Фундаментальная и компьютерная алгебра

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Институт математики и компьютерных наук
Кафедра алгебры и математической логики
Абдубакова Л.В.
ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ АЛГЕБРА
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов направления 02.03.01 – «Математика и компьютерные науки»,
профиль подготовки:
«Вычислительные, программные, информационные системы
и компьютерные технологии».
Форма обучения - очная
Тюменский государственный университет
2014
2
Абдубакова Л.В.Фундаментальная и компьютерная алгебра. Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов направления 02.03.01 – «Математика и компьютерные науки», профиль подготовки: «Вычислительные, программные, информационные
системы и компьютерные технологии», форма обучения – очная. Тюмень, 2014, 64 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВО с учетом рекомендаций и ПрОП ВО по направлению и профилю подготовки.
Рабочая программа дисциплины (модуля) опубликована на сайте ТюмГУ: «Фундаментальная и компьютерная алгебра» [электронный ресурс] / Режим доступа:
http://www.umk3plus.utmn.ru свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой алгебры и математической логики. Утверждено директором Института математики и компьютерных наук.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР:Кутрунов В.Н., д.ф.-м.н., профессор
© Тюменский государственный университет, 2014.
© Абдубакова Л.В., 2014.
3
1. Пояснительная записка
1.1.
Цели и задачи дисциплины (модуля)
Цели дисциплины:
 получение базовых знаний по алгебре и компьютерной алгебре: комплексные числа и многочлены, матричная алгебра и решение систем линейных уравнений, конечномерные линейные пространства, линейные операторы и функционалы, канонический вид линейных операторов (жорданова форма, симметрические, ортогональные и унитарные операторы), билинейные формы, метрические линейные
пространства, классификация квадрик, группы преобразований и классификация
движений, основы тензорной алгебры, основные структуры современной алгебры.;
 привитие общематематической культуры: умение логически мыслить, проводить
доказательства основных утверждений, устанавливать логические связи между понятиями, применять полученные знания для решения алгебраических и геометрических задач и задач, связанных с приложениями алгебраических методов. Получаемые знания необходимы для понимания и освоения всех курсов математики,
компьютерных наук и их приложений.
Задачи дисциплины:
 изучить материал дисциплины; усвоить основные понятия;
 приобрести навыки самостоятельного анализа фактов постановки и решения задач
алгебры.
1.2.Место дисциплины в структуре образовательной программы
Дисциплина «Фундаментальная и компьютерная алгебра» входит в базовую часть
профессионального цикла.
С курса алгебры начинается математическое образование. Знания, полученные в
этом курсе, используются в аналитической геометрии, математическом анализе, функциональном анализе, дифференциальных уравнениях, комплексном анализе, численных методах.
Дисциплина «Фундаментальная и компьютерная алгебра» базируется на математических знаниях студентов, полученных в рамках школьной программы.
Таблица 1.
Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами
3.1.3.
3.2.1.
3.2.2.
3.2.3.
3.3.1.
3.3.2.
2.1.3.
2.2.1.
2.2.2.
2.3.1.
2.3.2.
3.1.1.
3.1.2.
1.1.3.
1.2.1.
1.2.2.
1.2.3.
1.3.1.
1.3.2.
2.1.1.
2.1.2.
п
/
п
Наименование
дисциплины
1.1.1.
1.1.2.
№
Темы дисциплины необходимые для изучения обеспечиваемых (последующих) дисциплин
1 семестр
2 семестр
3 семестр
Аналитическая
1
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
геометрия
2 Функци- + + + + +
+ + + + +
+
4
3
4
5
6
ональный
анализ
Математический
анализ
Комплексный
анализ
Дифференциальные
уравнения
Численные методы
+ + + + + + + + + +
+ + + + +
+ + + + + +
+
+
+ +
+
+ +
+
+ +
+
+
+ + + + +
+ + + + + + + +
+
1.3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения данной образовательной программы.
В результате освоения ОП выпускник должен обладать следующими компетенциями:
1. готовностью использовать фундаментальные знания в области математического
анализа, комплексного и функционального анализа, алгебры, аналитической геометрии, дифференциальной геометрии и топологии, дифференциальных уравнений, дискретной математики и математической логики, теории вероятностей, математической статистики и случайных процессов, численных методов, теоретической
механики в будущей профессиональной деятельности (ОПК-1);
2. способностью строго доказывать утверждение, сформулировать результат, увидеть
следствия полученного результата (ПК-3);
3. способностью публично представлять собственные и известные научные результаты (ПК-4);
1.4. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине (модулю):
В результате освоения материала учебной дисциплины «Фундаментальная и компьютерная алгебра» студент должен:
знать: основные понятия и результаты по алгебре (теория матриц, системы линейных уравнений, теория многочленов, линейные пространства и линейная зависимость,
собственные векторы и собственные значения, канонический вид матриц линейных операторов, геометрия метрических линейных пространств, свойства билинейных функций,
классификацию квадрик, основы теории групп) и логические связи между ними;
уметь: решать системы линейных уравнений, вычислять определители, исследовать свойства многочленов, находить собственные векторы и собственные значения, канонический вид матриц линейных операторов, классифицировать квадрики, основные
свойства групп, колец;
владеть: методами фундаментальной и компьютерной алгебры, теории многочленов, аппаратом теории групп.
2. Структура и трудоемкость дисциплины.
5
Семестры – первый, второй и третий. Форма промежуточной аттестации
экзамен - первый, второй и третий семестры. Общая трудоемкость дисциплины составляет
15 зачетных единиц, 540 академических часов, из них 306,75 часа, выделенных на контактную работу с преподавателем, 233,25 часа, выделенных на самостоятельную работу.
Вид учебной работы
Контактная работа со студентами
Аудиторные занятия (всего)
В том числе:
Лекции
Практические занятия (ПЗ)
Семинары (С)
Лабораторные работы (ЛР)
Иные виды работ
Самостоятельная работа (всего)
Вид промежуточной аттестации (зачет, экзамен)
Общая трудоемкость
зач. ед.
час
Таблица 2.
Семестры
2
3
153,45 76,65
144
72
Всего
часов
306,75
288
1
76,65
72
144
144
36
36
72
72
36
36
18,75
233,25
4,65
49,35
экзамен
126
3,5
9,45
116,55
экзамен
270
7,5
4,65
67,35
экзамен
144
4
540
15
3. Тематический план
3
1.1.1.
Модуль 1.1.
Группы. Аддитивная
группа вычетов
4
5
1 семестр
6
В том числе в интерактивной форме
Итого количество
баллов
2
Итого часов по теме
1
1.
1.1.
Семинарские
(практические )занятия
Лабораторные работы
Самостоятельная работа*
Тема
Лекции
№
недели семестра
Таблица 3.
Виды учебной работы и
самостоятельная работа, в час.
7
8
9
1
2
2
4
8
5
1.1.2.
Кольца. Кольцо вычетов
2-3
4
4
4
12
5
1.1.3.
Поля. Поле комплексных
чисел
4-6
6
6
10
22
4
12
12
18
42
14
7-8
4
4
6
14
3
9-10
4
4
6
14
4
Всего по модулю 1.1. *
1.2.
1.2.1.
1.2.2.
Модуль 1.2.
Введение в теорию линейных пространств
Алгебры. Алгебра матриц
10
010
010
015
035
010
010
6
1.2.3.
Определители
11-12
4
4
6
14
7
12
12
18
42
14
13-15
6
6
10
22
7
16-18
6
6
8
20
7
12
12
18
42
14
36
36
54
126
42
12
30
Всего по модулю 1.2. *
Модуль 1.3.
Решение систем линейных
1.3.1.
алгебраических уравнений
010
030
1.3.
1.3.2.
Многочлены
Всего по модулю 1.3. *
Итого (часов, баллов) по 1 семестру*:
Из них часов в интерактивной
форме:
2.
2.1.
Модуль 2.1.
Линейное пространство
2.1.1.
над произвольным полем
Евклидовы и унитарные
2.1.2.
пространства
Линейные операторы и
2.1.3.
функционалы
2 семестр
1-2
8
8
14
30
7
3-4
8
8
14
30
8
5-6
8
8
14
30
8
24
24
42
90
23
7-8
8
8
14
30
7
9-10
8
8
14
30
8
11-12
8
8
14
30
8
24
24
42
90
23
13-15
12
12
20
44
12
16-18
12
12
22
46
10
24
24
42
90
22
72
72
126
270
68
34
34
8
16
3
Всего по модулю 2.1. *
Модуль 2.2.
Канонический вид линейных операторов (жордано2.2.1.
ва форма, симметрические, ортогональные и
унитарные операторы)
Линейные нормированные
2.2.2.
пространства
Группы преобразований и
классификация движений
020
015
035
0100
013
013
014
040
2.2.
Всего по модулю 2.2. *
2.3.
2.3.1.
2.3.2.
Модуль 2.3.
Билинейные и квадратичные формы
Тензорная алгебра
Всего по модулю 2.3. *
Итого (часов, баллов) по
2 семестру*:
Из них часов в интерактивной форме:
3.
3.1.
3.1.1.
015
010
010
035
015
010
025
0100
3 семестр
Модуль 3.1.
Проблема представления
1-2
4
4
07
3.1.2.
данных
Наибольший общий делитель и последовательности полиномиальных
остатков
Базисы Гребнера
3.1.3.
10
4
4
8
16
3
5-6
4
4
8
16
7
12
12
24
48
13
7-8
4
4
8
16
4
9-10
4
4
8
16
5
11-12
4
4
8
16
5
010
12
12
24
48
14
030
13-15
6
6
12
24
8
16-18
6
6
12
24
7
12
12
24
48
15
36
36
72
144
42
12
30
144
144
252
540
152
Всего по модулю 3.1. *
3.2.
Модуль 3.2.
3.2.1.
Целозначные многочлены
3.2.2.
3.2.3.
Факторизация многочленов
Разложение многочленов
на неприводимые множители по модулю p. Лемма
Гензеля
Всего по модулю 3.2. *
3.3.
3.3.1.
3.3.2.
Модуль 3.3.
Редуцирование базиса в
решетке
Интегрирование в конечном виде
010
3-4
Всего по модулю 3.3. *
Итого (часов, баллов) по
3 семестру*:
Из них часов в интерактивной форме:
Итого по дисциплине*
015
035
010
010
020
015
035
0100
* с учетом иных видов работ
4. Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
Таблица 4.
№ темы
Модуль 1
1.1.1
1.1.2.
1.1.3
Всего
Устный опрос
Письменные работы
коллоквиумы
собеседование
ответ на семинаре
контрольная работа
0-5
0-5
0-2
0-2
0-2
0-6
0-4
0-4
0-4
0-12
0-4
0-4
0-4
0-12
Итого количество баллов
0 - 10
0 - 10
0 - 15
0 - 35
Модуль 2
8
1.2.1.
1.2.2.
1.2.3.
Всего
Модуль 3
1.3.1.
1.3.2.
Всего
Итого семестр 1
Модуль 1
2.2.1.
2.2.2.
2.2.3.
Всего
Модуль 2
2.2.1.
2.2.2.
2.2.3.
Всего
Модуль 3
2.3.1.
2.3.2.
Всего
Итого семестр 2
Модуль 1
3.1.1.
3.1.2.
3.1.3
Всего
Модуль 2
3.2.1.
3.2.2.
3.2.3.
Всего
Модуль 3
3.3.1.
3.3.2.
Всего
Итого семестр 3
0-2
0-3
0-2
0-7
0-4
0-7
0-4
0-15
0-4
0-5
0-4
0-13
0 - 10
0 - 10
0 - 10
0 - 30
0-5
0-5
0-10
0-3
0-2
0-5
0-18
0-7
0-4
0-11
0-38
0-5
0-4
0-9
0-34
0-20
0-15
0 - 35
0 - 100
0-4
0-4
0-2
0-2
0-1
0-5
0-6
0-6
0-5
0-17
0-5
0-5
0-4
0-14
0 - 13
0 - 13
0 - 14
0 - 40
0-3
0-2
0-2
0-7
0-7
0-4
0-4
15
0-5
0-4
0-4
0-13
0 - 15
0 - 10
0 - 10
0 - 35
0-5
0-9
0-2
0-2
0-4
0-16
0-4
0-4
0-8
0-40
0-4
0-4
0-8
0-35
0-15
0-10
0 - 25
0 - 100
0-5
0-5
0-2
0-2
0-2
0-6
0-4
0-4
0-4
0-12
0-4
0-4
0-4
0-12
0 - 10
0 - 10
0 - 15
0 - 35
0-2
0-3
0-2
0-7
0-4
0-7
0-4
0-15
0-4
0-5
0-4
0-13
0 - 10
0 - 10
0 - 10
0 - 30
0-3
0-2
0-5
0-18
0-7
0-4
0-11
0-38
0-5
0-4
0-9
0-34
0-20
0-15
0 - 35
0 - 100
-
-
0.5
-
0-5
0-5
0-10
5. Содержание дисциплины.
Семестр 1
МОДУЛЬ 1
1.1.1 Группы. Аддитивная группа вычетов
Алгебраическая операция.
1. Декартово произведение множеств.
2. Понятие алгебраической операции (внутренней композиции). Коммутативные и ассоциативные алгебраические операции. Нейтральный и
симметричный элементы относительно алгебраической операции и
9
теоремы об их единственности. Определение операции, обратной к алгебраической. Дистрибутивные алгебраические операции.
Группа
3. Определение группы и общепринятые обозначения группы. Абелевы
группы.
4. Мультипликативное и аддитивное задание группы. Сходство и различие в основной терминологии.
5. Перестановки и мультипликативная группа подстановок;
6. Аддитивная группа вычетов;
7. Циклические группы; разложение группы на смежные классы по подгруппе; теорема Лагранжа.
8. Понятие о инъективном, сюръективном и биективном отображениях.
Определение изоморфизма групп.
1.1.2. Кольца. Кольцо вычетов
9. Определение кольца. Анализ аксиом кольца. Свойства кольца относительно алгебраической операции сложения, относительно алгебраической операции умножения. Аксиома дистрибутивности.
10.Коммутативное кольцо и кольцо с единицей. Свойства кольца. Понятие
о делителях нуля. Изоморфизм колец.
11.Кольцо вычетов
1.1.3. Поля. Поле комплексных чисел
12.Определение поля, свойства поля.
13.Примеры полей.
14.Поле комплексных чисел. Равенство, сумма и произведение комплексных чисел.
15.Представление комплексных чисел через мнимую единицу.
16.Операция сопряжения комплексных чисел и ее свойства.
17.Комплексная плоскость и сложение комплексных чисел на плоскости.
18.Комплексные числа в тригонометрической форме. Модуль и аргумент
комплексного числа. Свойства аргумента. Равенство комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме.
19.Неравенство треугольника на комплексной плоскости.
20.Умножение и деление комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме.
21.Формула Муавра возведения комплексных чисел в целую степень.
22.Вычисление корней из комплексного числа. О возведении комплексного числа в рациональную степень.
МОДУЛЬ 2
10
1.2.1. Введение в теорию линейных пространств.
23.Определение вещественного линейного пространства (векторное пространство), аксиомы внутреннего и внешнего законов композиции. Понятие разности элементов (векторов) пространства.
24.Классические примеры линейных пространств.
25.Тривиальные и нетривиальные линейные комбинации элементов (векторов). Понятие линейной зависимости и независимости векторов.
26.Теорема о связи линейной независимости системы векторов с единственностью разложения линейно-зависимого вектора по этой системе.
1.2.2. Алгебры. Алгебра матриц
27.Матрицы. Определение, основные понятия и обозначения.
28.Равные матрицы. Противоположные матрицы. Операция сложения
матриц и ее свойства. Вычитание матриц.
29.Операция произведения матриц на число и ее свойства.
30.Операция произведения матриц и ее свойства.
31.Операция транспонирования матриц и ее свойства.
32.Матрицы специального вида.
33.Элементарные преобразования матриц и матрицы, соответствующие
элементарным преобразованиям. Трапецевидная матрица. Основные
теоремы об элементарных преобразованиях матриц.
1.2.3. Определители
34.Определитель. Основное определение определителя. Вычисление
определителя треугольной матрицы по определению.
35.Свойства определителя и доказательство одного из них.
36.Понятие минора и его алгебраического дополнения.
37.Теорема Лапласа о разложении определителя по минорам произвольных k строк (столбцов). Частный случай разложения определителя по
произвольной строке (столбцу)
38.Теоремы о вычислении определителя квазидиагональной матрицы и
