Дифференцирование на MathCADe

Практическая работа. MathCAD. Дифференцирование функций.
0. Разминка. Найдите тангенс угла к оси абсцисс касательной, проходящей через
данную точку М графика функции f.
1 вариант.
2 вариант.
2
А) f(x) = x , M(-3;9)
А) f(x)= 13 x3 - x, M(2; 23 )
B) f(x)= x2 + 2x, M(1;3)
B) f(x)=x3 , M(-1;-1)

C) f(x)=-tgx, M(  ;0)
C) f(x)=3cosx, M( ;0)

D) f(x)= - cosx, M(-  ;1)
D) f(x)=1 + sinx, M(  ;1)
1. Напишите уравнение касательной к графику функции f в точке с абсциссой x0.
1 вариант.
2 вариант.
X
А) f(x)=x2, x0=1
А) f(x)= 3 , x0=-1
B) f(x)=x3 - 1, x0=-1
B) f(x)=2x - x2, x0=0
C) f(x)=1 + cosx, x0=0
C) f(x)=3sinx, x0= 


D) f(x)= - 2sinx, x0= D) f(x)=tgx, x0=

2
2. Найдите точки графика функции f, в которых касательная параллельна оси
абсцисс.
1 вариант.
2 вариант.
3
2
А) f(x)=x - 3x + 3x
А) f(x)=3x4 - 6x2 + 2
1
B) f(x)=x3 - 3x + 1
B) f(x)= x4 - 6x2 + 2
2
C) f(x)=2cosx + x
D) f(x)=sin2x + 3 x
C) f(x)=cos(x -

)

D) f(x)= 2 x –2sinx
3. Под каким углом пересекается с осью ОХ график функции
1 вариант.
2 вариант.
3
А) f(x)=3x - x
А) f(x)=x2 - 3x + 2

B) f(x)= - cosx
B) f(x)= sin(x + )
4
4. Под каким углом пересекается с осью ОY график функции
1 вариант.
2 вариант.
А) f(x)=
1
x 1
B) f(x)= sin(2x +
1
2
1

B) f(x)= tg(x - )
2
4
А) f(x)= (x – 1)2

)
6
Теоретическая часть.
Пример решения задания №0.
Пусть исходный пример имеет вид f(x)=x3 – 3x2, M(-1;-4). Тогда
tg(a) = f ’(x) = 3x2 – 6x, tg(a) = f ’(-1) = 9.
Пример решения задания №1.
Уравнение касательной имеет вид y=f(x0)+f ’(x0)(x-x0)
Пусть исходный пример имеет вид f(x)=x3 – 3x2, x0=1. Тогда
1. f(x0)=f(1)=13 – 3*12 = -2
2. f ’(x)=3x2 – 6x, f ’(x0)= f ’(1)=3*12 – 6*1= - 3
3. y=f(x0)+f ’(x0)(x-x0) = -2 + -3(x-1) = -3x+1 = 1 – 3x
4. Ответ: y = 1 – 3x
Пример решения задания №2.
Касательная параллельна оси абсцисс в точках при f ’(x) = tg(a) = 0.
Пусть исходный пример имеет вид f(x)=x3 – 3x2. Тогда
1. f ’(x) = 3x2 – 6x = 3x(x-2)
2. 3x=0 ==> x=0, x-2=0 ==> x=2
3. f(0)=03 – 3*02 = 0, f(2)=23 – 3*22 = - 4
4. Ответ: (0;0), (2; - 4)
Пример решения задания №3.
График функции пересекает ось ОХ в точке, через которую проходит касательная
к данному графику. Значение ординаты в этой точке равно нулю. Необходимо
определить значения абсцисс в точке пересечения функции, а затем найти
значение производной в этих точках. Далее, по значению тангенса определить
угол.
Пусть исходный пример имеет вид f(x)=x3 – 3x2. Тогда
1. f(x)=0, x3 – 3x2 = 0 ==> x2(x-3)=0 ==> x1=0, x2=3
2. f ’(x) = 3x2 – 6x = 3x(x-2)
3. f ’(0) = 3*0(0-2)=0, f ’(3) = 3*3*(3-2) = 9
4. tg(a)=0 ==> a = arctg0 = 0, tg(a)=9 ==> a = arctg9
Пример решения задания №4.
Один из способов решения заключается в следующем: сначала надо определить
угол пересечения графика функции ось ОХ. Затем из значения 900 вычесть
полученный угол – это и будет результат.