОД(𝑎,𝑏)
Перечень тем контрольных и тестовых заданий для самостоятельной
работы.
Типовые варианты тестовых и контрольных заданий
Контрольная работа по теме «Матрицы и детерминанты»
(часть 1)
(демонстрационная версия)
1.
Выполнить указанные действия над матрицами и найти:
© Тюменский государственный университет
© Институт математики и компьютерных наук
© Кафедра алгебры и математической логики
© Платонов М. Л.
© 2009
Рабочая программа “Алгебра и теория чисел” для специальности 010503.65 “Математическое обеспечение и администрирование информационных систем”
a. Матрицу, получившуюся в результате выполнения арифметических действий;
b. Значение детерминанта этой матрицы, пользуясь теоремой Лапласа или следствием
из неё;
c. При
помощи
элементарных
преобразований
привести
определитель
результирующей матрицы к треугольному виду.
𝑻
(
2.
−𝟐 −𝟐
𝟕
𝟑
(‖
𝟎 −𝟔
𝟔 −𝟑
−𝟓
𝟎
𝟓
−𝟏 −𝟒
−𝟑
‖−‖
𝟓
𝟎
−𝟔
𝟕
𝟕
−𝟔
𝟒 −𝟔
−𝟔
𝟓
𝟒 −𝟔
𝟏
𝟕
−𝟔
−𝟓
−𝟏
𝟐
‖) × ‖
−𝟏
𝟐
−𝟔
𝟐
𝟔
−𝟔
−𝟐
𝟔
−𝟑
−𝟒
−𝟏
−𝟐
𝟎
−𝟏
‖
𝟔
𝟒
)
Найти матрицу, обратную к данной матрице:
−𝟒
‖−𝟔
𝟏
−𝟒 −𝟑
−𝟓 −𝟏‖
𝟔 −𝟑
Контрольная работа по теме «Системы линейных уравнений»
(часть 2)
(демонстрационная версия)
1.
Найти решение системы линейных уравнений методом Крамера:
−𝒙 +
{−𝟕𝒙 +
𝒙 −
2.
𝟓𝒛
𝟓𝒛
𝟗𝒛
= −𝟓
=
𝟖
= −𝟑
Найти решение матричного уравнения:
𝟐
𝑿 × ‖−𝟗
𝟒
3.
𝟓𝒚 −
𝟑𝒚 +
𝟕𝒚 −
−𝟐 −𝟑
−𝟑
𝟒
−𝟗 −𝟑‖ = ‖ 𝟑
𝟔
−𝟓 −𝟔
𝟏 −𝟖
−𝟏
−𝟐‖
−𝟓
Найти общее и частное решения системы неоднородных линейных уравнений методом
последовательного исключения неизвестных.
Найти общее и фундаментальные решения системы однородных линейных уравнений,
соответствующей неоднородной исходной системе.
Выразить общее решение неоднородной системы через общее решение однородной
системы.
𝟒𝟐𝒙𝟏
−𝟐𝟏𝒙𝟏
{
𝟑𝟑𝒙𝟏
𝟑𝒙𝟏
© Тюменский государственный университет
© Институт математики и компьютерных наук
© Кафедра алгебры и математической логики
© Платонов М. Л.
© 2009
+ 𝟏𝟖𝒙𝟐
−
𝟗𝒙𝟐
+ 𝟐𝟏𝒙𝟐
+ 𝟐𝟕𝒙𝟐
−
−
+
+
𝟐𝟖𝒙𝟑
𝟏𝟒𝒙𝟑
𝟐𝟐𝒙𝟑
𝟐𝒙𝟑
=
𝟏𝟏𝟖
=
𝟗𝟓
= −𝟏𝟔𝟑
=
−𝟔𝟓
Рабочая программа “Алгебра и теория чисел” для специальности 010503.65 “Математическое обеспечение и администрирование информационных систем”
Тестовые задания для самопроверки по темам
«Матрицы и детерминанты» и «Системы линейных уравнений»
(демонстрационная версия)
Линейная алгебра - Матрицы
1 2 3
−2 1 −4
В результате выполнения арифметического действия над матрицами ‖
‖+‖
‖
−2 4 −5
2 1 3
получится матрица …
Варианты ответов:
1
−1 3 −1
a)
b)
‖ ‖
‖
‖
3
0 5 −2
‖−1 8 −3‖
‖4‖
c)
d)
Линейная алгебра - Матрицы
1 −2
−2 2
В результате выполнения арифметического действия над матрицами ‖2
4‖ − ‖ 1 1‖ получится
3 −5
−4 3
матрица …
Варианты ответов:
−1 −4
3 −4
a)
b)
‖ 1
‖1
3‖
3‖
−1 −2
7 −8
0
‖2‖
c)
d)
‖ 4‖
−1
Линейная алгебра - Матрицы
3
1
В результате выполнения арифметического действия над матрицами ‖
‖ × (−3) получится
2 −9
матрица …
Варианты ответов:
3 1
3 −3
a)
b)
‖
‖
‖
‖
2 27
2 27
−9 −3
−9 −3
c)
d)
‖
‖
‖
‖
2 −9
−6 27
Линейная алгебра - Матрицы
2 1
1 −3
2
Выполните указанное действие и укажите результат ‖
‖ × ‖4 3‖
−4
1 −2
1 2
Варианты ответов:
0
0
−8 −4
a)
b)
‖
‖
‖
‖
−35 −30
−6 −5
2 −12
2
‖−45‖
c)
d)
‖
‖
−4
3 −4
© Тюменский государственный университет
© Институт математики и компьютерных наук
© Кафедра алгебры и математической логики
© Платонов М. Л.