определителя произведения матриц.
39.Вычисление определителя методом Гаусса.
40.Доказательство теоремы о «фальшивом » разложении определителя
41.Понятие об обратной, вырожденной и присоединенной матрицах.
Свойства обратной матрицы.
42.Критерий обратимости матрицы и ее вычисление с помощью присоединенной матрицы (доказательство теоремы.)
43.Определение сопряженной матрицы и свойства операции сопряжения
матриц.
Понятие эрмитовой и унитарной матриц. Вычисление матрицы, обратной к унитарной
44.Теорема о приведении невырожденной матрицы к единичной матрице.
11
45.Решение систем алгебраических уравнений с невырожденной матрицей
методом обратной матрицы и методом Жордана.
46.Понятие о ранге матрицы и базисном миноре. Теорема о базисном миноре.
47.Теоремы о ранге матрицы. Теоремы о преобразованиях матрицы, не
меняющих ее ранг.
48.Теоретическая основа метода Гаусса вычисления ранга.
49.Понятие о эквивалентных матрицах и о необходимом и достаточном
условии их эквивалентности.
50.Понятие о базисе линейного пространства. Теореме о необходимом и
достаточном признаке базиса. Размерность пространства.
51.Понятие о конечномерном и бесконечномерном линейных пространствах.
52.Базис и координаты вектора. Сложение векторов и умножение вектора
на число в координатной форме.
53.Два базиса n-мерного пространства и матрицы взаимного преобразования базисов. Связь координат вектора, заданного в двух базисах.
54.Понятие о линейном подпространстве и линейном многообразии.
55.Понятие прямой суммы подпространств и критерии прямой суммы.
МОДУЛЬ 3
1.3.1. Решение систем линейных алгебраических уравнений
56.Система линейных алгебраических уравнений. Основные понятия и
формы записи.
57.Эквивалентные преобразования системы уравнений. Теорема об умножении системы Ax  b на невырожденную матрицу. Произвольная невырожденная матрица как произведение матриц элементарных преобразований.
58.Решение систем уравнений с невырожденной матрицей методом Крамера и с помощью обратной матрицы.
59.Алгебраические системы уравнений общего вида. Теорема КронекераКапели.
60.Однородные алгебраические системы.
61.Главные и свободные неизвестные алгебраической системы общего вида и техника получения всех решений.
62.Общее решение системы уравнений. Однородные системы линейных
уравнений и их свойства.
63.Метод Гаусса исследования и решения системы линейных уравнений.
1.3.2. Многочлены
64.Кольцо многочленов.
65.Деление многочленов с остатком; теорема Безу.
12
66.Корни многочлена, их кратность. Формулы Виета связи корней и коэффициентов многочлена.
67.Наибольший общий делитель многочленов и алгоритм Евклида его
нахождения.
Семестр 2
МОДУЛЬ 1
2.1.1. Линейное пространство над произвольным полем
68.Определение линейного (векторного) пространства над произвольным
полем.
69.База и ранг системы векторов. Базис линейного пространства.
70.Примеры: рациональное, вещественное и комплексное пространства.
71.Пример: поле вычетов по модулю два (состоит всего из двух элементов: 0,1).
72.Пример: Множество М состоит из n элементов. На нем строится множество S всех его подмножеств. На множестве S вводится операция
сложения двух элементов как объединение соответствующих подмножеств с удалением из него пересечения этих подмножеств. Внешняя
композиция задается над полем вычетов по модулю два по правилу:
умножение на 0 дает нулевой элемент, а умножение на 1 не меняет
элемент. Показать, что множество S относительно введенных операций
является полем.
73.Определение изоморфизма пространств над общим полем.
74.Линейное подпространство над произвольным полем, его размерность.
Сумма и пересечение линейных подпространств и их размерности.
75.Понятие прямой суммы подпространств и критерии прямой суммы.
2.1.2. Евклидовы и унитарные пространства
76.Определение скалярного произведения в вещественном или комплексном пространствах. Аксиомы скалярного произведения. Скалярное
произведение в вещественном пространстве – частный случай скалярного произведения в комплексном пространстве.
77.Определение евклидова и унитарного пространств. Примеры таких
пространств.
78.Неравенство Коши-Буняковского.
79.Неравенства треугольника.
80.Определение матрицы Грама и ее свойства.
81.Вычисление скалярного произведения векторов при наличии базиса евклидова (унитарного) пространства с помощью матрицы Грама.
82.Определение изоморфизма евклидовых (унитарных) пространств.
83.Ортогональные векторы. Линейная независимость системы ортонормированных векторов. Базис евклидова (унитарного) пространства.
13
84.Вычисление координат вектора в пространстве с ортонормированным
базисом. Вычисление скалярного произведения.
85.Теорема о существовании ортонормированного базиса в конечномерном пространстве и процесс ортогонализации Шмидта.
2.1.3. Линейные операторы и функционалы
86.Определение линейного оператора, действующего из пространства V в
пространство W, заданных над общим полем. Свойства линейного пространства: сохранение нулевого элемента, сохранение линейной комбинации и сохранение линейной независимости.
87.Примеры линейных операторов: оператор проектирования, оператор
отражения, нулевой оператор, единичный оператор, оператор дифференцирования, линейный оператор-«изоморфизм линейных пространств».
88.Теорема о связи базиса n- мерного пространства Vc произвольной системой n векторов пространства W, устанавливаемой с помощью оператора A:V→W.
89.Матрица Afe оператора A в паре базисов e и f и ее однозначность.
90.Использование матрицы Afe оператора A для преобразования векторов
из пространства V в пространство W.
91.Подобие квадратных матриц.
92.Связь матриц оператора A, заданных в разных парах базисов.
93.Связь матриц оператора A, преобразующего пространство в себя, заданных в разных базисах.
94.Образ и ядро линейного оператора, а также его ранг и дефект.
95.Линейное пространство линейных операторов, умножение линейных
операторов. Обратный оператор. Теорема Кэли-Гамильтона.
МОДУЛЬ 2
2.2.1. Канонический вид линейных операторов (жорданова форма, симметрические, ортогональные и унитарные операторы)
96.Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.
Характеристический многочлен.
97.Операторы и матрицы простой структуры.
98.Инвариантные подпространства.
99.Корневые подпространства. Жорданова форма матрицы линейных
операторов
100.Сопряженный и самосопряженный операторы
101.Нормальные операторы
102.Унитарные операторы
2.2.2. Линейные нормированные пространства
103.Норма оператора
14
104.Линейные операторы в нормированных пространствах.
105.Нормы операторов и матриц
2.2.3. Группы преобразований и классификация движений
106. Группы преобразований
107. Классификация движений
МОДУЛЬ 3
2.3.1. Билинейные и квадратичные формы
108.
Билинейные формы. Определения. Способы записи билинейной
формы в конечномерном пространстве с заданным базисом. Матрица
билинейной формы.
109.
Теорема о связи матриц билинейной формы, заданной в разных
базисах
110.
Симметричная билинейная форма и ее связь с симметричной
матрицей.
111.
Вырожденные и невырожденные билинейные формы
112.
Квадратичные формы и полярные к ним формы. Связь матриц
данной квадратичной формы, заданной в разных базисах. Компактная
запись квадратичной формы. Ранг квадратичной формы.
113.
Канонический базис и канонический вид квадратичной формы.
Канонический вид билинейной формы.
114.
Метод Якоби получения канонической формы квадратичной
формы и условия его применения.
115.
Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду.
116.
Положительный и отрицательный индексы инерции квадратичной формы и ее сигнатура. Закон инерции квадратичной формы. Сигнатурное правило Якоби.
117.
Критерий Сильвестра положительно (отрицательно) определенной квадратичной формы.
2.3.2. Тензорная алгебра
118. Тензорная алгебра векторного пространства
119. Симметрическая алгебра
120. Алгебра Грассмана.
Семестр 3
МОДУЛЬ 1
3.1.1 Проблема представления данных
121. Системы компьютерной алгебры.
122. Алгоритмы компьютерной алгебры.
15
123. Задача представления данных: кольцо целых чисел, кольцо вычетов
и конечные поля, рациональные числа, алгебраические числа, трансцендентные числа.
124. р-адические числа: целые р-адические числа, дробные р-адические
числа, аксиоматическая характеристика поля р-адических чисел.
125. Многочлены и рациональные функции: многочлены, рациональные
функции, обобщенные многочлены и рациональные функции, векторные пространства и модули.
3.1.2 Наибольший общий делитель и последовательности полиномиальных остатков
126. Наибольший общий делитель. Определения и алгоритмы вычисления.
127. Алгоритмы вычисления НОД(a,b) в кольцах многочленов k[x], Z[x].
128. Границы для коэффициентов делителя полинома: неравенство Коши,
неравенство Ландау.
3.1.3 Базисы Грёбнера
129. Определение базисов Грёбнера.
130. Базисы Грёбнера в полиномиальных, дифференциальных и разностных модулях.
131. Инволютивные базисы.
МОДУЛЬ 2
3.2.1 Целозначные многочлены
132. Определение целозначных многочленов и их основные свойства.
133. Размерностные многочлены в Nm. Размерностный многочлен матрицы.
134. Алгоритмы вычисления размерностных многочленов.
3.2.2 Факторизация многочленов
135. Алгоритмы Кронекера.
136. Разложение на множители, свободные от квадратов.
137. Факторизация, основанная на переборе неприводимых сомножителей
в K[x].
3.2.3 Разложение многочленов на неприводимые множители по модулю p. Лемма Гензеля
138. Разложение многочленов на неприводимые множители по модулю p.
139. Лемма Гензеля
МОДУЛЬ 3
3.3.1 Редуцирование базиса в решетке
140. Редуцированные базисы решетки.
141. Редуцированные базисы в решетке.
142. Алгоритмы факторизации, основанные на выборе малого вектора в
решетке: Архимедова метрика.
3.3.2 Интегрирование в конечном виде
16
143.
144.
145.
146.
147.
Интегрирование полиномов и рациональных функций.
Структурная теорема.
Интегрирование логарифмических функций.
Интегрирование экспоненциальных функций.
Решение дифференциального уравнения Риша.
6. Планы семинарских занятий.
1 семестр
Занятие 1. Тема № 1.1.1. Группы. Аддитивная группа вычетов. Решение практических заданий по теме № 1.1.1.
Простейшие примеры числовых множеств, образующие группы по сложению или умножению.Подробный разбор аддитивной группы вычетов. Примеры изоморфных групп.
Занятие 2-3. Тема № 1.1.2. Кольца. Кольцо вычетов. Решение практических
заданий по теме № 1.1.2.
Простейшие примеры числовых колец. Подробный разбор кольца вычетов. Примеры изоморфизма колец.
Занятие 4-6. Тема № 1.1.3. Поля. Поле комплексных чисел.Решение практических заданийпо теме № 1.1.3.
Определение полей. Простейшие числовые поля. Поле комплексных чисел. Вычисления с
комплексными числами. Вычисления с использованием тригонометрической формы.
Формула Муавра. Корни комплексного числа.
Занятие 7-8. Тема № 1.2.1. Введение в теорию линейных пространств.Решение
практических заданий по теме № 1.2.1.
Геометрические векторы. Вещественное линейное пространство. Линейная зависимость и
независимость векторов. Базис и координаты. Линейное пространство и линейное многообразие.
Занятие 9-10. Тема № 1.2.2. Алгебры. Алгебра матриц. Решение практических
заданий по теме № 1.2.2.
Сложение матриц, умножение матриц на число, умножение матриц. Матрицы специального вида. Элементарные преобразования матриц. Квадратные матрицы. Алгебра квадратных матриц.
Занятие 11-12. Тема № 1.2.3. Определители. Решение практических заданий по
теме № 1.2.3.
Перестановки. Вычисление определителя с использованием его свойств. Миноры и алгебраические дополнения. Вычисление определителя по теореме Лапласа. Вычисление определителя методом Гаусса. Обратная матрица, вычисление обратной матрицы с помощью
присоединенной матрицы. Вычисление обратной матрицы методом Гаусса Жордана.
Занятие 13-15. Тема № 1.3.1. Решение систем линейных алгебраических уравнений. Решение практических заданий по теме № 1.3.1.
Вычисление ранга матрицы. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом обратной матрицы и Крамера. Системы общего вида, выяснение их совместности или
несовместности по теореме Кронекера Капелли. Выявление главных и свободных неизвестных системы уравнений. Приведение системы уравнений к к системе с трапецевидной матрицей методом элементарных преобразований. Вычисление общего решения системы методом Гаусса. Однородные системы уравнений. Линейное подпространство решений однородной системы. Представление общего решения системы уравнений через
частное решение неоднородной и общее решение однородной систем.
Занятие 16-18. Тема № 1.3.2. Многочлены. Решение практических заданий по
теме № 1.3.2.
17
Многочлены над произвольным полем. Операции сложения и умножения многочленов.
Алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя двух многочленов. Корни
многочлена. Разложение многочлена в произведение n линейных множителей. Формулы
Вьета. Многочлены над полем действительных чисел и их разложение на неразложимые
множители.
2 семестр
Занятие 1-2. Тема № 2.1.1. Линейное пространство над произвольным полем.
Решение практических заданий по теме № 2.1.1.
Примеры линейных пространств над произвольным полем. Примеры: рациональное, вещественное и комплексное пространства. Пример: поле вычетов по модулю два (состоит
всего из двух элементов: 0,1).Пример: Множество М состоит из n элементов. На нем
строится множество S всех его подмножеств. На множестве S вводится операция сложения двух элементов как объединение соответствующих подмножеств с удалением из него
пересечения этих подмножеств. Внешняя композиция задается над полем вычетов по модулю два по правилу: умножение на 0 дает нулевой элемент, а умножение на 1 не меняет
элемент. Показать, что множество S относительно введенных операций является полем.
Занятие 3-4. Тема № 2.1.2. Евклидовы и унитарные пространства. Решение
практических заданий по теме № 2.1.2.
Примеры введения скалярного произведения в вещественных и комплексных пространствах. Неравенства Коши-Буняковского и треугольника в евклидовом и унитарном пространствах. Матрица Грама, линейная независимость векторов и базис в евклидовом и
унитарном пространствах. Изоморфизм евклидовых или унитарных пространств. Ортонормированный базис, вычисление координат векторов. Унитарная и ортогональная матрицы.
Занятие 5-6. Тема № 2.1.3. Линейные операторы и функционалы. Решение
практических заданий по теме № 2.1.3.
Примеры линейных операторов и функционалов. Примеры операторов, не являющихся
