Кольцо полиномов задачи к зачету

7 семестр. Кольцо полиномов от одной и нескольких переменных. Задачи к зачету.
1. Найти НОД и НОК полиномов, и линейное выражение НОД:
1) f ( x)  x2  1; g ( x)  x3  x2  2x .
2) f ( x)  x3  x2  x  1; g ( x)  x3  x2  3x  3 .
2. Разделить
f ( x) с остатком на x  x0 и найти f ( x0 ) :
1) f ( x)  x4  2x3  4x2  6x  8, x0  1 ;
2) f ( x)  x5 , x0  1 ;
3) f ( x)  x4  2ix3  (1  i) x2  3x  7  i, x0  i .
3. При
каких
p, q :
( x16  3x9  4x4  px2  qx) ( x2  1) ;
1)
( x3  px2  qx  1) ( x  1)2
2)
3)
(2x  3x  2x  ax  b) (2x  3x  2) ?
4
3
2
2
4. Разложить на неприводимые множители:
1) x 4  4 x 3  18 x 2  59 x  12 над
, , ;
4
2) x 16 над , , ;
3) x 3  6 x 2  8 x  4 над
4) 3x 4  14 x 3  16 x 2  x  2 над
5) x  4 над , , ;
6) x3  4x2  4x  4 над .
.
( x  1)( x2  1)( x3  1)( x4  1)
5. Найти НОД полиномов: 1)
( x  4)( x  16)( x  1) и ( x  3)( x  x  2) ; 3) x ( x  1) ( x  2)
2
4
, , ;
4
2
2
32
2
25
и
287
( x  1)( x2  1)( x3  1)( x4  1) ;
2)
и x  3x  6 x  10 x  9 x  3x .
6
5
4
3
2
6. Найти все корни полинома x  x  2 x  4 , если один из них известен: x1  1  i 3 .
7. Выделить кратные неприводимые множители данного многочлена, разложить его на
3
2
неприводимые множители над :
1) x5  10 x3  20 x2  15x  4 ;
2) x7  3x6  5x5  7 x4  7 x3  5x2  3x  1 .
8. Определить кратность корня x0  2 полинома f ( x)  x5  7 x4  16x3  8x2 16x 16 .
9. Доказать, что многочлен x2n  nxn1  nxn1  1 имеет число 1 тройным корнем.
10.Найти НОД( f ( x), f ( x) ), если f ( x)  ( x3  1)( x3  1)( x3  3x2  3x  1) .
11.Разложить f ( x) по степеням x  x0 и найти значения его производных в точке x0 :
1) f ( x)  x4  4x3  6x2  10x  20 x0  2 ;
2) f ( x)  2x3  x2  5 x0  i .
12.Решить уравнения:
1) 4x3  2(10  i) x2  10(3  i) x  15i  0 ;
2) x3  ix2  5x  3i  0 ;
3) x4  8x3  21x2  20 x  5  0 ;
4) x4  2 x3  8x2  12 x  12  0 .
13.Представить полином
f ( x1 , x2 , x3 )  Z[ x1 , x2 , x3 ] в виде суммы однородных:
f ( x1 , x2 , x3 )  2x x x  3x1x2 x32  7 x16  x1x2  x 21  7x2 x3
4
1 2 3
14.Лексикографически упорядочить полиномы кольца
Z [ x1 , x2 , x3 ] :
f ( x1 , x2 , x3 )  2x x x  3x x x  7 x  x1x2  x  7 x2 x3 ,
4
1 2 3
6 4
1
2 3
2
1 2 3
3
2
1 2 3
6
1
6
1
2
1
f ( x1 , x2 , x3 )  2x x x  x x x  7 x  x1x2 x34  x21  7x2 x3
15.Найти степень полинома и его высший член f ( x1 , x 2 ,..., x n )  3 23 4  5 .
16.Выяснить, является ли следующий многочлен симметрическим в Z [ x1 , x 2 , x3 ] :
1) x12 ( x 2  x3 )  x3 ( x12  x 2 )  x 2 ( x3  x12 ) 2) x 2 ( x1  x3 )  x1 ( x3  x 2 )  x3 ( x 2  x1 )
17.Выразить полином через элементарные симметрические полиномы в Z [ x1 , x 2 , x3 ] : 1)
f ( x1 , x 2 , x3 )  (2 x1  2 x 2  2 x3 )( x 2  x3  x1 )( x1  x3  x 2 )
3) f ( x1 , x2 , x3 )  ( x1  x2  x3 )( x2  x3  x1 )( x3  x2  x1 )
4) f ( x1 , x2 , x3 )  x13 x2  x13 x3  x23 x1  x23 x3  x33 x2  x33 x1
18.Составить квадратное уравнение, корнями которого являются кубы корней уравнения:
x 2  5x  2  0 .
19.Пусть x1 , x 2 , x3 - корни уравнения x 3  px  q  0 . Вычислить:
( x1 x 2  x3 )( x 2 x3  x1 )( x1 x3  x 2 )
20.Пусть x1 , x 2 , x3 - корни уравнения
x3  3x2  5  0 . Составить уравнение со следующими
корнями: y1  x2 x3 , y2  x3 x1 , y3  x2 x1 .
21.Решить систему:
 x  y  xy  7
.
 2
2
 x  y  xy  13
22.Вычислить результант многочленов: 1) 3x2  7x  2 и x2  3 ; 2) x2  2x  5 и 2x3  3x2  2x  2 .
23.Найти все значения а, при которых полиномы имеют общий корень: x3  x 2  ax  4 и
x2  x  a .