Утверждены на заседании кафедры «Математика и информатика» 06 сентября 2013 г. ______________ зав. кафедрой, доцент Уродовских В. Н. Экзаменационные вопросы по курсу «Линейная алгебра» для студентов 1 курса направлений «Экономика» и «Бизнес-информатика» Тема 1. Основы теории матриц 1. Понятие матрицы. Виды матриц. Транспонирование матрицы. 2. Равенство матриц. Алгебраические операции над матрицами: умножение на число, сложение, умножение матриц. 3. Определители матрицы 2-го порядка (определение и свойства). 4. Квадратная матрица и ее определитель. Особенная и неособенная квадратные матрицы. 5. Присоединенная матрица. Матрица, обратная данной, и алгоритм ее вычисления. 6. Понятие минора k-го порядка. Ранг матрицы (определение). Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований. 7. Линейная независимость столбцов (строк) матрицы. Теорема о ранге матрицы. Тема 2. Системы алгебраических уравнений 8. Система п линейных уравнений с п переменными (общий вид). Матричная форма записи такой системы. Решение системы (определение). 9. Совместные и несовместные, определенные и неопределенные системы линейных уравнений. 10. Метод Гаусса решения системы n линейных уравнений с п переменными. 11. Метод обратной матрицы решения систем уравнений. 12. Система линейных однородных уравнений и ее решения. Условие существования ненулевых решений такой системы. Тема 3. Линейные и евклидовы пространства 13. Ортогональные векторы. Ортогональный и ортонормированный базисы. 14. Определение оператора. Понятие линейного оператора. Образ и прообраз векторов. 15. Матрица линейного оператора в заданном базисе: связь между вектором х и образом у. Операции над линейными операторами. ~ 16. Собственные векторы и собственные значения оператора A (матрицы А). 17. Теорема о существовании и единственности разложения вектора линейного пространства по векторам базиса. 18. Теорема о существовании ортонормированного базиса в евклидовом пространстве. 19. Характеристический многочлен оператора и его характеристическое уравнение. 20. Скалярное произведение двух векторов (определение) и его выражение в координатной форме. Угол между векторами. 21. Векторы на плоскости и в пространстве (геометрические векторы). Линейные операции над векторами (сложение, умножение вектора на число). 22. Нулевой и тождественный операторы. 23. n-мерный вектор. Линейная комбинация, линейная зависимость и независимость векторов. 24. Векторное (линейное) пространство. Его размерность и базис. 25. Евклидово пространство. 26. Скалярное произведение векторов в n-мерном пространстве и его свойства. Длина (норма) вектора. Тема 4. Квадратичные формы 27. Квадратичная форма (определение). Матрица квадратичной формы. 28. Квадратичная форма (канонический вид). Приведение квадратичной формы к каноническому виду. 29. Положительно и отрицательно определенная, знакоопределенная квадратичные формы. 30. Закон инерции квадратичных форм. 31. Критерии знакоопределенности квадратичной формы (через собственные значения ее матрицы и по критерию Сильвестра). 32. Ранг квадратичной формы.