линейными. Вычисление матрицы различных операторов в паре базисов. Подобие матриц. Матрицы линейных операторов в разных базисах. Образ и ядро линейного оператора. Вычисление ранга и дефекта линейного оператора. Примеры на умножение линейных
операторов, обратный оператор.
Занятие 7-8. Тема № 2.2.1. Канонический вид линейных операторов (жорданова форма, симметрические, ортогональные и унитарные операторы). Решение
практических заданий по теме № 2.2.1.
Собственные числа и собственные векторы линейных операторов. Характеристический
многочлен. Собственные подпространства линейных операторов. Операторы и матрицы
простой структуры и ее канонический вид. Жорданова форма линейного оператора. Симметрические, ортогональные и унитарные операторы.
Занятие 9-10. Тема № 2.2.2. Линейные нормированные пространства. Решение
практических заданий по теме № 2.2.2.
Норма вектора. Нормы в евклидовых пространствах. Примеры. Нормы в арифметических
пространствах. Нормы в пространствах матриц. Сходимости векторов по норме. Эквивалентность норм. Линейные операторы в нормированных пространствах.
Занятие 11-12. Тема № 2.2.3. Группы преобразований и классификация движений. Решение практических заданий по теме № 2.2.2.
Примеры групп преобразований: Группа подстановок, группа движений евклидовой плоскости (пространства), группа невырожденных квадратных матриц. Группа ортогональных
преобразований.
Занятие 13-15. Тема № 2.3.1. Билинейные и квадратичные формы. Решение
практических заданий по теме № 2.3.1.
18
Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа. Выяснение
положительной определенности квадратичной формы с помощью критерия Сильвестра.
Квадратичные формы в вещественном пространстве. Закон инерции квадратичных форм.
Знакоопределенные квадратичные формы. Квадратичные формы в комплексном пространстве. Квадратичные формы в евклидовом (унитарном) пространстве.
Занятие 16-18. Тема № 2.3.2. Тензорная алгебра. Решение практических заданий по теме № 2.3.2.
Понятие тензора. Тензоры в механике Прямое тензорное исчисление.
3 семестр
Занятие 1-2. Тема № 3.1.1. Проблема представления данных. Решение практических заданий по теме № 3.1.1.
Системы компьютерной алгебры. Алгоритмы компьютерной алгебры. Задача представления данных: кольцо целых чисел, кольцо вычетов и конечные поля, рациональные числа,
алгебраические числа, трансцендентные числа.р-адические числа: целые р-адические числа, добные р-адические числа, аксиоматическая характеристика поля р-адических чисел.
Многочлены и рациональные функции: многочлены, рациональные функции, обобщенные
многочлены и рациональные функции, векторные пространства и модули.
Занятие 3-4. Тема № 3.1.2. Наибольший общий делитель и последовательности
полиномиальных остатков. Решение практических заданий по теме № 3.1.2.
Наибольший общий делитель. Определения и алгоритмы вычисления.Алгоритмы вычисления НОД(a,b) в кольцах многочленов k[x], Z[x].Границы для коэффициентов делителя
полинома: неравенство Коши, неравенство Ландау.
Занятие 5-6. Тема № 3.1.3. Базисы Гребнера. Решение практических заданий
по теме № 3.1.3.
Определение базисов Грёбнера.Базисы Грёбнера в полиномиальных, дифференциальных и
разностных модулях.Инволютивные базисы.
Занятие 7-8. Тема № 3.2.1. Целозначные многочлены. Решение практических
заданий по теме № 3.2.1.
Определение целозначных многочленов и их основные свойства.Размерностные многочлены в Nm. Размерностный многочлен матрицы.Алгоритмы вычисления размерностных
многочленов.
Занятие 9-10. Тема № 3.2.2. Факторизация многочленов. Решение практических заданий по теме № 3.2.2.
Алгоритмы Кронекера.Разложение на множители, свободные от квадратов.Факторизация,
основанная на переборе неприводимых сомножителей в K[x].
Занятие 11-12. Тема № 3.2.3. Симметрические многочлены и рациональные
дроби. Решение практических заданий по теме № 3.2.3.
Разложение многочленов на неприводимые множители по модулю p.Лемма Гензеля.
Занятие 13-15. Тема № 3.3.1. Редуцирование базиса в решетке. Решение практических заданий по теме № 3.3.1.
Редуцированные базисы решетки.Редуцированные базисы в решетке.Алгоритмы факторизации, основанные на выборе малого вектора в решетке: Архимедова метрика.
Занятие 16-18. Тема № 3.3.2. Интегрирование в конечном виде. Решение практических заданий по теме № 3.3.2.
Интегрирование полиномов и рациональных функций.Структурная теорема.Интегрирование логарифмических функций.Интегрирование экспоненциальных функций.Решение дифференциального уравнения Риша.
7. Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум).
19
Не предусмотрены
8. Примерная тематика курсовых работ
1. Алгебра бинарных отношений и отображений
2. Отображения и фактор-множества
3. Отношения эквивалентности
4. Отношения порядка
5. Формула Бине-Коши
6. Полиномиальные матрицы
7. Системы линейных неравенств
8. Итерационные методы решения систем линейных уравнений
9. Число действительных корней многочлена с действительными коэффициентами
10. Основная теорема алгебры
11. Основная теорема о симметрических многочленах
12. Решение алгебраических уравнений в радикалах (история вопроса)
13. Элементы теории конечных полей
14. Неприводимые многочлены над конечными полями
15. Алгебра кватернионов и ее приложения
9. Учебно-методическое обеспечение и планирование самостоятельной
работы студентов.
1.
1.1.
1.1.1.
1.1.2.
1.1.3
Модули и темы
обязательные
дополнительные
Количество
баллов
№
Объём часов
Виды СРС
Неделя семестра
Таблица 5.
1
4
010
2-3
4
4-6
10
010
015
1 семестр
Модуль 1.1.
Группы. Аддитивная группа вычетов
Кольца. Кольцо
вычетов
Поля. Поле комплексных чисел
Проработка лекций.
Работа с основной
литературой. Решение типовых задач.
Индивидуальное домашнее расчетное
задание 1
Чтение дополнительной литературы.
Знакомство с содержанием электронных источников.Решение задач
повышенной сложности.
18
035
7-8
6
010
910
6
010
Всего по модулю 1.1. *
Модуль 1.2.
Введение в теорию
1.2.1
линейных пространств
Алгебры. Алгебра
1.2.2.
матриц
1.2.
Решение задач; выполнение самостоятельных и контрольных работ.
Домашние задания.
Работа с дополнительной литературой, работа с
интернет –
ресурсами
20
1.2.3.
Определители
Выполнение курсовой работы.
Подготовка ко всем
видам контрольных
испытаний, в том
числе к текущему
контролю успеваемости (в течение семестра), промежуточной аттестации
(по окончании семестра).
1112
6
010
18
030
1315
10
020
1618
8
015
Всего по модулю 1.2. *
1.3.
1.3.1.
1.3.2.
Модуль 1.3.
Решение систем
линейных алгебраических уравнений
Многочлены
Проработка лекций,
работа с литературой, решение
типовых задач
Чтение дополнительной литературы;
Знакомство с содержанием электронных источников.
Решение задач повышенной сложности.
Всего по модулю 1.3. *
18
Итого по 1 семестру*:
2.
2.1.
2.1.1.
2.1.2.
2.1.3
54
2 семестр
Модуль 2.1.
Линейное пространство над
произвольным полем
Евклидовы и унитарные пространства
Линейные операторы и функционалы
Проработка лекций,
работа с основной
литературой, решение типовых задач
Чтение дополнительной литературы;
Знакомство с содержанием электронных источников.
Решение задач повышенной сложности.
1-2
14
013
3-4
14
013
5-6
14
014
42
040
14
015
Всего по модулю 2.1. *
2.2.
2.2.1.
035
0100
Модуль 2.2.
Канонический вид
линейных операторов (жорданова
форма, симметрические, ортогональные и унитарные операто-
Решение задач; выполнение самостоятельных и контрольных работ.
Домашние задания.
Выполнение курсовой работы.
Работа с дополнительной литературой, работа с интернет ресурсами
7-8
21
2.2.2.
2.2.3
Подготовка ко всем
видам контрольных
испытаний, в том
числе к текущему
контролю успеваемости (в течение семестра), промежуточной аттестации
(по окончании семестра).
ры)
Линейные нормированные пространства
Группы преобразований и классификация движений
910
14
010
1112
14
010
42
035
1315
20
015
1618
22
010
Всего по модулю 2.2. *
2.3.
2.3.1.
2.3.2.
Модуль 2.3.
Билинейные и
квадратичные
формы
Проработка лекций,
работа с литературой, решение
типовых задач
Тензорная алгебра
Чтение дополнительной литературы;
Знакомство с содержанием электронных источников.
Решение задач повышенной сложности.
025
0126
100
Всего по модулю 2.3. *
42
Итого по 2 семестру*:
3 семестр
3.
3.1.
Модуль 3.1.
3.1.1.
Проблема представления данных
Наибольший общий
делитель и после3.1.2. довательности полиномиальных
остатков
3.1.3
Проработка лекций,
работа с основной
литературой, решение типовых задач
Чтение дополнительной литературы;
Знакомство с содержанием электронных источников.
Решение задач повышенной сложности.
Базисы Гребнера
1-2
8
010
3-4
8
010
5-6
8
Всего по модулю 3.1. *
3.2.
3.2.1.
Модуль 3.2.
Целозначные мно-
Решение задач; вы-
24
Работа с дополни-
7-8
8
015
035
022
полнение самостоягочлены
Факторизация мно- тельных и контроль3.2.2.
ных работ.
гочленов
Домашние задания.
Выполнение курсовой работы.
Подготовка ко всем
Разложение много- видам контрольных
испытаний, в том
членов на непривочисле к текущему
3.2.3 димые множители
контролю успеваепо модулю p. Леммости (в течение сема Гензеля
местра), промежуточной аттестации
(по окончании семестра).
тельной литературой, работа с интернет ресурсами
8
1112
8
010
24
030
1315
12
020
1618
12
015
Всего по модулю 3.2. *
3.3.
3.3.1.
3.3.2.
Модуль 3.3.
Редуцирование базиса в решетке
Проработка лекций,
работа с литературой, решение
типовых задач
Интегрирование в
конечном виде
Чтение дополнительной литературы;
Знакомство с содержанием электронных источников.
Решение задач повышенной сложности.
Всего по модулю 3.3.: *
24
Итого по 3 семестру*
72
Итого по дисциплине*
10
010
910
035
0100
252
* с учетом иных видов работ
23
10.Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации по итогам освоения
дисциплины (модуля).
10.1 Перечень компетенций с указанием этапов их формирования в процессе освоения образовательной программы (выдержка из
матрицы компетенций):
Таблица 6.
Выписка из матрицы соответствия компетенций, составных частей ОП и оценочных средств
+
+
+
+
+
+
+
+ +
+ +
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Курсовая работа по направлению
Действительный анализ
Основы математического анализа
Математическая логика
Дифференциальные уравнения
Дифференциальная геометрия и топология
4 семестр
Теория чисел
+
+
+
Фундаментальная и компьютерная алгебра
+
+
+
Основы математического анализа
+
+
+
Дифференциальные уравнения
Основы математического анализа
+
+
+
3 семестр
Дискретная математика
Аналитическая геометрия
+
+
+
Фундаментальная и компьютерная алгебра
Фундаментальная и компьютерная алгебра
ОПК-1
ПК-3
ПК-4
2 семестр
Основы математического анализа
Индекс
компетенции
1 семестр
Аналитическая геометрия
Циклы, дисциплины (модули) учебного плана ООП бакалавра
+
+
+
Индекс
компетенции
ОПК-1
ПК-3
ПК-4
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Учебная практика
Курсовая работа по направлению
+
+
Уравнения в частных производных
Математическая статистика
5 семестр
Численные методы
Функциональный анализ
Теоретическая механика
Комплексный анализ
Базы данных
Уравнения в частных производных
Фундаментальный анализ
+
Стохастический анализ
Компьютерная геометрия и компьютерное моделирование
Дифференциальная геометрия и топология
Комплексный анализ
Циклы, дисциплины (модули) учебного плана ООП бакалавра
6 семестр
+
* - дисциплина базовой части
25
10.2 Описание показателей и критериев оценивания компетенций на различных этапах их формирования, описание шкал оценивания:
Таблица 7.
Карта критериев оценивания компетенций
ОПК-1
Код компетенции
Критерии в соответствии с уровнем освоения ОП
пороговый
(удовл.)
61-75 баллов
повышенный
(отл.)
91-100 баллов
Знает: основные Знает: основные
понятия и утвер- понятия и утверждения
ждения, а также
методы
доказательства
стандартных
утверждений
Умеет: решать
Умеет: решать
Знает:
основные
понятия и утверждения, а также
методы
доказательства
утверждений
простейшие задачи вычислительного и теоретического характера
задачи вычислительного и теоретического характера, доказывать
утверждения
Владеет: мате-
ПК-3
базовый (хор.)
76-90 баллов
матическим аппаратом, аналитическими методами исследования
Знает: имеет
представление
о том, что такое
результат решения задачи
Умеет: сформулировать результат учебной
деятельности
по образцу
стандартные задачи вычислительного и теоретического характера, доказывать стандартные утверждения
Владеет: математическим аппаратом, аналитическими методами исследования
Знает: о том, что
такое результат
решения задачи
Умеет: сформулировать результат учебной
деятельности
самостоятельно
Виды занятий (лекции,
семинар
ские, практические, лабораторные)
Оценочные
средства (тесты, творческие работы,
проекты и
др.)
Лекции,
практические
занятия
Тестирование, контрольная работа
Лекции,
практические
занятия
Тестирование, контрольная работа
Умеет: решать
Владеет: матема-
тическим аппаратом, аналитическими методами
Знает: о том, что
такое результат
учебной и научной работы по
алгебре
Умеет: сформулировать результат учебной и
научноисследовательской деятельности самостоятельно
Владеет: навыком выделения
результата
учебной деятельности по
образцу
ПК-4
Знает: имеет
представление
о доказательствах и строении теоремы
Умеет: понимать доказательство простейших утверждений из вузовского учебника
Владеет: воспроизводит доказательство
простейших
утверждений из
вузовского
учебника
Владеет: навыком выделения
результата
учебной деятельности самостоятельно
Владеет: навыком выделения
результата учебной и научноисследовательской деятельности самостоятельно
Знает: строение Знает: строение
теоремы и стан- теоремы и стандартные методы дартные и недоказательства в стандартные мефундаментальтоды доказательной алгебре
ства
Умеет: строго
Умеет: строго
доказывать алдоказывать алгебраические
гебраические
утверждения из утверждения савузовского
мостоятельно
учебника
Владеет: воспроизводит доказательство
утверждений из
вузовского
учебника
Лекции,
практические
занятия
Тестирование, контрольная работа
Владеет: методами строгого доказательства алгебраических
утверждений
10.3 Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые для оценки
знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности, характеризующей этапы формирования компетенций в процессе освоения образовательной программы.
Контрольные работы.
Контрольная работа №1.
1. Вычислить определитель:
1 2 3 4  5 5 4
 4 3 2 1  11 9 4

