смешиванию параметризованных кривых на матричной группе Ли

Математика и информатика
Д о к а з ат е л ь с т в о . Легко заметить, что для положительного c f ( x)  1 
функцией при x ≥ 3. По теореме  3 n3  ...    n  ( ni ) f (
c
является вогнутой
x 1
 in )  nf (d )  n(1  c ). □
d 1
n
i
i
*
Следствие 3. Алгоритм MaxSATAlg решает задачу MAX-2-SAT (MAX-2-CSP) за время O (2
( O * (2
n (1
3
)
d 1
n (1
10/3
)
d 1
)
) ).
Б И Б Л И О Г РА Ф И Ч Е С К И Й С П И С О К
1. W i l l i a m s R . A new algorithm for optimal 2-constraint satisfaction and its implications // Theoretical Computer Science.
2005. Vol. 348. № 2-3. P. 357–365.
2. F u r e r M . , K a s i v i s w a n a t h a n S . Exact Max 2-Sat: Easier and Faster // Proceedings of the 33rd conference on Current
Trends in Theory and Practice of Computer Science. Harrachov, Czech Republic, 2007. Berlin, 2007. P. 272–283.
3. S c o t t A . , S o r k i n G . Linear-programming design and analysis of fast algorithms for Max 2-CSP // Discrete Optimization.
2007. Vol. 4. № 3-4. P. 260–287.
4. K o j e v n i k o v A . , K u l i k o v A . A new approach to proving upper bounds for MAX-2-SAT // Proceedings of the seventeenth
annual ACM-SIAM symposium on Discrete algorithm. Miami, USA, 2006. New York, 2006. P. 11–17.
5. K u l i k o v A . , K u t z k o v K . New upper bounds for the problem of maximal satisfiability // Discrete Mathematics and Applications. 2009. Vol. 19. P. 155–172.
6. C h e n J . , K a n j I . Improved Exact Algorithms for Max-Sat // Discrete Applied Mathematics. 2004. Vol. 142. № 1-3. P. 17–27.
7. G a s p e r s S . , S o r k i n G . A universally fastest algorithm for Max 2-Sat, Max 2-CSP, and everything in between // Proceedings of the twentieth Annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms. New York, USA, 2009. New York, 2009. P. 606–615.
8. C r o c e F. D . , K a m i n s k i M . J . , P a s c h o s V. T h . An exact algorithm for MAX-CUT in sparse graphs // Operations
Research Letters. 2007. Vol. 35. № 3. P. 403–408.
Поступила в редакцию 23.09.13.
Александр Николаевич Курбацкий – доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой технологий программирования.
Александр Гарникович Головнëв – аспирант кафедры технологий программирования. Научный руководитель –
А. Н. Курбацкий.
УДК 514.1
А. П. ПОБЕГАЙЛО
СМЕШИВАНИЕ ПАРАМЕТРИЗОВАННЫХ КРИВЫХ НА МАТРИЧНОЙ ГРУППЕ ЛИ
В статье рассмотрен подход к смешиванию параметризованных кривых на матричной группе Ли. Под смешиванием кривых понимается гладкое преобразование одной кривой к другой. Если смешивание зависит от одного параметра, то в результате получаем новую кривую, которая в геометрических приложениях называется смешением двух заданных кривых.
Смешивание параметризованных кривых на матричной группе Ли выполняется при помощи специального класса полиномов,
которые удовлетворяют заданным граничным условиям. Выполнение этих условий обеспечивает нужную степень непрерывности граничных условий, которым должно удовлетворять смешивание. Рассмотренный подход к смешиванию параметризованных кривых на группе Ли может применяться для построения сплайн-кривых на гладких многообразиях посредством
действия на них группы Ли.
Ключевые слова: смешивание кривых; группы Ли; матричные группы Ли; гладкие многообразия; полиномы Бернштейна.
The paper presents an approach to blending parametric curves on a matrix Lie group. Special polynomials are introduced for blending. The polynomials satisfy special boundary conditions which ensure the necessary continuity of the blending parametric curve at the
boundary points with the blended parametric curves. A representation of the polynomials by means of Bernstein polynomials is proposed.
Using this representation the polynomials can be considered as Bézier curves defined by special sequences of points on the real line. The
presented approach to curve blending can be used for construction of spline curves on smooth manifolds be means of Lie group action
on the smooth manifold. In this case one-parameter subgroups of the Lie group can be used as blended parametric curves. It is supposed
that the presented approach can be used for construction of spline curves by blending one-parameter rotations acting on a sphere.
Key words: curve blending; Lie groups; matrix Lie groups; smooth manifolds; Bernstein polynomials.
В статье рассмотрен подход к смешиванию параметризованных кривых на матричной группе Ли.
Под смешиванием кривых понимается гладкое преобразование одной кривой в другую. В англоязычной литературе по геометрическому моделированию для обозначения смешивания кривых используется термин blending. В русскоязычной литературе по геометрическому моделированию смешивание
часто называется деформацией одной кривой в другую. Если смешивание зависит от одного параметра,
то в результате получаем новую кривую, которая в геометрических приложениях называется смешением двух заданных кривых. Смешивание параметризованных кривых на группе Ли выполняется при
107
Вестник БГУ. Сер. 1. 2013. № 3
помощи специального класса полиномов, которые удовлетворяют заданным граничным условиям. Выполнение этих условий обеспечивает нужную степень непрерывности, которой должно удовлетворять
смешение. Подход, изложенный в данной статье, является развитием подхода, изложенного в [1], но
для смешивания используются полиномы более низкой степени. Рассмотренный подход к смешиванию
параметризованных кривых на группе Ли может применяться для построения сплайн-кривых на гладких многообразиях посредством действия на них группы Ли [1, 2]. Другие подходы к моделированию
сплайн-кривых на группах Ли и гладких многообразиях рассмотрены в работах [3–8]. Сведения о группах Ли и гладких многообразиях можно найти в монографиях [9, 10].
Сглаживающие полиномы
Определим полиномы, которые будут в дальнейшем использоваться для смешивания параметризованных кривых на группе Ли. Это построение вызвано желанием уменьшить степень полиномов,
рассмотренных автором в работе [1], используемых для решения задач геометрического моделирования, которые связаны со смешиванием параметризованных кривых. Чтобы определить требуемые полиномы, рассмотрим следующие последовательности точек на действительной прямой R:
n 1 n  2
2n  1
),
,,
,
(0,0, ,0,