© 2009
Рабочая программа “Алгебра и теория чисел” для специальности 010503.65 “Математическое обеспечение и администрирование информационных систем”
Линейная алгебра - Детерминанты
3 −5
Значение детерминанта |
| равно …
2 −3
Варианты ответов:
a)
3
b)
−3
c)
−90
d)
1
Линейная алгебра - Детерминанты
1 −2
3
Значение детерминанта | 3
1 −2| равно …
−1
3
2
Варианты ответов:
a)
46
b)
−46
c)
0
d)
8
Линейная алгебра - Детерминанты
1
3 −1 −2
2
2 −1 −2
Значение детерминанта |
| равно …
−4 −3
2
4
−4 −3
3
3
Варианты ответов:
a)
8
b)
−3
c)
0
d)
3
Линейная алгебра – Матрицы – Обратные матрицы
1
2 −2
К матрице ‖3 −1
4‖ обратной является матрица …
3
1
1
Варианты ответов:
−1 −2
2
a)
b)
‖−3
1 −4‖
−3 −1 −1
1
3 3
c)
‖ 2 −1 1‖
d)
−2
4 1
© Тюменский государственный университет
© Институт математики и компьютерных наук
© Кафедра алгебры и математической логики
© Платонов М. Л.
© 2009
−5 −4
6
‖ 9
7 −10‖
6
5
−7
−2
2 1
‖ 4 −1 3‖
1
1 3
Рабочая программа “Алгебра и теория чисел” для специальности 010503.65 “Математическое обеспечение и администрирование информационных систем”
Формулировка задания
Варианты ответов
Найти решение системы линейных уравнений методом
Крамера
a) (−2, 1, 3)
−𝑥
{−7𝑥
𝑥
+
+
−
5𝑦
3𝑦
7𝑦
−
+
−
5𝑧
5𝑧
9𝑧
=
=
=
−5
8
−3
b) (4, 1, −1)
c) (1, 4, 3)
d) (1, 1, 1)
Формулировка задания
Варианты ответов
Найти решение матричного уравнения
2 1
‖3 2
2 1
2
4 2
4‖ × 𝑋 = ‖6 4
3
4 2
4
8‖
6
2 2
a) ‖2 2
2 2
2
2‖
2
2 0
b) ‖0 2
0 0
0
0‖
2
c) 2
d) ‖2‖
Формулировка задания
Варианты ответов
Найти общее решение системы линейных
уравнений методом Гаусса
a) {𝑥1 ; 𝑥2 ; 4 − 2𝑥1 − 𝑥2 ; 5 − 3𝑥1 − 𝑥2 }
−𝑥1
2𝑥
{ 1
4𝑥1
6𝑥1
− 𝑥2 − 𝑥3
+ 3𝑥2 + 𝑥3
+ 𝑥2 − 𝑥3
− 𝑥2 − 3𝑥3
− 𝑥4 = −2
− 𝑥4 = 5
− 3𝑥4 = 1
− 5𝑥4 = −3
b) {𝑥1 ; 6 − 3𝑥1 − 2𝑥2 ; 𝑥3 ; 5 − 3𝑥1 − 𝑥2 }
c) {7 − 4𝑥2 − 2𝑥3 ; 𝑥2 ; 𝑥3 ; 9 − 5𝑥2 − 𝑥3 }
d) {3 − 𝑥3 − 𝑥4 ; 9 − 5𝑥2 − 𝑥3 ; 𝑥3 ; 𝑥4 }
© Тюменский государственный университет
© Институт математики и компьютерных наук
© Кафедра алгебры и математической логики
© Платонов М. Л.
© 2009
Рабочая программа “Алгебра и теория чисел” для специальности 010503.65 “Математическое обеспечение и администрирование информационных систем”
6.
Перечень вопросов к зачетам и экзаменам.
6.1.
6.1.1.
6.1.2.
6.1.3.
6.1.4.
6.1.5.
6.1.6.
6.1.7.
6.1.8.
6.1.9.
6.1.10.
6.1.11.
6.1.12.
6.1.13.
6.1.14.
6.1.15.
6.1.16.
6.1.17.
6.1.18.
6.1.19.
6.1.20.
6.1.21.
6.1.22.
6.1.23.
6.1.24.
6.1.25.
6.1.26.
6.1.27.
6.1.28.
6.1.29.
6.1.30.
6.1.31.
6.1.32.
6.1.33.
6.1.34.
6.1.35.
6.1.36.
6.1.37.
6.1.38.
6.1.39.
6.1.40.
6.1.41.
6.1.42.