 1 
1 2 1 2  9 8 3

 
 2 1 2 1  11 9 4
2. Решить систему уравнений методом Крамера:
 x1  2 x2  3x3  6

 x1  4 x2  3x3  8
2 x  6 x  9 x  17
2
3
 1
3. Решить матричное уравнение:
6
5 
6

7
27
 2 1 2
 1 1 1  1 1 1 
 3 2 4   X   3 2 2   1 1 2 



 

5 3 7
 6 3 4  1 2 3 



 

Контрольная работа №2.
1. Вычислить ранг матрицы:
 7 4 12 11 2 4 
 2 0 21 9 16 15 


 3 4 30 7 34 26 


 8 8 63 5 36 21 
 15 12 75 6 38 17 


2. Решить систему линейных уравнений:
 2 x1  x2  3 x3  7 x4  5
 6 x  3x  x  4 x  7

1
2
3
4

 4 x1  2 x2  2 x3  3 x4  2
4 x1  2 x2  14 x3  31x4  18
3. Решить систему линейных однородных уравнений:
 2 x1  x2  3x3  5 x4  0
 x  2x  2x  x  0
 1
2
3
4

 3 x2  7 x3  7 x4  0
 x1  4 x2  12 x3  13x4  0
4. Известны координаты вектора a  1, 2,  3, 2  в базисе  e1, e2 , e3 , e4 
.
Найти
координаты
этого
вектора
в
базисе
 e1  e2  e3  e4 , e1  e2  e3, e1  e2 , e1  .
Контрольная работа №3.
1. Найти собственные значения и собственные векторы линейного
оператора, заданного в некотором базисе матрицей:
 1 3 1
 3 5 1


 3 3 1 


2. Вычислить в поле комплексных чисел:
4 64
3. Найти наибольший общий делитель многочленов:
x5  2 x 4  2 x 3  3 x  2 и x 4  2 x 3  3 x 2  2 x  4 .
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ (КОЛЛОКВИУМУ)
28
Семестр 1
1. Декартово произведение множеств.
2. Понятие алгебраической операции (внутренней композиции). Коммутативные и ассоциативные алгебраические операции. Нейтральный и
симметричный элементы относительно алгебраической операции и
теоремы об их единственности. Определение операции, обратной к алгебраической. Дистрибутивные алгебраические операции.
3. Определение группы и общепринятые обозначения группы. Абелевы
группы.
4. Мультипликативное и аддитивное задание группы. Сходство и различие в основной терминологии.
5. Перестановки и мультипликативная группа подстановок;
6. Аддитивная группа вычетов;
7. Циклические группы; разложение группы на смежные классы по подгруппе; теорема Лагранжа.
8. Понятие о инъективном, сюръективном и биективном отображениях.
Определение изоморфизма групп.
9. Определение кольца. Анализ аксиом кольца. Свойства кольца относительно алгебраической операции сложения, относительно алгебраической операции умножения. Аксиома дистрибутивности.
10.Коммутативное кольцо и кольцо с единицей. Свойства кольца. Понятие
о делителях нуля. Изоморфизм колец.
11.Кольцо вычетов
12.Определение поля, свойства поля.
13.Примеры полей.
14.Поле комплексных чисел. Равенство, сумма и произведение комплексных чисел.
15.Представление комплексных чисел через мнимую единицу.
16.Операция сопряжения комплексных чисел и ее свойства.
17.Комплексная плоскость и сложение комплексных чисел на плоскости.
18.Комплексные числа в тригонометрической форме. Модуль и аргумент
комплексного числа. Свойства аргумента. Равенство комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме.
19.Неравенство треугольника на комплексной плоскости.
20.Умножение и деление комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме.
21.Формула Муавра возведения комплексных чисел в целую степень.
22.Вычисление корней из комплексного числа. О возведении комплексного числа в рациональную степень.
23.Определение вещественного линейного пространства (векторное пространство), аксиомы внутреннего и внешнего законов композиции. Понятие разности элементов (векторов) пространства.
24.Классические примеры линейных пространств.
29
25.Тривиальные и нетривиальные линейные комбинации элементов (векторов). Понятие линейной зависимости и независимости векторов.
26.Теорема о связи линейной независимости системы векторов с единственностью разложения линейно-зависимого вектора по этой системе.
27.Матрицы. Определение, основные понятия и обозначения.
28.Равные матрицы. Противоположные матрицы. Операция сложения
матриц и ее свойства. Вычитание матриц.
29.Операция произведения матриц на число и ее свойства.
30.Операция произведения матриц и ее свойства.
31.Операция транспонирования матриц и ее свойства.
32.Матрицы специального вида.
33.Элементарные преобразования матриц и матрицы, соответствующие
элементарным преобразованиям. Трапецевидная матрица. Основные
теоремы об элементарных преобразованиях матриц.
34.Определитель. Основное определение определителя. Вычисление
определителя треугольной матрицы по определению.
35.Свойства определителя и доказательство одного из них.
36.Понятие минора и его алгебраического дополнения.
37.Теорема Лапласа о разложении определителя по минорам произвольных k строк (столбцов). Частный случай разложения определителя по
произвольной строке (столбцу)
38.Теоремы о вычислении определителя квазидиагональной матрицы и
определителя произведения матриц.
39.Вычисление определителя методом Гаусса.
40.Доказательство теоремы о «фальшивом » разложении определителя
41.Понятие об обратной, вырожденной и присоединенной матрицах.
Свойства обратной матрицы.
42.Критерий обратимости матрицы и ее вычисление с помощью присоединенной матрицы (доказательство теоремы.)
43.Определение сопряженной матрицы и свойства операции сопряжения
матриц.
Понятие эрмитовой и унитарной матриц. Вычисление матрицы, обратной к унитарной
44.Теорема о приведении невырожденной матрицы к единичной матрице.
45.Решение систем алгебраических уравнений с невырожденной матрицей
методом обратной матрицы и методом Жордана.
46.Понятие о ранге матрицы и базисном миноре. Теорема о базисном миноре.
47.Теоремы о ранге матрицы. Теоремы о преобразованиях матрицы, не
меняющих ее ранг.
48.Теоретическая основа метода Гаусса вычисления ранга.
49.Понятие о эквивалентных матрицах и о необходимом и достаточном
условии их эквивалентности.
30
50.Понятие о базисе линейного пространства. Теореме о необходимом и
достаточном признаке базиса. Размерность пространства.
51.Понятие о конечномерном и бесконечномерном линейных пространствах.
52.Базис и координаты вектора. Сложение векторов и умножение вектора
на число в координатной форме.
53.Два базиса n-мерного пространства и матрицы взаимного преобразования базисов. Связь координат вектора, заданного в двух базисах.
54.Понятие о линейном подпространстве и линейном многообразии.
55.Понятие прямой суммы подпространств и критерии прямой суммы.
56.Система линейных алгебраических уравнений. Основные понятия и
формы записи.
57.Эквивалентные преобразования системы уравнений. Теорема об умножении системы Ax  b на невырожденную матрицу. Произвольная невырожденная матрица как произведение матриц элементарных преобразований.
58.Решение систем уравнений с невырожденной матрицей методом Крамера и с помощью обратной матрицы.
59.Алгебраические системы уравнений общего вида. Теорема КронекераКапели.
60.Однородные алгебраические системы.
61.Главные и свободные неизвестные алгебраической системы общего вида и техника получения всех решений.
62.Общее решение системы уравнений. Однородные системы линейных
уравнений и их свойства.
63.Метод Гаусса исследования и решения системы линейных уравнений.
64.Кольцо многочленов.
65.Деление многочленов с остатком; теорема Безу.
66.Корни многочлена, их кратность. Формулы Виета связи корней и коэффициентов многочлена.
67.Наибольший общий делитель многочленов и алгоритм Евклида его
нахождения.
Семестр 2
68.Определение линейного (векторного) пространства над произвольным
полем.
69.База и ранг системы векторов. Базис линейного пространства.
70.Примеры: рациональное, вещественное и комплексное пространства.
71.Пример: поле вычетов по модулю два (состоит всего из двух элементов: 0,1).
72.Пример: Множество М состоит из n элементов. На нем строится множество S всех его подмножеств. На множестве S вводится операция
сложения двух элементов как объединение соответствующих подмно31
жеств с удалением из него пересечения этих подмножеств. Внешняя
композиция задается над полем вычетов по модулю два по правилу:
умножение на 0 дает нулевой элемент, а умножение на 1 не меняет
элемент. Показать, что множество S относительно введенных операций
является полем.
73.Определение изоморфизма пространств над общим полем.
74.Линейное подпространство над произвольным полем, его размерность.
Сумма и пересечение линейных подпространств и их размерности.
75.Понятие прямой суммы подпространств и критерии прямой суммы.
76.Определение скалярного произведения в вещественном или комплексном пространствах. Аксиомы скалярного произведения. Скалярное
произведение в вещественном пространстве – частный случай скалярного произведения в комплексном пространстве.
77.Определение евклидова и унитарного пространств. Примеры таких
пространств.
78.Неравенство Коши-Буняковского.
79.Неравенства треугольника.
80.Определение матрицы Грама и ее свойства.
81.Вычисление скалярного произведения векторов при наличии базиса евклидова (унитарного) пространства с помощью матрицы Грама.
82.Определение изоморфизма евклидовых (унитарных) пространств.
83.Ортогональные векторы. Линейная независимость системы ортонормированных векторов. Базис евклидова (унитарного) пространства.
84.Вычисление координат вектора в пространстве с ортонормированным
базисом. Вычисление скалярного произведения.
85.Теорема о существовании ортонормированного базиса в конечномерном пространстве и процесс ортогонализации Шмидта.
86.Определение линейного оператора, действующего из пространства V в
пространство W, заданных над общим полем. Свойства линейного пространства: сохранение нулевого элемента, сохранение линейной комбинации и сохранение линейной независимости.
87.Примеры линейных операторов: оператор проектирования, оператор
отражения, нулевой оператор, единичный оператор, оператор дифференцирования, линейный оператор-«изоморфизм линейных пространств».
88.Теорема о связи базиса n- мерного пространства Vc произвольной системой n векторов пространства W, устанавливаемой с помощью оператора A:V→W.
89.Матрица Afe оператора A в паре базисов e и f и ее однозначность.
90.Использование матрицы Afe оператора A для преобразования векторов
из пространства V в пространство W.
91.Подобие квадратных матриц.
92.Связь матриц оператора A, заданных в разных парах базисов.
32
93.Связь матриц оператора A, преобразующего пространство в себя, заданных в разных базисах.
94.Образ и ядро линейного оператора, а также его ранг и дефект.
95.Линейное пространство линейных операторов, умножение линейных
операторов. Обратный оператор. Теорема Кэли-Гамильтона.
96.Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.
Характеристический многочлен.
97.Операторы и матрицы простой структуры.
98.Инвариантные подпространства.
99.Корневые подпространства. Жорданова форма матрицы линейных
операторов
100.Сопряженный и самосопряженный операторы
101.Нормальные операторы
102.Унитарные операторы
103.Норма оператора
104.Линейные операторы в нормированных пространствах.
105.Нормы операторов и матриц
106. Группы преобразований
107. Классификация движений
108.
Билинейные формы. Определения. Способы записи билинейной
формы в конечномерном пространстве с заданным базисом. Матрица
билинейной формы.
109.
Теорема о связи матриц билинейной формы, заданной в разных
базисах
110.
Симметричная билинейная форма и ее связь с симметричной
матрицей.
111.
Вырожденные и невырожденные билинейные формы
112.
Квадратичные формы и полярные к ним формы. Связь матриц
данной квадратичной формы, заданной в разных базисах. Компактная
запись квадратичной формы. Ранг квадратичной формы.
113.
Канонический базис и канонический вид квадратичной формы.
Канонический вид билинейной формы.
114.
Метод Якоби получения канонической формы квадратичной
формы и условия его применения.
115.
Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду.
116.
Положительный и отрицательный индексы инерции квадратичной формы и ее сигнатура. Закон инерции квадратичной формы. Сигнатурное правило Якоби.
117.
Критерий Сильвестра положительно (отрицательно) определенной квадратичной формы.
118. Тензорная алгебра векторного пространства
119. Симметрическая алгебра
120. Алгебра Грассмана.
33
Семестр 3
121. Системы компьютерной алгебры.
122. Алгоритмы компьютерной алгебры.
123. Задача представления данных: кольцо целых чисел, кольцо вычетов
и конечные поля, рациональные числа, алгебраические числа, трансцендентные числа.
124. р-адические числа: целые р-адические числа, добные р-адические
числа, аксиоматическая характеристика поля р-адических чисел.
125. Многочлены и рациональные функции: многочлены, рациональные
функции, обобщенные многочлены и рациональные функции, векторные пространства и модули.
126. Наибольший общий делитель. Определения и алгоритмы вычисления.
127. Алгоритмы вычисления НОД(a,b) в кольцах многочленов k[x], Z[x].
128. Границы для коэффициентов делителя полинома: неравенство Коши,
неравенство Ландау.
129. Определение базисов Грёбнера.
130. Базисы Грёбнера в полиномиальных, дифференциальных и разностных модулях.
131. Инволютивные базисы.
132. Определение целозначных многочленов и их основные свойства.
133. Размерностные многочлены в Nm. Размерностный многочлен матрицы.
134. Алгоритмы вычисления размерностных многочленов.
135. Алгоритмы Кронекера.
136. Разложение на множители, свободные от квадратов.
137. Факторизация, основанная на переборе неприводимых сомножителей
в K[x].
138. Разложение многочленов на неприводимые множители по модулю p.
139. Лемма Гензеля
140. Редуцированные базисы решетки.
141. Редуцированные базисы в решетке.
142. Алгоритмы факторизации, основанные на выборе малого вектора в
решетке: Архимедова метрика.
143. Интегрирование полиномов и рациональных функций.
144. Структурная теорема.
145. Интегрирование логарифмических функций.
146. Интегрирование экспоненциальных функций.
147. Решение дифференциального уравнения Риша.
34
10.4 Методические материалы, определяющие процедуры оценивания знаний,
умений, навыков и (или) опыта деятельности характеризующих этапы формирования компетенций.
Текущая аттестация:
Контрольные работы; В каждом семестре проводятся контрольные работы (на семинарах).
Коллоквиумы;
Промежуточная аттестация:
Экзамен (письменно-устная форма).Экзамены оцениваются по системе: неудовлетворительно, удовлетворительно, хорошо, отлично.
Текущий и промежуточный контроль освоения и усвоения материала дисциплины
осуществляется в рамках рейтинговой (100-балльной) и традиционной (4-балльной) систем оценок.
Экзаменационная оценка студента в рамках рейтинговой системы оценок является
интегрированной оценкой выполнения студентом заданий во время практических занятий,
индивидуальных домашних заданий, контрольной работы исдачи коллоквиумов. Эта
оценка характеризует уровень сформированности практических умений и навыков, приобретенных студентом в ходе изучения дисциплины. Соответствующие умения и навыки,
а также критерии их оценивания приведены в таблице 7.
Экзаменационная оценка студента в рамках традиционной системы оценок выставляется на основе ответа студента на теоретические вопросы, перечень которых представлен в п. 10.3, а также решения задач, примерный уровень которыхсоответствует уровню
задач, приведенных в п.10.3 (контрольные работы). Эта оценка характеризует уровень
знаний, приобретенных студентом в ходе изучения дисциплины. Соответствующие знания
и критерии их оценивания приведены в таблице 7.
11. Образовательные технологии.
При организации самостоятельной работы применяются технологии проблемного
обучения, проблемно-исследовательского обучения (в частности, при самостоятельном
изучении теоретического материала), дифференцированного обучения, репродуктивного
обучения, проектная технология, а также современные информационные технологии обучения.
В процессе проведения аудиторных занятий используются следующие активные и
интерактивные методы и формы обучения: проблемное практическое занятие, работа в
малых группах, дискуссия, самостоятельная работа с учебными материалами, представленными в электронной форме, защита проектов.
12. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля).
12.1 Основная литература:
35
1.Ильин В.А. Линейная алгебра: учеб. для студентов физ. спец. и спец. "Прикл. мат."/
В. А. Ильин, Э. Г. Позняк; Моск. гос. ун-т им. М. В. Ломоносова. - 6-е изд., стер.. Москва:Физматлит, 2007. - 280 с.
2. Курош А.Г. Курс высшей алгебры: учеб. для студ. вузов, обуч. по спец. "Математика", "Прикладная математика"/ А. Г. Курош. - 17-е изд., стер.. - Санкт-Петербург: Лань,
2008. - 432 с.
12.2 Дополнительная литература:
1. Воеводин, В.В. Линейная алгебра: учеб. пособие/ В. В. Воеводин. - 4-е изд., стер.. Санкт-Петербург: Лань, 2008. - 416 с.
2. Беклемишев, Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: учеб. для
студ. вузов/ Д. В. Беклемишев. - 12-е изд., испр.. - Москва: Физматлит, 2008. - 312 с.
3. Дегтев А.Н. Алгебра и логика: учеб. пособие по спец. "Математика"/ А. Н. Дегтев. 3-е изд.. - Тюмень: Изд-во ТюмГУ, 2008. - 88 с.
4. Дегтев А.Н. Алгебра. Математическая логика и теория алгоритмов: учеб.-метод.
комплекс : сб. индивид. контр. заданий для студ. спец. "Математика"/ А. Н. Дегтев;
Тюм. гос. ун-т. - Тюмень: Изд-во ТюмГУ, 2010. - 38 с.
5. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре: учеб. пособие/ И. В. Проскуряков. - 12-е изд., стер.. - Санкт-Петербург: Лань, 2008. - 480 с.
6. Фаддеев Д.К. Задачи по высшей алгебре: учеб. пособие для студ. вузов, обуч. по мат.
спец./ Д. К. Фадеев, И. С. Соминский. - 16-е изд., стер.. - Санкт-Петербург: Лань, 2007.
- 288 с.
7. Шипачев, В.С. Задачник по высшей математике: учебное пособие для студентов вузов/ В. С. Шипачев. - 9-е изд., стер.. - Москва: Высшая школа, 2009. - 304 с.
12.3 Интернет-ресурсы:
1. Электронная библиотека Попечительского совета механико-математического факультета Московского государственного университета http://lib.mexmat.ru
2. eLIBRARY – Научная электронная библиотека (Москва) http://elibrary.ru
13. Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении образовательного процесса по дисциплине (модулю), включая перечень программного обеспечения и информационных справочных систем (при необходимости).
При выполнении практических работ в качестве информационных технологий используется следующее программное обеспечение:
1. MicrosoftWord.
36
2. MicrosoftExcel.
3. MicrosoftPowerPoint.
14. Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля).
Учебные аудитории для проведения лекционных и практических занятий, в частности,
оснащенные интерактивной доской и/или проектором.
15. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины
(модуля).
Для более эффективного освоения и усвоения материала рекомендуется ознакомиться с теоретическим материалом по той или иной теме до проведения семинарского
занятия. Работу с теоретическим материалом по теме с использованием учебника или конспекта лекций можно проводить по следующей схеме:
- название темы;
- цели и задачи изучения темы;
- основные вопросы темы;
- характеристика основных понятий и определений, необходимых для усвоения
данной темы;
- список рекомендуемой литературы;
- наиболее важные фрагменты текстов рекомендуемых источников, в том числе
таблицы, рисунки, схемы и т.п.;
- краткие выводы, ориентирующие на определенную совокупность сведений, основных идей, ключевых положений, систему доказательств, которые необходимо усвоить.
В ходе работы над теоретическим материалом достигается
- понимание понятийного аппарата рассматриваемой темы;
- воспроизведение фактического материала;
- раскрытие причинно-следственных, временных и других связей;
- обобщение и систематизация знаний по теме.
При подготовке к экзамену рекомендуется проработать вопросы, рассмотренные на
лекционных и практических занятиях.и представленные в рабочей программе, используя
основную литературу, дополнительную литературу и интернет-ресурсы.
37
Ниже следует краткое изложение материала, которое позволит учащимся систематизировать знания, полученные на лекциях, восполнить возможные «пробелы» в изучении
предмета, а так же приведены примеры решений некоторых типовых задач для подготовки к контрольным работам.
ГЛАВА I.
МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.
§1.1. Матрицы и операции над ними.
Прямоугольная таблица элементов некоторого множества K , состоящая из m
строк и n столбцов, называется матрицей порядка m на n ( m  n ). Матрицы будем обозначать буквами A, B, ..., а их элементы, находящиеся на пересечении i  ой строки и
j  ого столбца через aij , bij и т.д. Если m  n , то матрица называется квадратной порядка n . В общем виде матрица m  n записывается следующим образом:
 a11