 2n  1 2n  1
2n  1
n 1
где n  N . Далее определим кривые Безье на данных последовательностях точек, используя полиномы
Бернштейна
bn ,m (u )  C nm (1  u ) n  m u m , u  [0,1] ,
где C nm обозначают биномиальные коэффициенты. Очевидно, что эти кривые Безье представляются
полиномами
wn ,1 (u ) 
n
b
2 n 1, n  i
(u )
i 1
ni
, u  [0,1] ,
2n  1
(1)
где n  N . Из этого определения следует, что полиномы wn ,1 (u ) имеют следующие граничные точки:
wn ,1 (0)  0 , wn ,1 (1)  1 .
(2)
Определим производные полиномов wn ,1 (u ) на границах интервала [0, 1]. Используя формулы для вычисления производных на границах кривой Безье, которые приведены в работе [11], получим
wn( m,1) (0)  0 ,
(3)
для любого m  {1,2, , n} .
Вычислим значения производных, которые определены вторым из уравнений (3). Производная первого порядка имеет следующее значение:
.
Для того чтобы вычислить производные более высоких порядков, заданные уравнением (3), докажем
два вспомогательных равенства с биномиальными коэффициентами. Из комбинаторики известно, что
C mi  C mm i ,
m
 (1) C
i
i 0
i
m
 C m0  C m1  C m2    (1) m C mm  (1  1) m  0 .
Используя эти биномиальные тождества, получим, что
m
 (1) (i  1)C
i 0
i
i
m
 C m0  2C m1  3C m2    (1) m (m  1)C mm 
m2 0 m2 1 m2 2
m2 m m2 m

Cm 
Cm 
C m    (1) m
Cm 
(1) i C mi  0 .