6.1.43.
6.1.44.
6.1.45.
6.1.46.
6.1.47.
Перечень теоретических вопросов к зачетам и экзаменам.
Абелева группа
Абсолютно неприводимый многочлен
Аддитивная группа кольца
Алгебраическая операция
Алгебраическое дополнение
Алгебраическое число
Алгоритм деления с остатком
Алгоритм Евклида
Аргумент комплексного числа
Аффинное пространство
База пространства
Вектор
Векторное пространство
Вес члена многочлена
Взаимно простые многочлены
Вырожденная матрица
Вырожденное линейное преобразование неизвестных
Высший член многочлена
Главная диагональ матрицы
Главные миноры квадратной формы
Гомоморфизм
Границы корней многочлена
Группа
Движение
Двойная сумма
Действительная квадратичная форма
Действительная часть комплексного числа
Действительные числа
Деление матриц
Делитель единицы
Делитель многочлена
Делитель нуля
Детерминант
Дефект линейного преобразования
Диагональная форма числовой матрицы
Дискриминант
Дополнительный минор
Евклидово пространство
Единица группы
Единица поля
Единичная матрица
Единичный вектор
Задание линейного преобразования матрицей
Закон инерции
Значение многочлена
Изоморфизм групп
Изоморфизм евклидовых пространств
© Тюменский государственный университет
© Институт математики и компьютерных наук
© Кафедра алгебры и математической логики
© Платонов М. Л.
© 2009
Рабочая программа “Алгебра и теория чисел” для специальности 010503.65 “Математическое обеспечение и администрирование информационных систем”
6.1.48.
6.1.49.
6.1.50.
6.1.51.
6.1.52.
6.1.53.
6.1.54.
6.1.55.
6.1.56.
6.1.57.
6.1.58.
6.1.59.
6.1.60.
6.1.61.
6.1.62.
6.1.63.
6.1.64.
6.1.65.
6.1.66.
6.1.67.
6.1.68.
6.1.69.
6.1.70.
6.1.71.
6.1.72.
6.1.73.
6.1.74.
6.1.75.
6.1.76.
6.1.77.
6.1.78.
6.1.79.
6.1.80.
6.1.81.
6.1.82.
6.1.83.
6.1.84.
6.1.85.
6.1.86.
6.1.87.
6.1.88.
6.1.89.
6.1.90.
6.1.91.
6.1.92.
6.1.93.
6.1.94.
6.1.95.
6.1.96.
Изоморфизм колец
Изоморфизм линейных пространств
Инвариантность подпространства
Инварианты
Инверсия
Интерполяционная формула Лагранжа
Исключение неизвестного из системы уравнений
Канонический вид квадратичной формы
Квадратичная форма
Квадратная матрица
Квадратное уравнение
Кватернионы
Кольцо
Кольцо многочленов
Кольцо многочленов над кольцом
Комплексная квадратичная форма
Коммутативная группа
Комплексная плоскость
Комплексное линейное пространство
Комплексные числа
Компоненты вектора
Конечная группа
Конечное кольцо (поле)
Конечномерное пространство
Корень многочлена
Корни из единицы
Кососимметрический определитель
Кососимметрическая функция
Кратное элемента аддитивной группы
Кратное элемента кольца
Кратный корень многочлена
Критерий Эйзенштейна
Кубическое уравнение
Лексикографическая запись многочлена
Лемма Гаусса
Лемма Даламбера
Лемма о возрастании модуля многочлена
Лемма Гаусса о модуле старшего члена
Линейная зависимость векторов
Линейная комбинация векторов
Линейная комбинация строк матрицы
Линейная форма
Линейное подпространство
Линейное преобразование линейного пространства
Линейное преобразование неизвестных
Линейное пространство
Линейное уравнение
Максимальная линейно независимая система векторов
Матрица
© Тюменский государственный университет
© Институт математики и компьютерных наук
© Кафедра алгебры и математической логики
© Платонов М. Л.
© 2009
Рабочая программа “Алгебра и теория чисел” для специальности 010503.65 “Математическое обеспечение и администрирование информационных систем”
6.1.97.
6.1.98.
6.1.99.
6.1.100.
6.1.101.
6.1.102.
6.1.103.
6.1.104.
6.1.105.
6.1.106.
6.1.107.
6.1.108.
6.1.109.
6.1.110.
6.1.111.
6.1.112.
6.1.113.
6.1.114.
6.1.115.
6.1.116.
6.1.117.
6.1.118.
6.1.119.
6.1.120.
6.1.121.
6.1.122.
6.1.123.
6.1.124.
6.1.125.
6.1.126.
6.1.127.
6.1.128.
6.1.129.
6.1.130.
6.1.131.
6.1.132.
6.1.133.
6.1.134.
6.1.135.
6.1.136.
6.1.137.
6.1.138.
6.1.139.
6.1.140.
6.1.141.
6.1.142.
6.1.143.
6.1.144.
6.1.145.