a
A   21
...

 am1
1 . Суммой двух матриц A  aij
 
a1n 

a22 ... a2n 
... ... ... 

am 2 ... amn 
и B  bij одного и того же порядка m  n
a12
...
 
 


называется матрица C  cij порядка m  n , где cij  aij  bij i  1..m ; j  1..n .
Пример 1.
 2 1 4 5 6 2  2  5 1  6

 
 
1 3 2  3 4 1   1  3 3  4
 3 4 5 5 1 2  3  5 4  1

 
 
2 . Произведением матрицы A  aij на число
4  2  7 7 6
 

2  1    4 7 3 .
5  2   8 5 7 
 
 называется матрица, у которой
каждый элемент равен произведению соответствующего элемента матрицы A на число 
:
A   aij   aij  i  1..m, j  1..n.
Пример 2.
1 2   2 1  2  2   2  4
  
  
.
3 4   2  3  2  4   6  8 
 2
 
3 . Произведением матрицы A  aij , имеющей m строк и k столбцов, на матрицу
 
B  bij ,
 
имеющую
k строк
и
n столбцов,
называется
матрица
C  cij , имеющая mстрок и n столбцов, у которой элемент cij равен сумме произведений элементов i  ой строки матрицы A и j  ого столбца матрицы B , т. е.


cij  ai1b1 j  ai 2b2 j    aik bkj i  1..m, j  1..n .
При этом число k столбцов матрицы A должно быть равно числу строк матрицы B . В
противном случае произведение не определено.
Пример 3.
38
 3 2
 1  3  2  5  3  0 1  2  2  4  3  1 13 13 
1 2 3  
  
 .

   5 4   
1

3

3

5

2

0
1

2

3

4

2

1
18
16
1
3
2
 


 0 1 


§1.2. Определители. Теорема Лапласа.
Перестановкой из n чисел называется всякое расположение чисел от 1 до n в каком либо порядке. В общем виде она записывается так
i1, i2 , ..., in .
(1)
Говорят, что в перестановке (1) числа is и it образуют инверсию, если s  t , но is  it .
Перестановку называют чётной (нечётной), если количество всех её инверсий есть число
чётное (соответственно нечётное). Оно обычно подсчитывается так: берём число i1 и
находим количество чисел, лежащих правее и меньших i1 , т.е. число инверсий, которое
образует i1 с остальными. Затем поступаем аналогично с числами i2 , ..., in 1. Сумма
этих чисел и будет количеством всех её инверсий. Например, в перестановке 5, 3, 1, 4, 2
число инверсий равно 7 и поэтому она нечётная.
Определителем квадратной матрицы называется сумма всех её правильных произведений, причём каждое из них в этой сумме берётся со знаком «плюс», если соответствующая ему перестановка чётная, и со знаком «минус» – в противном случае.
Определитель матрицы A порядка n записывается так:
a11
a12
a
A  21
...
a 22
...
... a1n
... a 2n
...
...
a n1 an 2 ... a nn
Если в матрице зафиксировать k различных строк и столбцов, то на их пересечении
элементы составят матрицу порядка k , определитель которой называется минором
k  ого порядка этой матрицы. Если же исходная матрица квадратная и в ней вычеркнуть
k различных строк и столбцов с номерами i1 ,..., ik и j1 ,..., jk , то определитель, составленный из элементов оставшихся n  k строк и столбцов, умноженный на число
(1)i1 ... ik  j1 ... jk называется алгебраическим дополнением исходного минора
k  ого порядка.
ТЕОРЕМА ЛАПЛАСА. Зафиксируем в определителе k строк. Тогда сумма произведений всех миноров k  ого порядка, лежащих в этих фиксированных строках, на их
алгебраические дополнения равна исходному определителю.
СЛЕДСТВИЕ. Сумма произведений всех элементов фиксированной строки определителя
на
их
алгебраические
дополнения
равна
определителю,
т.е.
n
A  ai1  Ai1  ai 2  Ai 2  ...  ain  Ain   aij  Aij , при любом фиксированном
j 1
i, 1  i  n. □
Матрица A называется треугольной, если все элементы над или под главной диагональю равны нулю. Непосредственно из определения определителя следует, что определитель треугольной матрицы равен произведению элементов его главной диагонали.
Наконец, полезно запомнить правила вычислений определителей второго и третьего порядка. Именно,
39
a11
a12
a21 a22
 a11a22  a12 a21.
Пример 4.
2 3
4 5
 2  5  3  4  2 .
a11a12 a13
a21a22 a23  a11a22 a33  a12 a23a31  a13a21a32 
a31a32 a33
 a13a22 a31  a11a23a32  a12 a21a33 .
Чтобы запомнить, какие произведения в правой части равенства берутся со знаком
‹‹+››, а какие со знаком ‹‹-›› полезно использовать следующее правило треугольников:
Пример 5.
3 2
2
3
4
0
1
1  3  3   2    2   1  4   1  2  0   1  3  4   2   2   2  
2
 3  1  0  18  8  12  8  22.
Для вычисления определителей более высоких порядков пользуются следующим
алгоритмом: с помощью свойства 9 определителей добиваются того, чтобы в одной строке
(или в одном столбце) все элементы за исключением одного равнялись нулю, затем по
следствию 1 из теоремы Лапласа расписывают определитель по этой строке (столбцу).
Тем самым вычисление определителя n  ого сводят к вычислению определителя
n 1  ого порядка. При необходимости процедуру повторяют.
Пример 6. Вычислить определитель


D
1
2
3
2
2
0
1
3
1
2
3
2
2 2
1
3
.
Решение. Домножив первую строку на (-2), (-1), (-2) и добавляя её соответственно
ко второй, третьей и четвёртой строке, получим
40
2
3
2
0 4
7
7
0
0
6
0
0 6
7
1
1
D
.
Распишем определитель по первому столбцу:
4 7 7
D  1   111  0 6
6 7
0 .
1
Расписывая полученный определитель третьего порядка по второй строке, получим
D  6   12  2 
4 7
6
1
 228.
§1.3. Теоремы о произведении определителей и обратной матрице. Правило
Крамера.
ТЕОРЕМА (о произведении определителей). Определитель произведения двух
квадратных матриц A и B одного и того же порядка равен произведению их определителей, т.е. A  B  A  B .
Пусть A и B  матрицы порядка n . Матрица B называется обратной для матрицы A , если AB  BA  E . Матрица A называется невырожденной, если A  0 .
ЛЕММА (к теореме об обратной матрице).
(а) если A имеет обратную матрицу B , то A - невырожденная;
(б) если обратная матрица для A существует, то она единственна.
ТЕОРЕМА (об обратной матрице). Если матрица A - невырожденная матрица, то
она имеет обратную матрицу 1 , где
A
 A11 An1 
...