2
2 i 0
2
2
2
Тогда производные высших порядков от полиномов wn ,1 (u ) , заданные вторым из уравнений (3),
можно вычислить следующим образом:
108
Математика и информатика
для любого m  {2, , n} . В результате получили, что производные полиномов wn ,1 (u ) имеют следующие значения на границах интервала [0, 1]:
wn( m,1) (0)  0
(4)
для любого m  {1, , n} и
wn ,1 (1)  1 , wn( m,1) (1)  0
(5)
для любого m  {2, , n} . Следующие полиномы
w1,1 (u )  2(1  u )u 2  u 3 , w2,1 (u )  6(1  u ) 2 u 3  4(1  u )u 4  u 5
обычно используются в геометрических приложениях. Как будет показано далее, эти полиномы обеспечивают соответственно первую и вторую степень непрерывности деформации кривых.
Теперь рассмотрим следующие последовательности точек на действительной прямой R:
(0,
n
2
1
,,
, 0,0, ,0) ,
,


2n  1 
2n  1 2n  1
n 1
где n  N . Очевидно, что эти последовательности симметричны последовательностям точек, которые используются для определения полиномов wn ,1 (u ) . Определим на этих последовательностях точек кривые Безье; аналогично тому, как это было сделано для полиномов wn ,1 (u ) , получим следующие
полиномы:
n
wn , 2 (u )   b2 n 1,i (u )
i 1
i
, u  [0,1] .
2n  1
(6)
Из этого определения следует, что полиномы wn , 2 (u ) имеют следующие граничные значения:
wn , 2 (0)  0 , wn , 2 (1)  0 .
(7)
Производные от полиномов wn , 2 (u ) на границах интервала [0, 1] могут быть вычислены, используя
выражения для вычисления производных кривых Безье в граничных точках этих кривых [11], следующим образом:
, wn( m,1) (0)  0
(8)
для любых m  {1,2, , n} . Вычислим значения производных, которые заданы первым из уравнений
(8). Значение первой производной может быть вычислено следующим образом:
.
Производные высших порядков от полиномов wn , 2 (u ) , заданные первым из уравнений (8), могут
быть вычислены, используя рассмотренные выше комбинаторные тождества, следующим образом:
для любого m  {2, , n} .
В результате получили, что производные полиномов wn , 2 (u ) имеют следующие значения на границах интервала [0, 1]:
wn , 2 (0)  1 , wn( m, 2) (0)  0
(9)
для любых m  {2, , n} и
wn( m, 2) (1)  0
(10)
для любых m  {1, , n} . Следующие полиномы наиболее часто используются на практике в геометрических приложениях:
109
Вестник БГУ. Сер. 1. 2013. № 3
w1, 2 (u )  (1  u ) 2 u , w2, 2 (u )  (1  u ) 2 u 3  4(1  u )u 4 .
На рисунке показаны графики полиномов wn ,1 (u ) и wn , 2 (u ) , иллюстрирующие кинематические
характеристики рассматриваемых полиномов. Видно, что полиномы wn ,1 (u ) могут рассматриваться как аппроксимации линейной функции f (u )  u , которые гладко увеличивают значение первой
производной от нуля до единицы на интервале [0, 1] с требуемой степенью непрерывности на концах этого интервала.
Графики полиномов: wn ,1 (u ) (а); wn , 2 (u ) (б)
В свою очередь полиномы wn , 2 (u ) уменьшают значение производной от единицы до нуля на интервале [0, 1] с заданной степенью непрерывности на границах этого интервала.
Смешивание параметризованных кривых на матричной группе Ли
Пусть G обозначает произвольную матричную группу Ли. Рассмотрим две гладкие параметризованные кривые g1 (u ) и g 2 (u ) , u  [0,1] , которые принадлежат G и удовлетворяют следующим начальным условиям:
g1 (0)  g 2 (0)  e ,
(11)
где e обозначает единицу группы G. В геометрических приложениях g1 (u ) и g 2 (u ) обычно являются
однопараметрическими подгруппами матричной группы Ли G. Проблема заключается в нахождении
такой параметризованной кривой g (u )  G , которая удовлетворяет следующим граничным условиям:
g (0)  g 2 (0)  e , g (1)  g1 (1) ,
(12)
g ( m ) (0)  g 2( m ) (0) , g ( m ) (1)  g1( m ) (1)
(13)
для любых m  {1,2, , n} , где n  N . Такая параметризованная кривая g (u ) обычно называется деформацией параметризованной кривой g1 (u ) в параметризованную кривую g 2 (u ) с заданной степенью непрерывности на границах интервала [0, 1].
Для решения этой проблемы определим параметризованную кривую
, u  [0,1] ,
(14)
используя полиномы wn ,1 (u ) и wn , 2 (u ) , определенные равенствами (1) и (6). Покажем, что параметризованная кривая g (u ) удовлетворяет граничным условиям, заданным равенствами (12) и (13). Принимая во внимание, что полиномы wn ,1 (u ) и wn , 2 (u ) удовлетворяют равенствам (2) и (7), из начальных
условий (11) следует, что
,
.
Следовательно, условия, заданные равенствами (12), выполняются. Для того чтобы доказать равенства (13), необходимо использовать следующие равенства, касающиеся производных высшего порядка
110
Математика и информатика
от сложных функций и произведения матриц. Из математического анализа известно, что производная
высшего порядка от сложной функции
определяется следующим образом:
,
(15)
где сумма берется по всем неотрицательным целочисленным решениям диофантова уравнения
, где k  k1  k 2    k n .
Для наших целей достаточно отметить, что последовательность значений
(k1 , k2 ,..., kn )  (n,0,0,...,0)
всегда является решением этого диофантова уравнения. Кроме того, производная высшего порядка от
произведения матриц f (u ) g (u ) определяется как
(16)
для любых n  N . Используя равенство (15) и принимая во внимание, что производные от полиномов
wn ,1 (u ) удовлетворяют условиям (4) и (5), производные высших порядков от параметризованной кривой
на границах интервала [0, 1] могут быть вычислены следующим образом:


k
1
 ( w ( m ) (u ))(0) 
 ( wn ,1 (u ))(0) 
m!

   n ,1
( g1( k ) ( wn ,1 (u )))(0)


k1!k 2 ! k n !
m
1!
!




k
km
 0,
km
1
 ( wn( m,1) (u ))(1) 
 ( wn ,1 (u ))(1) 
m!
(k )
 
  
( g1 ( wn ,1 (u )))(1)



k1!k 2 ! k n !
1
!
!
m




m
 ( wn ,1 (u ))(1) 
  ( g1( m ) ( wn ,1 (u )))(1)  ( g1( m ) (u ))(1)
 ( g1( m ) ( wn ,1 (u )))(1)
1!


для любых m  {1,2, , n} . Аналогично можно показать, что граничные производные высших поряд-
ков от параметризованной кривой
определяются как
( g 2 ( wn , 2 (u ))) ( m ) (0)  ( g 2( m ) (u ))(0) , ( g 2 ( wn , 2 (u ))) ( m ) (1)  0
для любых m  {1,2, , n} . Используя полученные значения для производных от параметризованных
и
на границах интервала [0, 1], определим значения производных
кривых
высших порядков от параметризованной кривой g(u), заданной равенством (14), на границах этого интервала. Принимая во внимание равенство (16), получим
 ( g 2 ( wn , 2 (u ))) ( m ) (0)  ( g 2( m ) (u ))(0) .
111
Вестник БГУ. Сер. 1. 2013. № 3
Аналогично можно показать, что
g ( m ) (1)  ( g1( m ) (u ))(1)
для любых m  {1,2, , n} . Таким образом, равенства (13) также выполняются.
***
В статье представлены полиномы для смешивания с заданной степенью непрерывности параметризованных кривых на матричной группе Ли. Следует отметить, что матричные группы в статье
рассматриваются только для простоты изложения. Полученные результаты могут быть обобщены
на абстрактные группы Ли, принимая во внимание, что любая группа Ли локально гомеоморфна
матричной группе Ли. Но в геометрических приложениях, на которые ориентировано применение изложенного подхода, используются только матричные группы, поэтому в статье и были рассмотрены
только такие группы Ли.
Б И Б Л И О Г РА Ф И Ч Е С К И Й С П И С О К
1. П о б е г а й л о А . П . Полиномиальная деформация параметризованных кривых на группе Ли // Вестн. БГУ. Сер. 1. 2011.
№ 2. С. 81−86.
2. P o b e g a i l o A . P. Cn interpolation on smooth manifolds with one-parameter transformations // Computer-Aided Design.
1996. Vol. 28. № 12. P. 973–979.
3. P a r k F. , R a v a n i B . Bézier curves on Riemannian manifolds and Lie groups with kinematic applications // ASME J. Mechan.
Design. 1995. Vol. 117. P. 36–40.
4. C r o u c h P. , K u n G . , S i l v a L e i t e F. The De Casteljau algorithm on Lie groups and spheres // Journal of Dynamical and
Control Systems. 1999. Vol. 5. № 3. P. 397–429.
5. A l t a f i n i C . The de Casteljau algorithm on SE(3) // Lect. Note. Contr. Inform. Sci. 2001. Vol. 258. P. 23–34.
6. P e s e n s o n I . Variational splines on Riemannian manifolds with applications to integral geometry // Advances in Applied
Mathematics. 2004. Vol. 33. № 3. P. 548–572.
7. J a k u b i a k J . , S i l v a L e i t e F. , R o d r i g u e s R . C . A two-step algorithm of smooth spline generation on Riemannian
manifolds // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2006. Vol. 194. № 2. P. 177–191.
8. F l ö r y S . , H o f e r M . Constrained Curve Fitting on Manifolds // Computer-Aide Design. 2008. Vol. 40. № 1. P. 25–34.