Матрица квадратичной формы
Матрица линейного преобразования
Матрица перехода
Матричный корень уравнения
Матричный полином
Метод Гаусса
Метод Горнера
Метод линейной интерполяции
Минимальный многочлен линейного преобразования
Минор
Мнимая единица
Мнимая ось
Мнимая часть комплексного числа
Многочлен
Многочлен нулевой степени
Многочлен от нескольких неизвестных
Модуль комплексного числа
Мультипликативная группа поля
Наибольший общий делитель
Невырожденная квадратная матрица
Невырожденная квадратичная форма
Невырожденное линейное преобразование неизвестных
Невырожденное линейное преобразование пространства
Некоммутативная группа
Некоммутативное кольцо
Неопределенная квадратичная форма
Неопределенная система линейных уравнений
Неприводимый многочлен
Несовместная система линейных уравнений
Несократимая рациональная дробь
Несчетное множество
Нечетная перестановка
Нечетная подстановка
Нормальный вид квадратичной формы
Нормированный вектор
Нулевая матрица
Нулевая степень элемента группы
Нулевое кратное элемента кольца
Нулевое подпространство
Нулевое преобразование линейного пространства
Нулевое решение
Нулевой вектор
Нуль кольца
Область значений линейного преобразования
Образ вектора при преобразовании
Образ пространства
Обратная матрица
Обратная операция
Обратное линейное преобразование
© Тюменский государственный университет
© Институт математики и компьютерных наук
© Кафедра алгебры и математической логики
© Платонов М. Л.
© 2009
Рабочая программа “Алгебра и теория чисел” для специальности 010503.65 “Математическое обеспечение и администрирование информационных систем”
6.1.146.
6.1.147.
6.1.148.
6.1.149.
6.1.150.
6.1.151.
6.1.152.
6.1.153.
6.1.154.
6.1.155.
6.1.156.
6.1.157.
6.1.158.
6.1.159.
6.1.160.
6.1.161.
6.1.162.
6.1.163.
6.1.164.
6.1.165.
6.1.166.
6.1.167.
6.1.168.
6.1.169.
6.1.170.
6.1.171.
6.1.172.
6.1.173.
6.1.174.
6.1.175.
6.1.176.
6.1.177.
6.1.178.
6.1.179.
6.1.180.
6.1.181.
6.1.182.
6.1.183.
6.1.184.
6.1.185.
6.1.186.
6.1.187.
6.1.188.
6.1.189.
6.1.190.
6.1.191.
6.1.192.
6.1.193.
6.1.194.
Обратный элемент в группе
Обратный элемент в поле
Общее решение системы линейных уравнений
Общий делитель многочленов
Однородное уравнение
Однородный многочлен
Определенная система линейных уравнений
Определитель
Определитель системы линейных уравнений
Ортогональная база
Ортогональная матрица
Ортогональное преобразование евклидова пространства
Ортогональное преобразование неизвестных
Ортогональные векторы
Ортонормированная база
Основная теорема алгебры комплексных чисел
Основная теорема о квадратичных формах
Основная теорема о линейной зависимости
Основная теорема о рациональных дробях
Основная теорема о симметрических многочленах
Остаток от деления многочленов
Отделение корней многочлена
Отрицательно определенная квадратичная форма
Отрицательные кратные элемента кольца
Отрицательные степени элемента группы
Отрицательные степени элемента поля
Отрицательный индекс инерции
Пара квадратичных форм
Первообразный корень из единицы
Пересечение подпространств
Перестановка
Подгруппа
Подполе
Подстановка
Поле
Поле разложения многочлена
Поле рациональных дробей
Полиномиальные матрицы
Положительно определенная квадратичная форма
Положительный индекс инерции
Полуопределенная квадратичная форма
Порождение подгруппы элементами
Порядок конечной группы
Порядок элемента группы
Правила вычисления ранга матрицы
Правило Крамера
Правильная рациональная дробь
Преобразование пространства
Приведение квадратичной формы к главным осям
© Тюменский государственный университет
© Институт математики и компьютерных наук
© Кафедра алгебры и математической логики
© Платонов М. Л.
© 2009
Рабочая программа “Алгебра и теория чисел” для специальности 010503.65 “Математическое обеспечение и администрирование информационных систем”
6.1.195.
6.1.196.
6.1.197.
6.1.198.
6.1.199.
6.1.200.
6.1.201.
6.1.202.
6.1.203.
6.1.204.
6.1.205.
6.1.206.
6.1.207.
6.1.208.
6.1.209.
6.1.210.
6.1.211.
6.1.212.
6.1.213.
6.1.214.
6.1.215.
6.1.216.
6.1.217.
6.1.218.
6.1.219.
6.1.220.
6.1.221.
6.1.222.
6.1.223.
6.1.224.
6.1.225.
6.1.226.
6.1.227.
6.1.228.
6.1.229.
6.1.230.
6.1.231.
6.1.232.
6.1.233.
6.1.234.
6.1.235.
6.1.236.
6.1.237.
6.1.238.
6.1.239.
6.1.240.
6.1.241.
6.1.242.
6.1.243.