A 
 A11 ... An1 
 A


1
1 
A  ...............     ..............  (4)

 A
 A ... A 
 A1n Ann 
nn 
 1n
...
 A

A 

Иными словами,
ij  ый
элемент A1 равен алгебраическому дополнению
ji  го
эле-
мента A , деленному на A .
Пример 7.
 3  1 0


Дана матрица A    2
1 1  . Её определитель A  5 , поэтому обратная
 2  1 4


матрица A1 существует. Найдём алгебраические дополнения элементов матрицы A :
1 1
2 1
A11   111 
 5; A12   11 2 
 10 ;
1 4
2 4
41
A13   11 3 
2
1
 0;
1 0
 4;
1 4
3 1
A23   12  3 
1;
2 1
3 0
A32   13 2 
 3 ;
2 1
3 1
A33   13 3 
 1.
2 1
A21 A31 
 5 4  1
 1

A22 A32   10 12  3 .
5
A23 A33 
1 
0 1
2 1
3 0
A22   12  2 
 12;
2 4
1 0
A31   131 
 1;
1 1
 A11

1
1
Тогда A    A12
5 
 A13
A21   12 1 
Линейным уравнением от n неизвестных x1 ,..., x n называется уравнением вида
a1 x  a 2 x 2  ...  a n x n  b .
Поэтому системой линейных уравнений (СЛУ) называется система вида
a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1
a x  a x  ...  a x  b
 21 1
22 2
2n n
2
(5)

..........
..........
..........
.........



am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn  bn
Эта СЛУ состоит из m уравнений от n неизвестных. Матрица A  aij , составленная из
 
коэффициентов при неизвестных, называется основной, а если к ней приписать столбец из
b1 ,..., bm - свободных членов СЛУ (5), то полученную матрицу называют расширенной.
СЛУ (5) можно записать и в матричном виде
 x1   b1 
   
 x  b 
A 2    2 


   
 x  b 
 n  n
(6)
СЛУ (5) называется крамеровской, если число уравнений в ней равно числу неизвестных m  n и основная матрица ее невырожденная.
ПРАВИЛО КРАМЕРА. Крамеровская СЛУ имеет единственное решение


x1,..., xn , которое находится по формулам



x1  1 , x2  2 ,..., xn  n ,



где   определитель основной матрицы СЛУ, а  i получается из  в результате замены в  i  го столбца на столбец из свободных членов.
Пример 8. Решить систему уравнений
42
 x  2y  z 1

2 x  y  z  1
 x  3 y  z  2.

1 2 1
Решение.   2
1 1  1;
1 3 1
1
2 1
1
1
1
1 2
1
1   1 1 1  1;  2  2  1 1  1;  3  2 1  1  0,
2 3 1
1 2 1
1 3 2



1
1
0
 1; y  2   1; z  3   0.
т. о. x  1 

1
 1
 1
ГЛАВА II. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.
§2.1. Арифметическое линейное пространство R n .
Рассмотрим множество R n всех n  ок (строк из n элементов) действительных
чисел 1 ,..., n  . Введем на этом множестве умножение числа на n  ку и сложение
n  ок так:
 1 ,..., n   1 ,...,  n ,
1 ,..., n   1 ,...,  n   1  1 ,..., n   n .
Ниже n  ки будем называть векторами, и обозначать латинскими буквами
a,b,..., возможно с нижними индексами. Исключение составит нулевой вектор
  0,...,0 . Числа из R
будем обозначать греческими буквами
 ,  ,...
Множество R n , вместе со сложением векторов и умножение числа на вектор образуют арифметическое линейное пространство или n - мерным векторным пространством.
Вектор вида 1a1  ...   m a m называется линейной комбинацией векторов
a1 ,  , a m (с коэффициентами 1 ,..., m ). Говорят, что система векторов a1 ,  , a m
является линейно независимой, если для любых чисел 1 ,..., m равенство
1a1  ...   n a n   влечет, что 1  ...   n  0 . В противном случае система векторов a1 ,  , a m называться линейно зависимой. Равносильно, система векторов
a1 ,  , a m линейно зависима, если найдутся числа 1 ,..., m , не все из которых равны
0 , но 1a1  ...   m a m   . Равенство 1a1  ...   m a m   можно выразить словами: линейная комбинация векторов a1 ,  , a m с коэффициентами 1 ,..., m равна нулевому вектору.
Линейно независимая система порождающих называется базисом R n .
Нетрудно понять, что следующая система векторов будет базисом в R3 :
e1  1, 0, 0; e2  0, 1, 0; e3  0, 0, 1.
§2.2. Ранг матриц.
43
Наивысший порядок минора матрицы, неравного нулю, называется минорным рангом матрицы.
Будем смотреть на столбцы, впрочем, как и на строки, матрицы m n как на векторы пространства m (соответственно, n ). Говорят, что подмножество векторов
R
L
R
линейного пространства является его подпространством, если для всех
 выполнены два условия:
(а) a, b  L  a  b  L ;
a, b  L и числа
(б) a  L    a  L .
Универсальным способом получения подпространств является следующий: надо
взять произвольное множество A векторов из пространства и тогда, как не трудно проверить, множество L всевозможных линейных комбинаций векторов из A образует подпространство исходного линейного пространства, о котором говорят, что оно порождено
векторами A . По теореме о базисах любая максимальная линейная независимая система
векторов из A содержит одно и то же число векторов. Поэтому корректно следующее
определение: число столбцов, образующих в матрице максимальную линейно независимую систему, называется рангом матрицы по столбцам. Аналогично определяется и ранг
матрицы по строкам.
ТЕОРЕМА (о ранге матриц). Ранг матрицы по столбцам равен ее минорному рангу.
Пример 1. Найти ранг матрицы
3

1
A
2

2
1
0

2 2 2 1
.
3 3 3  1

2 1 1  1
4 3
Решение. Минор второго порядка, стоящий в левом верхнем углу этой матрицы отличен от нуля.
d
3 4
1 2
 2.
Минор третьего порядка
3 4 3
/
d  1 2 2  1,
2 3 3
окаймляющий d , отличен от нуля, однако оба минора четвёртого порядка, окаймляющие
d / , равны нулю:
3 4 3
1
1 2 2 2
2 3 3
3
2 2 1
1
0;
3 4 3
0
1 2 2
1
2 3 3 1
 0,
2 2 1 1
т. е. ранг матрицы A равен трём.
Назовём элементарными следующие преобразования матриц:
 перестановка строк (столбцов);
 домножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;
44
 добавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на некоторое число;
 вычёркивание нулевой строки (столбца).
УТВЕРЖДЕНИЕ 1. Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы. □
УТВЕРЖДЕНИЕ 2. Система из k векторов
1, 2 , 3 ,, k ,, n  ;
0 ,  2 ,  3 ,,  k ,,  n  ;
0 ,0 ,  3 ,,  k ,,  n  ;

0
,0 ,0 ,,  k ,,  n 
линейно независима. □
В заключении укажем ещё один алгоритм нахождения ранга матриц, основанный
на утв. 1, 2: с помощью элементарных преобразований приведём матрицу к ступенчатому
виду; количество её строк и будет рангом матрицы.
Пример 2. Найти ранг матрицы






4

2 2 1
0
.
3 0
4
4

1 4  3  5 
1
2
3
Решение. Домножим первую строку матрицы на (-2), (-3), (-1) и прибавим, соответственно, ко второй, третьей и четвёртой строкам, получим






4

0  6  5  8
.
0  6  5  8

0  6  6  9 
1
2
3
Теперь домножим вторую строку матрицы на (-1) и прибавим к третьей и четвёртой строкам. Вычеркнув нулевую строку, получим матрицу
3
4
1 2


 0  6  5  8
 0 0  1  1


ступенчатого вида, у которой три строки. Т. е. ранг матрицы равен трём.
§2.3. Системы линейных уравнений.
Общий вид СЛУ задается системой:
a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1
a x  a x  ...  a x  b
 21 1
22 2
2n n
2
(*)

..........
..........
..........
.........



am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn  bn
Набор чисел x1,, xn такой, который при подстановке вместо x1 ,, xn , каж-


дое из уравнений системы обращает в тождество, называется ее частным решением.
Найти общее решение СЛУ, значит указать метод, позволяющий получить все частные ее
45
решения. СЛУ называется совместной, если она имеет хотя бы одно частное решение, и
несовместной– иначе.
Классической является следующая
ТЕОРЕМА КРОНЕКЕРА – КАПЕЛЛИ. Система линейных уравнений совместна
тогда и только тогда, когда ранг ее основной матрицы равен рангу расширенной.
Две СЛУ от одного и того же числа неизвестных называются равносильными, если
они обе не совместны, либо множества их частных решений равны. Нетрудно показать,
что полученная СЛУ равносильна исходной, если
 из СЛУ вычеркнуть уравнение вида 0  0 ;
 обе части какого-то уравнения СЛУ умножить на число, отличное от нуля;
 прибавить к одному из уравнений другое, умноженное на некоторое число.
Изложим один метод решения СЛУ (*), называемый методом последовательного
исключения переменных (или методом Гаусса). Будем считать, что a11  0 (этого можно
всегда добиться с помощью перестановок строк). Попытаемся теперь, умножая первое
уравнение на подходящие числа и прибавляя его к последующим, уничтожить в них сла-
 a 
гаемые, содержащие x1 . Для этого, умножаем первое уравнение на   21  и прибавля a11 
 a 
ем ко второму, и так далее, пока не умножим первое уравнение на   m1  и не приба a11 
вим к последнему. Получим равносильную СЛУ вида
 a11x1  a12 x2    a1n xn  b1

/
a22
x2    a2/ n xn  b2




/
/
/

am
2 x2    amn xn  bm .

/
Полагаем, что a22
 0 (этого можно добиться, переставляя строки или переименовывая переменные). Затем временно «забываем» про первое уравнение и продолжаем такую процедуру с оставшимися. Если в результате этой процедуры возникнет уравнение
вида 0  a и a  0 , то система несовместна, если же одно из уравнений окажется вида
0  0 , то это уравнение можно опустить. В результата придем к ступенчатой СЛУ, которая имеет вид
 a11x1  a12 x2    a1r xr  a1r 1xr 1    a1n xn  b1

/
a22
x2    a2/ r xr  a2/ r 1xr 1    a2n xn  b2/




/
/
/
/

arr
xr  arr

1 xr 1    arn xn  br .
Эта часть метода Гаусса часто носит название «прямого хода». Заметим, что число
r является рангом основной матрицы СЛУ и он равен рангу расширенной. Теперь для
нахождения общего решения СЛУ (*) воспользуемся «обратным ходом». Для этого из последнего уравнения системы выразим x r через x r 1 ,..., x n . Зная это выражение из
предпоследнего уравнения можно выразить x r 1 также через x r 1 ,..., x n , и так далее.
Наконец получим систему
46
 x1  c1  d1r 1xr 1    d1n xn

 
x  c  d
r
rr 1xr 1    d rn xn .
 r
Она равносильна исходной и называется общим решением СЛУ (*). Теперь подставляя вместо неизвестных произвольные значения xr 1,..., xn и вычисляя
x1, x2 ,..., xr можно получить все частные решения ( x1, x2 ,..., xn ) СЛУ (*).
Пример 3. Решить систему уравнений
 x1  2 x2  5 x3  20

 x1  x2  3x3  8
3x  3x  13 x  48.
2
3
 1
Решение. Подвергнем преобразованиям расширенную матрицу этой системы:
1 2 5

1 1 3
3
3 13

20   1
 
8   0
48   0
20   1
2
5 20 
 

 3  2  12    0  3  2  12 .
 3  2  12   0
0
0
0 
2
5
Ранг основной матрицы системы равен рангу расширенной матрицы и равен двум. Приходим, следовательно, к системе уравнений, равносильной исходной
 x1  2 x2  5 x3  20
,


3
x

2
x


12
2
3

в которой одна переменная является независимой. В качестве независимой переменной
возьмём x3 , и выразим через неё остальные, получим:
11

 x1  12  3 x3
.

2
 x2  4  x3
3

Полагая, например, x3  3 , получим одно из частных решений системы:
x1  1;
x2  2;
x3  3.
Если все свободные члены СЛУ b1 ,..., bm равны 0 , то СЛУ называется системой
линейных однородных уравнений (СЛОУ). Базис этого подпространства называется фундаментальной системой решений СЛОУ.
ТЕОРЕМА(о СЛОУ).Фундаментальная система решений СЛОУ состоит из n  r
некоторых ее частных решений, где n  число неизвестных СЛОУ, а r  ранг ее основной матрицы.
Пример 4. Решить систему
 x1  2 x2  2 x3  3x4  0

 2 x1  3x2  x3  5 x4  0
 x  x  3x  8 x  0.
2
3
4
 1
Решение. Это система однородных уравнений, причём число уравнений меньше
числа неизвестных; она будет иметь множество решений. Так как все свободные члены
47
равны нулю, то будем подвергать преобразованиям лишь матрицу из коэффициентов системы:
3
1  2  2 3  1  2  2

 
 1  2  2
3
.
5  11  
 2  3 1  5   0 1
0
1
5

11


 1  1 3  8  0 1
5  11

 
Мы пришли к системе уравнений
 x1  2 x2  2 x3  3x4  0

x2  5 x3  11x4  0.

В качестве независимых выберем две переменные, например x3 , x4 . Выразим остальные
переменные через независимые. Получим
 x1  8 x3  19 x4

 x2  5 x3  11x4 .
Тогда фундаментальная система будет иметь следующий вид:
x1
x2
x3
x4
-8
-5
1
0
19 11
0
1
Любое частное решение системы может быть представлено в виде линейной комбинации
фундаментальных решений, т. е. общее решение системы
x    8,5, 1, 0   19, 11, 0, 1;  ,   R.
ГЛАВА 3.
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ.
§3.1. Матрицы линейных операторов.
Отображение  : L  L называется линейным оператором, если выполнены усло-
x, y  L и числа  :
(а)   x  y     x     y 
(б)   x     x  ,
вия: для всех
Матрицей линейного оператора
  

 в базисе e1 ,, en называется такая матрица
i  1..n ; j  1..n . , у которой i  ый столбец есть координаты вектора
A  aij
 (ei ) в базисе e1 ,, en . Т. е.,
 11 12  1n 






2n 
.
 (e1 )  (e2 )   (en )   e1 e2  en    21 22

   


  n1  n 2   nn 
Пусть e1/ ,...,en/  другой базис L. Матрицей перехода от одного базиса e1 ,...,en
i  1..n ; j  1..n , у которой iк другому e1/ ,...,en/ называется такая матрица T   ij
/
ый столбец есть координаты вектора ei в базисе e1 ,...,en , т. е.
  

