МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Томский государственный университет

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Томский государственный университет
Факультет прикладной математики и кибернетики
УТВЕРЖДАЮ
Декан ФПМК
А.М. Горцев
"_____"__________________2011__ г.
Рабочая программа дисциплины
Функциональный анализ
Направление подготовки
010400 Прикладная математика и информатика
Квалификация выпускника
Бакалавр
Форма обучения
очная
Томск
2011г.
1. Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины «Функциональный анализ» являются:
–изучение основных методов современного анализа, используемого в теоретических и
прикладных
исследованиях, создание математической основы для изучения
дисциплин: теория вероятностей, дифференциальные уравнения, уравнения
математической физики;
–обучить студентов методам решения типовых задач анализа, возникающих в
приложениях;
–привить навыки исследовательской работы с помощью логически строгого
построения доказательств.
В результате освоения данной дисциплины обеспечивается достижение целей
основной образовательной программы «Прикладная математика и информатика»;
приобретенные знания, умения и навыки позволяют подготовить выпускника к
научно-исследовательской деятельности в области прикладной математики, к
производственно-технологической деятельности в области создания современных
систем для решения прикладных задач и педагогической деятельности.
2.Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата_
Дисциплина «Функциональный анализ» находится в цикле Б.2 Математический и
естественнонаучный цикл (Базовая часть).
Для изучения курса необходимы знания по предметам: математический анализ,
алгебра и геометрия. Знания, полученные при изучении данного курса, используются
при изучении
«Уравнений математической физики», «Дифференциальных
уравнений», «Теории вероятностей», «Теории случайных процессов», в научноисследовательской работе в области прикладной математики, при создании
современных систем управления и в педагогической деятельности.
3 Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
«Функциональный анализ».
В результате освоения дисциплины обучающийся должен обладать общекультурными
компетенциями:
–способностью осознать социальную значимость своей будущей профессии, обладать
высокой мотивацией к выполнению профессиональной деятельности (ОК-9).
В
результате
освоения
дисциплины
обучающийся
должен
обладать
профессиональными компетенциями:
–способностью понимать и применять в исследовательской работе и прикладной
деятельности современный математический аппарат (ПК-3);
–способностью формировать суждения о значении и последствиях своей
профессиональной деятельности с учетом социальных, профессиональных и этических
позиций (ПК-8);
– способностью собирать, обрабатывать и интерпретировать данные современных
научных исследований, необходимые для формирования выводов по соответствующим
научным, профессиональным, социальным и этическим проблемам (ПК-7);
–способностью в составе научно-исследовательского и производственного коллектива
решать задачи профессиональной деятельности (ПК-4).
В результате освоения дисциплины обучающийся должен знать:
–основные результаты современного анализа из теории меры и интеграла,
функциональных пространств и операторов, используемых в прикладных исследованиях;
–возможности применения общих математических конструкций для решения
прикладных задач;
–основные понятия и факты, используемые в физике , кибернетике, экономике.
В результате освоения дисциплины обучающийся должен уметь:
–решать типовые задачи, способствующие углубленному пониманию основных
математических объектов;
–применять общие методы к решению конкретных задач, связанных с
дифференциальными и интегральными уравнениями;
–логически выстроить обоснование основных фактов.
В результате освоения дисциплины обучающийся должен владеть:
–навыками анализа свойств основных математических объектов, широко применяемых в
прикладных задачах;
–общим пониманием аппарата современного анализа, методами и подходами,
используемыми в теории меры и интеграла и теории операторов в основных
функциональных пространствах.
4. Структура и содержание дисциплины «Функциональный анализ»
Общая трудоемкость дисциплины составляет 7,3 зачетных единиц (264 часов).
Содержание курса
III семестр
4.1. Вводная часть.
Тема 1. Основные задачи функционального анализа и их связь с физикой. Роль
функционального анализа в прикладных исследованиях.
4.2. Элементы теории множеств.
Тема 2. Множества, операции над множествами. Классы множеств, замкнутые
относительно данного набора теоретико-множественных операций. Кольца, полукольца,
алгебры, σ-алгебры. Построения минимальных φ-классов: минимальной алгебры (по
разбиению, по конечной системе множеств, по произвольному классу), минимального
кольца по полукольцу. Леммы о полукольцах.
4.3. Теория меры.
Тема 3. Мера Лебега на числовой прямой и на плоскости. Продолжение меры с
полукольца на минимальное кольцо. Построение меры Лебега плоских множеств. Мера
Лебега в Rn .
Тема 4. Мера абстрактных множеств. Продолжение меры с полукольца на кольцо.
Аддитивность и σ-аддитивность. Способы задания мер на измеримых метрических
пространствах.
4.4. Измеримые функции.
Тема 5. Функции, образы и прообразы множеств и классов множеств. Свойства обратных
отображений. Измеримые функции, дескриптивные и конструктивные определения.
Борелевские функции в метрических пространствах.
4.5. Теория интеграла.
Тема 6. Интеграл Лебега на абстрактном множестве на основе конструкции K  измеримых
функций.
Определение,
корректность
определения,
свойства.
Индуцированные меры. Теорема о замене переменной в интеграле Лебега.
IV семестр.
Тема 7. Продолжение меры с алгебры на σ-алгебру. Внешняя мера. Теорема Каратеодори.