Приведенная система линейных уравнений
Приводимый многочлен
Примитивный многочлен
Присоединение элемента к полю
Присоединенная матрица
Произведение вектора на число
Произведение линейного преобразования на число
Произведение линейных преобразований
Произведение матриц
Произведение матрицы на число
Произведение многочленов
Производная многочлена
Пропорциональные векторы
Простейшая рациональная дробь
Простой корень многочлена
Простой множитель многочлена
Простой спектр линейного преобразования
Простой элемент кольца
Противоположный вектор
Противоположный элемент в кольце
Процесс ортогонализации
Прямоугольная матрица
Равенство многочленов
Разложение многочлена на линейные множители
Разложение определителя по строке
Размерность линейного пространства
Ранг квадратичной формы
Ранг линейного преобразования
Ранг матрицы
Ранг произведения матриц
Ранг системы векторов
Распадающаяся квадратичная форма
Расширенная матрица системы линейных уравнений
Рациональная дробь
Рациональные числа
Решение системы линейных уравнений
Свободные неизвестные
Симметрическая матрица
Симметрический многочлен
Симметрическое преобразование евклидова пространства
Система линейных уравнений
Система чисел Кэли
Скалярная матрица
Скалярное произведение
Сложение матриц
Собственное значение
Собственный вектор
Совместная система линейных уравнений
Сопряженные комплексные числа
© Тюменский государственный университет
© Институт математики и компьютерных наук
© Кафедра алгебры и математической логики
© Платонов М. Л.
© 2009
Рабочая программа “Алгебра и теория чисел” для специальности 010503.65 “Математическое обеспечение и администрирование информационных систем”
6.1.244.
6.1.245.
6.1.246.
6.1.247.
6.1.248.
6.1.249.
6.1.250.
6.1.251.
6.1.252.
6.1.253.
6.1.254.
6.1.255.
6.1.256.
6.1.257.
6.1.258.
6.1.259.
6.1.260.
6.1.261.
6.1.262.
6.1.263.
6.1.264.
6.1.265.
6.1.266.
6.1.267.
6.1.268.
6.1.269.
6.1.270.
6.1.271.
6.1.272.
6.1.273.
6.1.274.
6.1.275.
6.1.276.
6.1.277.
6.1.278.
6.1.279.
6.1.280.
6.1.281.
6.1.282.
6.1.283.
6.1.284.
6.1.285.
6.1.286.
6.1.287.
6.1.288.
6.1.289.
6.1.290.
6.1.291.
6.1.292.
Спектр линейного преобразования
Степень элемента группы
Степень элемента кольца
Степенные суммы
Степень многочлена от нескольких неизвестных
Сумма векторов
Сумма линейных преобразований
Сумма матриц
Сумма многочленов
Счетное множеств
Теорема Гамильтона-Кэли
Теорема единственности для рациональных дробей
Теорема Кронекера-Капелли
Теорема Лапласа
Теорема об умножении определителей
Тождественная подстановка
Тождественное линейное преобразование неизвестных
Тождественное линейное преобразование пространства
Транспозиция
Транспонирование матрицы
Тригонометрическая форма комплексного числа
Умножение матриц
Унитарное пространство
Формула Кардано
Формула Муавра
Формула Тейлора
Формулы Виета
Фундаментальная система решений
Характеристика поля
Характеристическая матрица
Характеристические корни линейного преобразования
Характеристические корни матрицы
Характеристический определитель
Характеристический многочлен
Целые числа
Цикл
Циклическая группа
Частное от деления многочленов
Частное элементов поля
Четная перестановка
Четная подстановка
Числовая матрица
Числовое кольцо
Числовое поле
Член определителя
Эквивалентные системы векторов
Элементарные преобразования числовой матрицы
Элементы матрицы
Ядро гомоморфизма
© Тюменский государственный университет
© Институт математики и компьютерных наук
© Кафедра алгебры и математической логики
© Платонов М. Л.
© 2009
Рабочая программа “Алгебра и теория чисел” для специальности 010503.65 “Математическое обеспечение и администрирование информационных систем”
6.1.293.
Ядро линейного преобразования
© Тюменский государственный университет
© Институт математики и компьютерных наук
© Кафедра алгебры и математической логики
© Платонов М. Л.
© 2009
Рабочая программа “Алгебра и теория чисел” для специальности 010503.65 “Математическое обеспечение и администрирование информационных систем”
7.
Учебно-методическое обеспечение дисциплины.
7.1.
Основная литература.
1. Алгебра [Электронный ресурс]. - Электрон. текстовые дан. - Москва :
Компьютерные информационные технологии. - [Б. м.] : Регулярная и хаотическая
динамика, 2005. - 1 эл. опт. диск (CD-ROM) : цв. ; 12 см. - (Электронная
библиотека). - Систем. требования: Windows 95/98/NT/2000/XP; IE 4.0. - Загл. с
этикетки диска. - (в кор.)
2. Беклемишев, Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры
[Электронный ресурс] : учебник / Д. В. Беклемишев. - М.: Физматлит, 2009. - 309 с.
978-5-9221-0979-6.
Режим
доступа: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=83040 (дата
обращения
04.12.2013).