48
e1/
  11  12



e2/  en/  e1 e2  en  21 22
 

  n1  n 2
Пример 1.
Векторы e1/  (1, 1, 1);

  1n 

  2n 
.
 

  nn 
e2/  (1, 1, 2); e3/  (1, 2, 3); x  (6, 9, 14) заданы своими ко-
ординатами в некотором базисе e1 , e2 , e3 . Показать, что векторы e1/ , e2/ , e3/ сами образуют базис, и найти координаты вектора x в этом базисе.
Решение. Составим матрицу перехода от базиса e1 , e2 , e3 к системе векторов
e1/ , e2/ , e3/ :
1 1 1 


T  1 1 2  ,
1 2 3 


она невырожденная, значит векторы e1/ , e2/ , e3/ линейно независимы и могут образовывать базис трёхмерного пространства. Тогда
T
1
1  1
 1


  1  2 1 .
1 1
0 

Найдём координаты вектора x в базисе e1/ , e2/ , e3/ :
 x/   1
1  1  6   1 
 1 
/
 x    1  2 1    9    2 .
 2 
0   14   3 
 x3/    1 1
 
ТЕОРЕМА (о связи матриц линейного оператора). Пусть A и B – матрицы линейного оператора  в базисах e1 ,...,en и e1/ ,...,en/ соответственно и T  матрица
1
перехода о первого базиса ко второму. Тогда
(матрицы
и
называются подобными).
Пример 2. Линейный оператор
B T
 AT
A
B
 в базисе e1, e2 , e3 имеет матрицу
1 2 1


A   3 2 1  . Найти его матрицу B в базисе
1 1 0


e1/  (1, 1,  1);
e2/  (1,  2, 1);
e3/  (0,  1, 1).
49
Решение. Составим матрицу перехода от базиса e1 , e2 , e3 к базису e1/ , e2/ , e3/ :
1
0
 1


T   1  2  1.
1 1
1 

Найдём обратную матрицу для T :
1
1
1


T 1   0  1  1 .
1 2
3 

Тогда
1
1  1 2 1  1
1
1





B  T 1  A  T   0  1  1   3 2 1   1  2
1 2
3   1 1 0    1
1

5 2  1
1 0  8  3
 5

 
 
   4  3  1   1  2  1    6
1
 10
9
3    1
1
1  16  5

0

 1 
1
 3

2 .
 6 
§3.3. Характеристические корнии собственные значения.
Пусть A   ij  квадратная матрица порядка n с действительными элементами.
 
Пусть, с другой стороны,   некоторое неизвестное. Тогда матрица ( A  E ), где E 
единичная матрица порядка n , называется характеристической матрицей матрицы A .
Так как в матрице ( E ) по главной диагонали стоит  , все же остальные элементы равны
нулю, то
12

1n 
 11  









21
22
2n 
A  E  
.



 


 n2
  nn   
  n1
Многочлен n  ой степени A  E называется характеристическим многочленом матрицы A , а его корни, которые могут быть как действительными, так и комплекс-
ными, называются характеристическими корнями этой матрицы.
Пусть в линейном пространстве L задан линейный оператор  . Если вектор b ,
отличный от нуля, переводится оператором  в вектор, пропорциональный самому b ,
 (b)  0b,
(6)
0  некоторое действительное число, то вектор b называется собственным вектором оператора  , а число 0  собственным значением этого оператора, причем говорят, что собственный вектор b относится, к собственному значению 0 .
где
ТЕОРЕМА (о собственных значениях). Действительные характеристические
корни линейного оператора  , если они существуют, и только они служат собственными значениями этого оператора.
50
Пример 3. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного в некотором базисе матрицей
 4  5 2


A   5  7 3 .
 6  9 4


Решение: Составим характеристическое уравнение
4
5
5
6
7
9
2
3  0.
4
Раскрывая определитель, получим уравнение
 3  2  0 ,
корни которого 1  0, 2  0, 3  1 являются собственными значениями линейного
оператора  .
Найдём собственные векторы, соответствующие собственному значению 1,2  0. Для
этого решим систему (10), считая 0  0.
 4 x1  5 x2  2 x3  0

 5 x1  7 x2  3x3  0
 6 x  9 x  4 x  0.
2
3
 1
После преобразования получим:
1

x

x3
1
x

2
x

x

0

 1
2
3
3
или 

2
3x2  2 x3  0

 x2  x3 .
3

Фундаментальная система решений имеет вид:
x1
x2
x3
1
2
3
Собственный вектор x   0   (1, 2, 3);   0.
Аналогично, для 3  1 , получим систему линейных однородных уравнений
 3x1  5 x 2  2 x3  0

 5 x1  8 x 2  3x3  0
 6 x  9 x  3x  0,
2
3
 1
фундаментальным решением которой будет:
x1
x2
x3
1
1
1
и x  1   (1, 1, 1);   0  собственный вектор, соответствующий собственному значению 3  1.
ГЛАВА 4.
ОСНОВНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ.
§4.1. Группы, кольца, поля.
51
a, b, c,, в котором определён закон композиции,
называемый сложением и ставящий в соответствие каждой паре элементов a, b множеМножество G элементов
ства G определённый элемент c  a  b этого множества, называется аддитивной группой (обозначается G,  ), если этот закон удовлетворяет следующим требованиям:
a  (b  c)  (a  b)  c (ассоциативность).
1.
2.
Существует элемент e множества G такой, что для любого элемента a
этого множества a  e  a (существование нейтрального (нулевого) элемента).
3.
Для любого элемента a множества G существует противоположный элемент  a такой, что a  (a)  e .
4.
a  b  b  a (коммутативность),
то группа G называется коммутативной или абелевой.
Отметим некоторые свойства групп (будем использовать аддитивную форму записи композиции).
Пример 1. Множество Z целых чисел образует абелеву группу относительно сложения. Действительно, сложение целых чисел ассоциативно и коммутативно, нейтральным элементом является целое число 0 , а обратным для a служит целое число  a .
Пример 2. Множество положительных вещественных чисел R образует абелеву
группу относительно умножения. Очевидно, умножение ассоциативно и коммутативно.
Нейтральный элемент 1 R , а обратным элементом для числа a  0 служит вещественное число 1 .
a
Множество K элементов
a, b, c,, в котором определены законы композиции,
называемые сложением и умножением, называется кольцом (обозначается K , ,  ), если
эти законы удовлетворяют следующим требованиям:
1. K ,   коммутативная группа.
a  (b  c)  (a  b)  c (ассоциативность).
3. a  (b  c)  a  b  a  c и (b  c)  a  b  a  c  a (дистрибутивность
2.
умножения относительно сложения).
Если умножение коммутативно, то кольцо называется коммутативным; если в кольце
имеется единичный элемент, то оно называется кольцом с единицей. Элементы a, b  K
называются делителями нуля  нейтрального элемента относительно  , если a  0 и
b  0 , но a  b  0 .
Пример 4. Множество целых чисел Z относительно сложения и умножения является коммутативным кольцом с единицей. Роль единичного элемента играет целое число
1.
Пример 5. Множество квадратных матриц n  ого порядка относительно сложения и умножения образует кольцо с единицей. Коммутативность сложения, ассоциативность сложения и умножения, дистрибутивность умножения относительно сложения для
матриц были отмечены в §. Нейтральным элементом по сложению является нулевая
квадратная матрица порядка n , нейтральным элементом по умножению  единичная матрица порядка n .
Коммутативное кольцо с единицей, в котором каждый ненулевой элемент является
1
1
обратимым, т.е. для любого a  0 существует a , такой, что aa  e , называется полем.
52
Пример 6. Множество рациональных чисел
Q с операциями сложения и умножения образует поле. Действительно, для всякого ненулевого рационального a , существуb
ет так же рациональный обратный элемент b .
a
§4.2. Поле комплексных чисел.
В качестве материала для построения новой системы чисел возьмём точки плоскости C  ( x, y ) : x, y  R, каждая из которых однозначно определяется упорядоченной
парой действительных чисел. Введём операции сложения и умножения для таких элементов следующим образом:
(a, b)  (c, d )  (a  c, b  d );
(a, b)  (c, d )  (ac  bd , cd  bc).
Множество C с введёнными операциями сложения и умножения образует поле
комплексных чисел.
Между декартовыми и полярными координатами существует следующая связь,
справедливая при любом расположении точек на плоскости:
a  r cos , b  r sin .
Для произвольного комплексного числа  имеем:
  a  bi  r cos   r sin  i  r cos   i sin  .
Пример 7. Найти тригонометрическую форму числа 3  i .
2
2
Решение. Здесь a  3 , b  1 . Тогда r 
3  1  2 .
 

3
cos 
2

sin    1
2.

 

11

6
Решая систему, получаем

11
 . Таким образом
6
11 
 11
3  1  2 cos   i sin  .
6
6 

Формулы Муавра:
r cos  i sin  n  r n cosn   i sin n .
4
Пример 8. Вычислить 1  i  .
4

 
 
Решение. 1  i    2  cos  i sin  
4
4 
 
Пример 9. Вычислить    i .
4
 2 4 cos  i sin    4.
Решение. Найдём тригонометрическую форму числа  i :
 i  cos
3
3
 i sin .
2
2
53
3
3
 2k
 2k
3
3
2
2
 i sin
 cos
 i sin
Тогда   cos
.
2
2
2
2
3
3
2
2
При k  0 имеем:  0  cos
.
 i sin

i
4
4
2
2
7
7
2
2
При k  1: 1  cos
.
 i sin

i
4
4
2
2
Пример 10. Вычислить   3 8 .
Решение. В тригонометрической форме 8  8  cos 0  i sin 0 .
2k
2k 

  3 8cos0  i sin 0  2 cos
 i sin
.
3
3 

k  0 :  0  2cos 0  i sin 0   2 ;
2
2 

 i sin
k  1: 1  2 cos
 3 i;
3
3 

4
4 

 i sin    3  i .
k  2 :  2  2 cos
3
3 

§4.4. Кольца многочленов.
Пусть P  произвольное поле. Через P x  обозначим множество многочленов от
x с коэффициентами из P . Многочлен имеет вид:
f x   a0  a1x    an 1x n 1  an x n .
Следовательно, множество C x  с введёнными таким образом операциями сложения и умножения образует коммутативное кольцо с единицей, но не поле. Это же утверждение будет справедливо для многочленов над произвольным полем.
Пример 11. Найти наибольший общий делитель многочленов:
4
3
2
3
2
f x   x  3x  x  4 x  3; g x   3x  10 x  2 x  3.
Решение. Применяя алгоритм Евклида к многочленам с целыми коэффициентами,
мы можем, чтобы избежать дробных коэффициентов, умножить делимое или сократить
делитель на любое не равное нулю число, причём, не только начиная какое-либо из последовательных делений, но и в процессе самого этого деления. Это будет приводить,
понятно, к искажению частного, но интересующие нас остатки будут приобретать лишь
некоторый множитель нулевой степени, что, как мы знаем, при разыскании наибольшего
общего делителя допускается.
Делим f  x  на g  x  , предварительно умножив f  x  на 3:
3
2
3x 4  9 x 3  3x 2  12 x  9 3x  10 x  2 x  3
3x 4  10 x 3  2 x 2  3x
x 1
 x3  5x 2  9 x  9
(умножаем на 3)
54
3 x 3  15 x 2  27 x  27
3 x 3  10 x 2  2 x  3
5 x 2  25 x  30
Степень остатка стала меньше степени делителя, таким образом, после сокра2
щения на 5 получим первый остаток r1  x   x  5 x  6 . Делим на него многочлен
g x  :
2
3x 3  10 x 2  2 x  3 x  5 x  6
3x 3  15 x 2  18 x
3x  5
 5 x 2  16 x  3
 5 x 2  25 x  30
9 x  27
Вторым остатком, после сокращения на 9, будет r2  x   x  3 . Очевидно, что
r1  x   r2  x  x  2 , т. е. последним остатком, отличным от нуля будет r2  x   x  3 .
Он и будет искомым наибольшим делителем:
 f x , g x   x  3.
ГЛАВА I. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ЕВКЛИДОВОМ И УНИТАРНОМ
ПРОСТРАНСТВАХ.
§1.1. Евклидовы и унитарные пространства.
Будем говорить, что в n  мерном действительном линейном пространстве Ln
определено скалярное умножение,если всякой паре векторов a, b поставлено в соответ-
ствие действительное число, обозначаемое символом a, b  и называемое скалярным произведением векторов a и b ,причем выполняются следующие условия (здесь
a, b, c  лю-
бые век т о ры пространства Ln ,   любое действительное число):
I. a, b   b, a ,
III.
a  b, c   a, c   b, c ,
a, b    a, b ,
IV.
Если a   , то скалярный квадрат вектора a строго положителен,
II.
a, a   0.
Опишем далее так называемый процесс ортогонализации, т. е. некоторый способ перехода от любой линейно независимой системы из k векторов a1 , a2 ,, ak евклидова
пространства En к ортогональной системе, также состоящей из k ненулевых лекторов;
эти векторы будут обозначены через b1, b2 ,, bk .
Положим b1  a1 , т. е. первый вектор системы ( a1 , a2 ,, ak ) войдёт и в строящуюся
нами ортогональную систему. Положим, далее,
b2  1b1  a2 .
55
Так как b1  a1 а векторы a1 и a 2 линейно независимы, то вектор b2 отличен от нуля
при любом числе 1 .Подберем это число из условии, что вектор b2 должен быть ортогонален к вектору b1 :
0  b1, b2   b1, 1b1  a2   1 b1, b1   b1, a2 ,
откуда, ввиду IV,
b , a 
1   1 2 .
b1, b1 
Пусть уже построена ортогональная система ненулевых векторов b1 , b2 ,, bl ; дополнительно предположим, что для всякого i, 1  i  l , вектор bi является линейной
комбинацией векторов a1 , a2 ,, ai . Это предположение будет выполняться тогда и для
вектора bl 1 если он будет выбран в виде
bl 1  1b1   2b2     l bl  al 1.
Вектор bl 1 будет при этом отличен от нуля, так как система ( a1 , a2 ,, ak ) линейно
независимая, а вектор al 1 не входит в записи векторов b1 , b2 ,, bl . Коэффициенты
 i , i  1, 2,, l , подберем из условия, что вектор bl 1 должен быть ортогонален ко
всем векторам bi ,
i  1, 2,, l :
0  bi , bl 1   bi , 1b1   2b2     l bl  al 1  
 1bi , b1    2 bi , b2      l bi , bl   bi , al 1 ;
отсюда, так как векторы b1 , b2 ,, bl ортогональны между собой,
 i bi , bi   bi , al 1   0,
т. е.
b , a 
 i   i l 1 , i  1, 2,, l.
bi , bi 
Продолжая этот процесс, мы построим искомую ортогональную систему
b1, b2 ,, bk .
Применяя процесс ортогонализации к произвольному базису пространства En , мы
получим ортогональную систему из n ненулевых векторов, т. е., так как эта система по
доказанному линейно независима, ортогональный базис.
Назовем вектор b нормированным, если его скалярный квадрат равен единице, т. е.
b, b   1.
Если a   ,откуда a, a   0 , то нормированием вектора a называется переход к вектору
b
1
a.
a, a 
Вектор b будет нормированным, так как
56

b, b  

1
a,
a, a 
 
1
a   
a, a   
Пример 1. Привести систему векторов
2
1 
a, a   1.
a, a  
a1  2,  1, 2; a2  1, 1, 4; a3  6,  3,  3
к ортонормированному виду.
Решение. Применим к указанным
b1  a1  2,  1, 2. Вектор b2 ищем в виде
векторам
процесс
ортогонализации.
b , a  9
b2  a2  kb1, где k   1 2    1. Подставляя значения, получим
b1, b1  9
b2   1, 2, 2 .
b3  a3  1b1   2b2 .
Далее
ищем
Здесь
b , a  9
b , a   18
1   1 3    1,  2   2 3  
 2. После подстановки, имеем:
b1, b1  9
b2 , b2 
9
b3  6,  3,  3  2,  1, 2  2   1, 2, 2  2, 2,  1.
Осталось нормировать систему b1 , b2 , b3 .
1
1
2 1 2
c1 
b1  2,  1, 2   ,  , ,
3
b1, b1 
3 3 3
1
1
 1 2 2
c2 
b2   1, 2, 2    , , ,
3
b2 , b2 
 3 3 3
c3 
1
1
 2 2 1
b3  2, 2,  1   , ,  .
3
b3 , b3 
 3 3 3
Итак, c1 , c2 , c3  искомая ортонормированная система.
§1.3. Линейные функции.
Рассмотрим произвольное линейное пространство L над полем P . Отображение
 : L  P называется линейной функцией, если
  x   y     x     y  , x, y  L è  ,   P.
§1.4. Сопряжённые операторы.