9. Д у б р о в и н В . А . , Н о в и ко в С . П . , Ф о м е н ко А . Т. Современная геометрия: методы и приложения. 2-е изд.,
перераб. М., 1986.
10. Го р б а ц е в и ч В . В . , О н и щ и к А . Л . Группы Ли-преобразований // Итоги науки и техники. Сер. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М., 1988. Т. 20. С. 103–240.
11. Р о д ж е р с Д . , А д а м с Д ж . Математические основы машинной графики. М., 2001.
Поступила в редакцию 20.02.13.
Александр Павлович Побегайло – кандидат технических наук, доцент кафедры технологий программирования.
УДК 514.765
В. В. БАЛАЩЕНКО, П. А. ДУБОВИК
ЛЕВОИНВАРИАНТНЫЕ f-СТРУКТУРЫ НА 5-МЕРНОЙ
ГРУППЕ ГЕЙЗЕНБЕРГА Н(2,1)
В статье рассмотрены специальные f-структуры (в смысле К. Яно, т. е. f 3  f  0) на 5-мерной группе Гейзенберга
Н(2,1). Группа Ли Н(2,1) снабжена левоинвариантной римановой структурой, которая индуцирована естественной евклидовой метрикой на соответствующей алгебре Ли. Мы представляем группу Н(2,1) как риманово однородное k-симметрическое
пространство двумя способами, а именно как 4- и 6-симметрические однородные пространства. Используя теорию канонических структур, на однородных k-симметрических пространствах построены соответствующие левоинвариантные канонические f-структуры. Доказано, что все эти структуры являются эрмитовыми f-структурами на Н(2,1). Кроме того, вычислены тензоры Нейенхёйса для этих f-структур и указаны те канонические f-структуры, которые являются интегрируемыми.
Следует отметить, что 5-мерная группа Гейзенберга Н(2,1) представляет особый интерес для теории гетеротических струн
в теоретической физике.
Ключевые слова: 5-мерная группа Гейзенберга; однородное k-симметрическое пространство; левоинвариантная риманова
метрика; левоинвариантная f-структура; каноническая f-структура; эрмитова f-структура.
In this paper, special f-structures (in the sense of K. Yano, i. e. f 3  f  0 ) on the 5-dimensional Heisenberg group Н(2,1) are
considered. The Lie group Н(2,1) is equipped with the left-invariant Riemannian structure induced by the natural Euclidean metric on
the corresponding Lie algebra . We represent the group Н(2,1) as a Riemannian homogeneous k-symmetric space in two ways, namely,
as 4- and 6-symmetric homogeneous spaces. Using the theory of canonical structures on homogeneous k-symmetric spaces, the corresponding left-invariant canonical f-structures on these spaces were constructed. It was proved that all these structures are Hermitian
f-structures on Н(2,1). Besides, we calculate the Nijenhuis tensors of these f-structures and indicate those canonical f-structures which
are integrable. It should be mentioned that the 5-dimensional Heisenberg group Н(2,1) is of especial interest in the theory of heterotic
strings in theoretical physics.
Key words: the 5-dimensional Heisenberg group; homogeneous k-symmetric space; left-invariant Riemannian metric; left-invariant
f-structure; canonical f-structure; Hermitian f-structure.
112