3. Беклемишева, Л. А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре
[Электронный ресурс] : учебное пособие / Л. А. Беклемишева, А. Ю. Петрович,
И. А. Чубаров. - М.: Физматлит, 2006. - 496 с. - 5-9221-0010-6. Режим
доступа: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=82795 (дата
обращения
04.12.2013).
4. Зуланке, Р. Алгебра и геометрия. Том 2. Модули и алгебры [Электронный ресурс] /
Р. Зуланке, А. Л. Онищик. - М.: МЦНМО, 2008. - 336 с. - 978-5-94057-351-7. Режим
доступа: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=63266 (дата
обращения
04.12.2013).
5. Ильин, Владимир Александрович. Линейная алгебра : учеб. для студентов физ.
спец. и спец. "Прикл. мат." / В. А. Ильин, Э. Г. Позняк ; Моск. гос. ун-т им. М. В.
Ломоносова. - 6-е изд., стер. - Москва : Физматлит, 2007.
6. Кострикин, А. И. Введение в алгебру. Часть 1: Основы алгебры [Электронный
ресурс] / А. И. Кострикин. - М.: МЦНМО, 2009. - 273 с. - 978-5-94057-453-8. Режим
доступа: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=63140 (дата
обращения
04.12.2013).
7. Кострикин, А. И. Введение в алгебру. Часть 2: Линейная алгебра [Электронный
ресурс] / А. И. Кострикин. - М.: МЦНМО, 2009. - 368 с. - 978-5-94057-454-5. Режим
доступа: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=63144 (дата
обращения
04.12.2013).
8. Розендорн, Э. Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия [Электронный ресурс]
/ Э. Р. Розендорн, Н. В. Ефимов. - М.: Физматлит, 2004. - 468 с. - 5-9221-0386-5.
Режим доступа: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=75500 (дата обращения
04.12.2013).
9. Сборник задач по алгебре [Электронный ресурс] / М.: МЦНМО, 2009. - 404 с. - 9785-94057-413-2.
Режим
доступа: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=63274 (дата
обращения
04.12.2013).
10.Сборник задач по алгебре. В 2 т. Т. 1. Ч. I. Основы алгебры. Ч. II. Линейная алгебра
и геометрия [Электронный ресурс] / М.: Физматлит, 2007. - 263 с. - 978-5-92210583-5. Режим доступа: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=82941 (дата
обращения 04.12.2013).
© Тюменский государственный университет
© Институт математики и компьютерных наук
© Кафедра алгебры и математической логики
© Платонов М. Л.
© 2009
Рабочая программа “Алгебра и теория чисел” для специальности 010503.65 “Математическое обеспечение и администрирование информационных систем”
11.Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре [Электронный
ресурс] / М.: Логос, 2005. - 368 с. - 5-94010-375-8. Режим
доступа:http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=84738 (дата
обращения
04.12.2013).
12.Теория чисел и арифметика [Электронный ресурс]. - Электрон. текстовые дан. Москва : Компьютерные информационные технологии. - [Б. м.] : Регулярная и
хаотическая динамика, 2005. - 1 эл. опт. диск (CD-ROM) : цв. ; 12 см. (Электронная библиотека). - Систем. требования: Windows 95/98/NT/2000/XP; IE
4.0. - Загл. с этикетки диска. - (в кор.)
13. Фаддеев, Дмитрий Константинович. Задачи по высшей алгебре : учеб. пособие для
студ. вузов, обуч. по мат. спец. / Д. К. Фаддеев, И. С. Соминский. - 15-е изд., стер. Санкт-Петербург : Лань, 2005. - 288 с.
14.Фаддеев, Дмитрий Константинович. Лекции по алгебре : учеб. пособие / Д. К.
Фаддеев. - 4-е изд., стер. - Санкт-Петербург : Лань, 2005. - 416 с.
15.Шафаревич, И. Р. Линейная алгебра и геометрия [Электронный ресурс] : учебное
пособие / И. Р. Шафаревич, А. О. Ремизов. - М.: Физматлит, 2009. - 512 с. - 978-59221-1139-3.
Режим
доступа: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=68387 (дата
обращения
04.12.2013).
Дополнительная литература
1. Александров П. С. Введение в теорию групп. – М.: Наука, 1980.
2. Александров П. С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.:
Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1979.
3. Александров П. С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.:
Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1979.
4. Апатенок Р. Ф. Сборник задач по линейной алгебре и аналитической геометрии:
учебное пособие для студ. инженерно-технических спец-ей вузов. – Минск:
“Вышэйшая школа”, 1990.
5. Биркгоф Г. Теория решёток. – М.: Наука, 1984.
6. Биркгоф, Гаррет. Современная прикладная алгебра : учеб. пособие : пер. с англ. /
Г. Биркгоф, Т. К. Барти. - 2-е изд., стер. - Санкт-Петербург : Лань, 2005. - 400 с.
7. Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. – М.: Наука, 1985.
8. Бурбаки, Н. Алгебра. Часть 1. Алгебраические структуры. Линейная и
полинейная алгебра [Электронный ресурс] / Н. Бурбаки. - М.: Государственное
издательство физико-математической литературы, 1962. - 513 с. - . Режим
доступа: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=112121 (дата
обращения
04.12.2013).