Оператор   y   a y называется сопряжённым к  , т. е.
  x  , y    x ,    y   .
 задан в евклидовом пространстве в базисе из
f1  1,1, 2  , f1  1,1, 0  матрицей
 1 1 3
A   0 5 1  .
 2 7 3 


Пример 1. Линейный оператор
векторов f1  1, 2,1 ,

Найти матрицу сопряжённого оператора  в том же базисе, считая, что координаты векторов базиса даны в некотором ортонормированном базисе.
57
Решение. Координаты векторов f1, f 2 , f3 заданы в некотором ортонормированном базисе e1, e2 , e3 . Матрица перехода от e1, e2 , e3 к f1, f 2 , f3 будет
1 1 1
T   2 1 1  .
1 2 0


Значит, A  T
1
BT , где B  матрица того же оператора в ортонормированном
базисе. Откуда B  T A T
1
.
Находим
 2 2 0 
1
T 1   1 1 1  .
2

 3 1 1 
Тогда
 1 1 1  1 1 3   2 2 0   2 3 7 
 1  1 1 1    6 4 6  .
B   2 1 1 
0
5

1

 
 

 1 2 0  2 7 3  2  3 1 1   6 5 5 


 
 


Матрица сопряжённого оператора  будет по предыдущей теореме сопряжено
транспонированной, а так как оператор задан в евклидовом пространстве, то просто
транспонированной.
 2 6 6
B  B   3 4 5  .
 7 6 5



Возвращаемся к исходному базису

A T
 2 2 0  2 6 6  1 1 1 
1
 2 1 1  
B T   1 1 1 

3

4

5



2
 7 6 5  1 2 0 
3

1

1




 36 37 15 
  30 30 14  .
 26 27
9 

1 
§1.5. Нормальные операторы.
Линейный оператор  унитарного пространства U называется нормальным, если
      ,
т. е. если он перестановочен со своим сопряжённым.
ТЕОРЕМА 3. (основная о нормальных операторах). Для каждого нормального оператора  в унитарном пространстве U найдётся ортонормированный базис, состав58
ленный из собственных векторов оператора  . Матрица  имеет в этом базисе диагональный вид.
§1.6. Унитарные операторы.
Линейный оператор  унитарного пространства U называется унитарным, если
он сохраняет скалярное произведение векторов, т. е.
x, y U  x, y     x  ,   y  .
Если линейный оператор рассматривается в евклидовом пространстве и сохраняет
1 , т.
скалярное произведение, то его матрица в некотором базисе будет такой, что 
A A
е. транспонированная матрица совпадает с обратной. Такой оператор называют ортогональным, а его матрицу  ортогональной.
ТЕОРЕМА 3. (основная об унитарных операторах). Матрица унитарного оператора  в подходящем ортонормированном базисе является диагональной, с диагональными элементами, равными по модулю единице.
ГЛАВА II. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ.
§2.1. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.
Квадратичной формой f от n неизвестных x1, x2 ,..., xn называется сумма, каждое
слагаемое которой является или квадратом одного из этих неизвестных, или произведением двух разных неизвестных. Квадратичная форма называется действительной или комплексной в зависимости от того, являются ли ее коэффициенты действительными или же
могут быль любыми комплексными числами.
Пример 1. Привести к каноническому виду квадратичную форму
f  x1x2  x2 x3  x3 x1
Решение. Ввиду отсутствия в этой форме квадратов неизвестных мы выполним
сначала невырожденное линейное преобразование
x1  y1  y2 , x2  y1  y2 , x3  y3
с матрицей
 1 1 0 
A   1 1 0  ,
0 0 1


после чего получим:
f  y12  y22  2 y1 y3 .
2
Теперь коэффициент при y1 отличен от нуля, и поэтому из нашей формы можно
выделить квадрат одного неизвестного. Полагая
z1  y1  y3 , z2  y2 , z3  y3 ,
т. е. совершая линейное преобразование, для которого обратное будет иметь матрицу
 1 0 1 
B   0 1 0  ,
0 0 1


мы приведем
f к каноническому виду
f  z12  z22  z32 .
59
Линейное преобразование, приводящее исходную квадратичную форму к каноническому виду, будет иметь своей матрицей произведение
 1 1 1
AB   1 1 1 .
 0 0 1


Можно и непосредственной подстановкой проверить, что невырожденное (так как
определитель равен 2 ) линейное преобразование
x1  z1  z2  z3 ,
x2  z1  z2  z3 ,
x3  z3
превращает исходную квадратичную форму к каноническому виду.
§2.2. Приведение квадратичной формы к главным осям.
ТЕОРЕМА. Каждая квадратичная форма некоторым ортогональным преобразованием может быть приведена к каноническому виду.
Пример 2. Найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму
f  x12  x22  x32  4 x1x2  4 x1x3  4 x2 x3
к каноническому виду и написать этот канонический вид.
Решение. Матрица этой формы имеет вид
1 2 2
A   2 1 2  ,
2 2 1


Найдём её характеристический многочлен:
1 
2
2
1 
2      1    5  .
2 1 
Таким образом, матрица A имеет двукратный корень 1 и простой корень 5 .
A  E 
2
2
2
Следовательно, канонический вид данной квадратичной формы будет
f   y12  y22  5 y32 .
Найдём ортогональное преобразование, осуществляющее это приведение. Для этого найдём собственные векторы, соответствующие найденным собственным значениям
1,2  1; 3  5 , т. е. решим системы линейных однородных уравнений  A   E 0
для каждого  .
При 1,2  1 имеем
 x1  x2  x3  0

 x1  x2  x3  0 .
x  x  x  0
 1 2 3
60
Откуда x1   x2  x3 , т. е. имеются 2 независимые переменные, и фундаментальный
набор решений будет:
b1   1,1, 0  ,
b2   1, 0,1 .
Применив к ним процесс ортогонализации, получим:
c1   1,1, 0  ,
 1 1 
c2    ,  ,1 .
 2 2 
При 3  5 имеем
4 x1  2 x2  2 x3  0

 2 x1  4 x2  2 x3  0 .
 2x  2x  4x  0
2
3
 1
Данная система эквивалентна следующей:
 x1  x2  2 x3  0
,

x2  x3  0

решением которой будет
c3  1,1,1 .
Остаётся нормировать систему c1, c2 , c3 :
 1 1

d1   
,
, 0 ,
2 2 

 1
1
2
d2   
,
,
,
6
6
3


 1 1 1 
d3  
,
,
.
3
3
3


Таким образом искомое преобразование имеет вид:
y1  
1
1
x1 
x2 ,
2
2
1
1
2
x1 
x2 
x3 ,   
6
6
3
1
1
1
y3 
x1 
x2 
x3.
3
3
3
y2  
Для того чтобы найти матрицу преобразования
Q , нужно выразить переменные
x1, x2 , x3 через y1, y2 , y3 , т. е. найти матрицу, обратную матрице преобразования    .
61
1
А так как Q  Q , то достаточно транспонировать матрицу преобразования    . Окончательно имеем:
1
1
1
y1 
y2 
y3 ,
2
6
3
1
1
1
x2 
y1 
y2 
y3 , .
2
6
3
x1  
x3 
2
1
y2 
y3.
3
3
ГЛАВА III. ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА МАТРИЦЫ.
§3.1.   матрицы, их эквивалентность.
В этой главе займёмся изучением квадратных матриц порядка n , элементами которых служат многочлены произвольных степеней от одного неизвестного  с коэффициентами из поля P . Такие матрицы называются многочленными матрицами или полиномиальными матрицами, или, короче,   матрицами.
Будем говорить, что   матрицы A    и B    эквивалентны, и записывать
A  
B    , если от матрицы A    можно перейти к матрице B    при помощи конечного числа элементарных преобразований. Канонической   матрицей называется
  матрица, обладающая следующими тремя свойствами:
а) эта матрица диагональная, т. е. имеет вид
 e1   
0
0 


0
e

0


2

;
(1)




0
0
e



n


б) всякий многочлен ei    , i  2, 3, , n , нацело делится на многочлен ei 1    ;
в) старший коэффициент каждого многочлена ei    , i  1, 2, , n , равен единице,
если этот многочлен отличен от нуля.
Пример 1. Привести к каноническому виду
2
 3
  матрицу
   2 
.
A    
  2  3 2 


Решение. Выполняя цепочку элементарных преобразований, получаем;
A  
 3
2 1 2





2 


  2  3  


1 3 1 2




0
2

2


  2  3
 

 3   2

 0
0

 
0 

.

3
2 
0   
С другой стороны, можно вычислить инвариантные множители матрицы A    .
Именно, вычисляя наибольший общий делитель элементов этой матрицы, получаем:
d1     e1      .
Вычисляя же определитель матрицы A    и замечая, что его старший коэффициент равен 1 , получаем:
62
d 2     2 4  2 3   4  3 3   4   3 .
а поэтому
d  
e2     2
 3   2 .
d1   
§3.2. Унимодулярные  -матрицы.
Второй критерий эквивалентности.
  матрица U    называется унимодулярной, если она имеет матрицу E своим
каноническим видом, т. е. если все ее инвариантные множители равны единице.
ТЕОРЕМА 3. (второй критерий эквивалентности   матриц). Две   матрицы
A    и B    порядка n тогда и только тогда эквивалентны, когда существуют такие унимодулярные
  матрицы U    и V    того же порядка n , что
B     U    A   V   
(3)
Пример 3. Являются ли следующие матрицы подобными
 2 1 
 10 4 
A
, B

?
0
3
26
11




Решение. Их характеристические матрицы эквивалентны, так как приводятся к одному и тому же каноническому виду
0
1


 ,
2
 0     6
поэтому матрицы A и B подобны.
§ 3.5. Жорданова нормальная форма.
Будет выделен один специальный тип матриц, так называемые жордановы матрицы, и будет показано, что эти матрицы служат нормальной формой для весьма широкого
класса матриц. Именно, матрицы, все характеристические корни которых лежат в основном поле P (и только такие матрицы), подобны некоторым жордановым матрицам, т. е.,
как говорят, они приводятся к жордановой нормальной форме. В частности, если в качестве поля P взято поле комплексных чисел, что всякая матрица с комплексными элементами, приводится в поле комплексных чисел к жордановой нормальной форме.
Введем необходимые определения. Жордановой клеткой порядка k , относящейся
к числу  0 , называется матрица порядка k , 1  k  n , имеющая вид
0






 0
1
0
1
0 




1 

 0 
иными словами, на ее главной диагонали стоит одно и то же число
(1)
 0 из поля P ; на па-
раллели, ближайшей к главной диагонали сверху, расположены числа 1; все остальные
элементы матрицы равны нулю. Так,
63
 
0
 0

0 , 
0
1  
,  0
 0  
 0

1
0
0
0 

1 

 0 
будут соответственно жордановыми клетками первого, второго и третьего порядков.
Жордановой матрицей порядка n называется матрица порядка n , имеющая вид
 J1


J 


 0

J2
0 





J s 
(2)
вдоль главной диагонали которой расположены жордановы клетки J1, J 2 , , J s некоторых порядков, не обязательно различных, относящиеся к некоторым числам из поля P ,
также не обязательно различным; все места вне этих клеток заняты нулями. При этом
s  1 , т. е. одна жорданова клетка порядка n принадлежит к числу жордановых матриц
этого порядка, и, понятно, s  n .
Пример 4. Найти инвариантные множители характеристической матрицы для следующей жордановой:
2 1 0

0 2 1
0 0 2


J 





0


2
3 1
0 3


0 



.




3 1
0 3 
Решение. Составим таблицу многочленов (7):
3
   2
,   2,
   32 ,    32 .
Поэтому инвариантными множителями матрицы J будут многочлены
3
2
e8        2     3 ,
2
e7        2    3 ,
в то время как e6     ...  e1     1.
§ 3.6. Приведение матрицы к жордановой нормальной форме.
ТЕОРЕМА 1. Матрица A с элементами из поля P тогда и только тогда приводится в поле P к жордановой нормальной форме, если все характеристические корни
матрицы A лежат в самом основном поле P .
64
Пример 5. Найти жорданову нормальную форму матрицы
 16 17 87 108 
 8

9

42
54

A
 3 3
16  18 


6
8 
 1 1
Решение. Приводя обычным способом матрицу A   E к каноническому виду,
получим, что отличными от единицы инвариантными множителями этой матрицы будут
многочлены
2
e1        1    2  ,
e3       1.
Мы видим, что матрица A приводится к жордановой нормальной форме далее в
поле рациональных чисел. Ее элементарными делителями являются многочлены
   12 ,   1 и   2 , а поэтому жордановой нормальной формой матрицы A служит
матрица
1
0
J 
0

0
0
1 0 0 
.
0 1 0

0 0 2 
1 0
§ 3.7. Минимальный многочлен.
Пусть дана квадратная матрица A порядка n с элементами из поля P . Если
f      0 k  1 k 1  ...   k 1   k 
произвольный многочлен из кольца P    , то матрица
f      0 Ak  1Ak 1  ...   k 1A   k E
   при   A .
Нетрудно проверить, что если f             или f     u    v    , то
f  A    A    A и, соответственно, f  A  u  A v  A .
Если многочлен f    аннулируется матрицей A , т. е. f  A  0 , то матрицу A будем
называть матричным корнем многочлена f   
будет называться значением многочлена f
65