Практическая работа. MathCAD. Дифференцирование функций. 0. Разминка. Найдите тангенс угла к оси абсцисс касательной, проходящей через данную точку М графика функции f. 1 вариант. 2 вариант. 2 А) f(x) = x , M(-3;9) А) f(x)= 13 x3 - x, M(2; 23 ) B) f(x)= x2 + 2x, M(1;3) B) f(x)=x3 , M(-1;-1) C) f(x)=-tgx, M( ;0) C) f(x)=3cosx, M( ;0) D) f(x)= - cosx, M(- ;1) D) f(x)=1 + sinx, M( ;1) 1. Напишите уравнение касательной к графику функции f в точке с абсциссой x0. 1 вариант. 2 вариант. X А) f(x)=x2, x0=1 А) f(x)= 3 , x0=-1 B) f(x)=x3 - 1, x0=-1 B) f(x)=2x - x2, x0=0 C) f(x)=1 + cosx, x0=0 C) f(x)=3sinx, x0= D) f(x)= - 2sinx, x0= D) f(x)=tgx, x0= 2 2. Найдите точки графика функции f, в которых касательная параллельна оси абсцисс. 1 вариант. 2 вариант. 3 2 А) f(x)=x - 3x + 3x А) f(x)=3x4 - 6x2 + 2 1 B) f(x)=x3 - 3x + 1 B) f(x)= x4 - 6x2 + 2 2 C) f(x)=2cosx + x D) f(x)=sin2x + 3 x C) f(x)=cos(x - ) D) f(x)= 2 x –2sinx 3. Под каким углом пересекается с осью ОХ график функции 1 вариант. 2 вариант. 3 А) f(x)=3x - x А) f(x)=x2 - 3x + 2 B) f(x)= - cosx B) f(x)= sin(x + ) 4 4. Под каким углом пересекается с осью ОY график функции 1 вариант. 2 вариант. А) f(x)= 1 x 1 B) f(x)= sin(2x + 1 2 1 B) f(x)= tg(x - ) 2 4 А) f(x)= (x – 1)2 ) 6 Теоретическая часть. Пример решения задания №0. Пусть исходный пример имеет вид f(x)=x3 – 3x2, M(-1;-4). Тогда tg(a) = f ’(x) = 3x2 – 6x, tg(a) = f ’(-1) = 9. Пример решения задания №1. Уравнение касательной имеет вид y=f(x0)+f ’(x0)(x-x0) Пусть исходный пример имеет вид f(x)=x3 – 3x2, x0=1. Тогда 1. f(x0)=f(1)=13 – 3*12 = -2 2. f ’(x)=3x2 – 6x, f ’(x0)= f ’(1)=3*12 – 6*1= - 3 3. y=f(x0)+f ’(x0)(x-x0) = -2 + -3(x-1) = -3x+1 = 1 – 3x 4. Ответ: y = 1 – 3x Пример решения задания №2. Касательная параллельна оси абсцисс в точках при f ’(x) = tg(a) = 0. Пусть исходный пример имеет вид f(x)=x3 – 3x2. Тогда 1. f ’(x) = 3x2 – 6x = 3x(x-2) 2. 3x=0 ==> x=0, x-2=0 ==> x=2 3. f(0)=03 – 3*02 = 0, f(2)=23 – 3*22 = - 4 4. Ответ: (0;0), (2; - 4) Пример решения задания №3. График функции пересекает ось ОХ в точке, через которую проходит касательная к данному графику. Значение ординаты в этой точке равно нулю. Необходимо определить значения абсцисс в точке пересечения функции, а затем найти значение производной в этих точках. Далее, по значению тангенса определить угол. Пусть исходный пример имеет вид f(x)=x3 – 3x2. Тогда 1. f(x)=0, x3 – 3x2 = 0 ==> x2(x-3)=0 ==> x1=0, x2=3 2. f ’(x) = 3x2 – 6x = 3x(x-2) 3. f ’(0) = 3*0(0-2)=0, f ’(3) = 3*3*(3-2) = 9 4. tg(a)=0 ==> a = arctg0 = 0, tg(a)=9 ==> a = arctg9 Пример решения задания №4. Один из способов решения заключается в следующем: сначала надо определить угол пересечения графика функции ось ОХ. Затем из значения 900 вычесть полученный угол – это и будет результат.