9. Бутузов, Валентин Федорович. Линейная алгебра в вопросах и задачах : учеб.
пособие для студ. вузов / В. Ф. Бутузов, Н. Ч. Крутицкая, А. А. Шишкин ; ред. В.
Ф. Бутузов. - 2-е изд., испр. - Москва : Физматлит, 2002. - 248 с.
10.Варден ван дер, Б. Л. (1903-1996). Алгебра : пер. с нем. / Б. Л. Варден ван дер. 3-е изд., стер. - Санкт-Петербург : Лань, 2004. - 624 с. : ил.
© Тюменский государственный университет
© Институт математики и компьютерных наук
© Кафедра алгебры и математической логики
© Платонов М. Л.
© 2009
Рабочая программа “Алгебра и теория чисел” для специальности 010503.65 “Математическое обеспечение и администрирование информационных систем”
11.Виленкин Н. Я. Алгебра и теория чисел, часть III. – М.: Просвещение, 1974.
12.Воеводин В. В. Линейная алгебра: учеб. пособие / В. В. Воеводин. – 4-е изд.,
стер. – СПб.: «Лань», 2008.
13.Воеводин В. В. Линейная алгебра: учеб. пособие / В. В. Воеводин. – 4-е изд.,
стер. – СПб.: «Лань», 2008.
14.Галочкин А.И., Нестеренко Ю.В., Шидловский А.Б. Введение в теорию чисел:
Учеб. пособие. – М.: Изд-во МГУ, 1995. – 160 с.
15.Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. – М.: Наука, 1988.
16.Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. М.: КДУ; Добросвет, 2007.
17.Грибанов В. У., Титов П. И. Сборник упражнений по теории чисел. – М.:
Просвещение, 1964.
18.Ефимов Н. В., Розендорн Э. Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия.
Учебник для вузов. – М.: Наука, 1970.
19.Икрамов Х. Д. Задачник по линейной алгебре: учеб. пособие / Х. Д. Икрамов;
ред. В. В. Воеводин. – 2-е изд., испр. – СПб.: «Лань», 2006. – 230 с. – (Лучшие
классические учебники. Математика).
20.Ильин, Владимир Александрович. Линейная алгебра и аналитическая геометрия
: учеб. для студ. вузов, обуч. по напр. "Математика", "Прикл. математика и
информатика" / В. А. Ильин, Г. Д. Ким ; Моск. гос. ун-т им. М. В. Ломоносова. 3-е изд., перераб. и доп. - Москва : Проспект. - [Б. м.] : Изд-во МГУ, 2007. - 400
с.
21.Кострикин А.И. Сборник задач по алгебре. / Под ред. А.И. Кострикина: Учебник
для вузов. - изд. 3-е, испр. и доп. – М.: Физматлит, 2001.
22.Кострикин, Алексей Иванович. Введение в алгебру : учеб. для студ. ун-тов, обуч.
по спец. "Математика" и "Прикл. математика" / А. И. Кострикин. - 2-е изд., испр.
- Москва : Физматлит. - ISBN 5-9221-0167-6. Ч. 1 : Основы алгебры. - 2004. - 272
с.
23.Кострикин, Алексей Иванович. Введение в алгебру : учеб. для студ. ун-тов, обуч.
по спец. "Математика" и "Прикладная математика" / А. И. Кострикин. - Москва :
Физматлит. Ч. 3 : Основные структуры алгебры. - 2000. - 272 с. : ил.
24.Кудреватов Г. А. Сборник задач по теории чисел. – М: Просвещение, 1970.
25.Куликов, Леонид Яковлевич. Сборник задач по алгебре и теории чисел : для
физ.-мат. спец / Л. Я. Куликов, Москаленко, Фомин. - Москва : Просвещение,
1993. - 287 с.
26.Курош А. Г. Теория групп. – М.: Наука, 1967.
27.Курош, Александр Геннадьевич. Лекции по общей алгебре : учеб. / А. Г. Курош.
- 2-е изд., стер. - Санкт-Петербург : Лань, 2007. - 560 с.
28.Ланкастер П. Теория матриц. – М.: Наука, 1978.
29.Ленг С. Алгебра. – М.: 1968.
30.Ляпин Е. С., Евсеев А. Е. Алгебра и теория чисел. – М.: 1974, 1978.
31.Мальцев А. И. Алгебраические системы. – М.: Наука, 1970.
32.Математический энциклопедический словарь. – М.: Советская энциклопедия,
1988.
33.Михелович Ш. Х. Теория чисел. – М.: Высшая школа, 1967.
© Тюменский государственный университет
© Институт математики и компьютерных наук
© Кафедра алгебры и математической логики
© Платонов М. Л.
© 2009
Рабочая программа “Алгебра и теория чисел” для специальности 010503.65 “Математическое обеспечение и администрирование информационных систем”
34.Общая алгебра : [в 2 т.] / О. В. Мельников, В. Н. Ремесленников, В. А. Романьков
и др.; Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. - Москва : Наука. - (Справочная
математическая библиотека). Т. 1. - 1990. - 591 с.