Связь интеграла Римана и Лебега. Произведение измеримых пространств. Теорема
Фубини о повторных интегралах. Применение в теории вероятностей.
4.6. Метрические пространства
Тема 8. Множества в метрических пространствах. Полные метрические пространства.
Теорема Рисса о полноте Lp  , F ,   . Пополнение метрических пространств. Компактные
множества в метрических пространствах. Теорема Хаусдорфа.
Тема 9. Принцип сжимающих отображений и его применение к задаче Коши для
обыкновенных дифференциальных уравнений, интегральным уравнениям Фредгольма и
Вольтерра, для доказательства эргодической теоремы.
4.7. Линейные пространства.
Тема 10. Линейные нормированные пространства. Теорема об эквивалентности норм.
Банаховы пространства.
Тема 11. Гильбертовы пространства. Геометрия гильбертова пространства.
Ортогональные базисы в гильбертовом пространстве. Теорема о базисах. Теорема о
полноте тригонометрической системы в L2 0, 2 . Теорема о проекциях.
4.8. Линейные функционалы и операторы.
Тема 12. Функционалы и операторы. Норма. Теорема Рисса. Абсолютная непрерывность
мер, теорема Радона--Никодима. Пространства операторов. Симметричные операторы в
гильбертовых пространствах.
Темы практических занятий.
Тема 1. Неравенства
неравенство.
Коши--Буняковского,
Юнга,
Гельдера,
Минковского,
Cr -
Тема 2. Множества, операции над множествами, системы множеств: алгебры, σ-алгебры,
полуалгебры, полукольца, топологии. Построения минимальных алгебр по конечным
разбиениям множества.
Тема 3. Метрические пространства, множества в метрических пространствах.
Тема 4. Полнота метрических пространств C  a, b  , C p  a, b  , l p . Принцип сжимающих
отображений и его применения: задача Коши, интегральные уравнения, эргодическая
теорема.
Тема 5. Меры на прямой и на плоскости. Измеримые функции. Сходимость
последовательностей измеримых функций по мере и почти всюду.
Тема 6. Компактные множества. Сепарабельность. Плотные множества в L2  a, b .
Тема 7. Базисы в гильбертовых пространствах. Функции Хаара. Тригонометрические
базисы.
Тема 8. Функционалы и операторы. Нахождение норм для линейных функционалов и
операторов.
Неделя семестра
лекции
практиче
ские
занятия
самостоя
тельная
работа
Формы текущего
контроля
успеваемости (по
неделям семестра)
Семестр
Раздел
Виды учебной работы,
включая
самостоятельную
работу студентов и
трудоемкость (в часах)
3
1
1
0
0
Элементы
теории 3
множеств. Множества
в
метрических
пространствах.
1–3
5
12
10
Опрос на занятия,
проверка домашних
заданий.
Контрольная работа.
3
Теория меры.
3
4–7
8
4
10
Опрос на занятия,
проверка домашних
заданий
4
Измеримые функции.
3
8–11
8
8
10
Опрос на занятия,
проверка домашних
заданий.
Доклады
студентов.
5
Теория интеграла.
3
12–16
10
8
10
4
1–2
4
4
4
Опрос на занятия,
проверка домашних
заданий.
Зачет,
экзамен.
4
3–5
6
4
6
Опрос
№
Дисциплины
п/п
1
Вводная часть.
2
6
Метрические
Форма
промежуточной
аттестации (по
семестрам)
на
занятия,
пространства
проверка домашних
заданий.
Контрольная работа.
7
Линейные
пространства.
4
6–10
10
12
12
Опрос на занятия,
проверка домашних
заданий.
Контрольная работа.
8
Линейные
функционалы
и операторы.
4
11–15
10
10
18
Опрос на занятия,
проверка домашних
заданий.
Доклады
студентов.
Контрольная работа.
Зачет, экзамен.
62
62
80
60
Итого
5. Образовательные технологии
В процессе обучения для достижения планируемых результатов освоения дисциплины
используются следующие методы образовательных технологий:
– работа в команде;
– опережающая самостоятельная работа;
– междисциплинарное обучение;
– проблемное обучение;
– обучение на основе опыта.
Для изучения дисциплины предусмотрены следующие формы организации учебного
процесса: лекции, практические занятия, самостоятельная работа студентов,
индивидуальные и групповые консультации.
6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов.
Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной
аттестации по итогам освоения дисциплины.
Контроль самостоятельной работы студентов и качества освоения дисциплины
осуществляется посредством:
– опроса студентов при проведении практических занятий;
– проведения контрольных работ;
– выполнения студентами домашних работ по вариантам;
– проверки выполнения домашних заданий;
– докладов студентов по выбранным темам.
Итоговая аттестация предусматривает предусматривает сдачу зачетов по темам
практических занятий и экзаменов по темам лекций. Для итоговой аттестации
подготовлены список задач для сдачи зачета (100 задач) и билеты для экзамена (25
билетов по 2 вопроса).
Темы докладов.
1. Обобщенный принцип сжимающих отображений.
2. Применение принципа сжимающих отображений к решению систем линейных
уравнений.
3. Применение принципа сжимающих отображений к решению интегральных
уравнений.
4. Применение принципа сжимающих отображений к решению задачи Коши для
обыкновенных дифференциальных уравнений.
5. Вариация функционалов. Задача о брахистохроне.