35.Окунев Л. Я. Алгебра и теория чисел. – М.: Просвещение, 1966.
36.Проскуряков, И. В. Высшая алгебра [Электронный ресурс] / И. В. Проскуряков,
А. П. Мишина. - М.: Государственное издательство физико-математической
литературы,
1962.
301
с.
.
Режим
доступа:http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=112179 (дата
обращения
04.12.2013).
37.Скорняков Л. А. Общая алгебра : в 2 т. / под ред. Л. А. Скорнякова. - Москва :
Наука. - (Справочная математическая библиотека). Т. 2. - 1991. - 480 с.
38.Фрид Э. Элементарное введение в абстрактную алгебру. – М.: Мир, 1979.
39.Холл М. Теория групп. – М.: Издательство иностранной литературы, 1962.
40.Шнеперман, Лев Борисович. Курс алгебры и теории чисел в задачах и
упражнениях : учеб. пособие для физ.-мат. фак. пед. ин-тов. В 2 ч. / Лев
Борисович Шнеперман. - Минск : Вышэйшая школа. Ч. 1. - 1986. - 271 с. : ил.
Пакеты прикладных программ Mathematica, MathCad, Maple, MATLAB.
© Тюменский государственный университет
© Институт математики и компьютерных наук
© Кафедра алгебры и математической логики
© Платонов М. Л.
© 2009
Рабочая программа “Алгебра и теория чисел” для специальности 010503.65 “Математическое обеспечение и администрирование информационных систем”
8.
Система балловых оценок по дисциплине.
ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
Первый семестр
Общая балловая
оценка модуля
2
Общее
количество часов
на освоение
модуля
1
Самостоятельная
и
индивидуальная
работа, (час.)
Наименование темы модуля
Практические
занятия
Модуль
Лекционные
занятия
Общее количество часов на освоение модуля (час)
3
4
5
6
7
Модуль
№1.1
Тема №1. Элементы общей алгебры (основные алгебраические структуры)
Тема №2. Матрицы
Тема №3. Детерминанты
Тема №4. Системы линейных уравнений
Тема №5. Поле комплексных чисел
Тема №6. Кольцо многочленов
8
8
6
22
15
2
Модуль
№2.1
Тема №7. Линейные пространства
Тема №8. Линейные отображения и преобразования линейных пространств
Тема №9. Евклидовы и унитарные пространства
Тема №10. Линейные преобразования евклидовых и унитарных пространств
Тема №11. Функции на линейных пространствах
Тема №12. Аффинные и точечные пространства
Тема №13. Преобразования аффинных пространств
20
20
16
56
30
3
Модуль
№3.1
Тема №14. Элементы теории чисел
8
8
6
22
25
4
Экзамен
Вопросы теоретического и практического характера по темам модулей
5
Итого
1
© Тюменский государственный университет
© Институт математики и компьютерных наук
© Кафедра алгебры и математической логики
© Платонов М. Л.
© 2009
30
36
36
67
139
100
Рабочая программа “Алгебра и теория чисел” для специальности 010503.65 “Математическое обеспечение и администрирование информационных систем”
БАЛЛОВАЯ ОЦЕНКА ТЕКУЩЕЙ УСПЕВАЕМОСТИ
Первый семестр
Текущая форма контроля
1
Модуль
Наименование или номер темы модуля
1
2
Модуль
№1.1
Тема №1. Элементы общей алгебры (основные алгебраические структуры).
Тема №2. Матрицы.
Тема №3. Детерминанты.
Тема №4. Системы линейных уравнений.
Тема №5. Поле комплексных чисел.
Тема №6. Кольцо многочленов.
Всего
2
Модуль
№2.1
Тема №7. Линейные пространства.
Тема №8. Линейные отображения и преобразования линейных пространств.
Тема №9. Евклидовы и унитарные пространства.
Тема №10. Линейные преобразования евклидовых и унитарных пространств.
Тема №11. Функции на линейных пространствах.
Тема №12. Аффинные и точечные пространства.
Тема №13. Преобразования аффинных пространств.
Всего
3
4
Модуль
№3.1
Всего
Тема №14. Элементы теории чисел.
Индивидуальная и
самостоятельная
деятельность
Выполнение
контрольных и
тестовых работ
Общая
балловая
оценка
модуля
4
5
6
0–0,5
0–0,5
0–0,5
0–0,5
0-0,5
0-0,5
3
0–0,5
0–0,5
0–0,5
0–0,5
0-0,5
0-0,5
3
0–1
0–1
0–1
0–1
0-1
0-1
6
0–1
0–1
0–1
0-1
0-1
0-1
0-1
7
0–1
0-1
0–1
0-1
0-1
0-1
0-1
7
0–2
0–2
0–2
0-2
0-2
0-2
0-2
14
0–1
0–1
0–18
20
1
1
18
20
Решение
практических и
теоретических
задач на
практических
занятиях.
3
Экзамен
Итого
© Тюменский государственный университет
© Институт математики и компьютерных наук
© Кафедра алгебры и математической логики
© Платонов М. Л.
© 2009
40
11
51
12
12
28
28
40
38
100