Суть метода координат

Суть метода координат
Сущность метода координат как метода решения задач состоит в том, что, задавая
фигуры уравнениями и выражая в координатах различные геометрические соотношения,
мы можем решать геометрическую задачу средствами алгебры.
Метод координат – это универсальный метод. Он обеспечивает тесную связь между
алгеброй и геометрией, которые, соединяясь, дают «богатые плоды», какие они не могли
бы дать, оставаясь разделенными.
В некоторых случаях метод координат дает возможность строить доказательства и
решать многие задачи более рационально, красиво, чем чисто геометрическими
способами.
Этапы решения задач методом координат
Чтобы решать задачи методом координат необходимо выполнение 3 этапов:
I – перевод задачи на координатный (аналитический) язык;
II – преобразование аналитического выражения;
III – обратный перевод, т. е. перевод с координатного языка на язык, в терминах
которого сформулирована задача.
Задача. В треугольнике ABC: AC=b, AB=c, ВС=а, BD - медиана. Докажите, что
a2  c2 b2 .
BD 2 

2
4
I этап.
Выберем систему координат так, чтобы точка А служила началом координат, а осью Ох прямая АС (рис.).
(!!! Важно оптимально выбирать систему координат, т. е. так, чтобы наиболее просто
находить координаты данных точек).
В выбранной системе координат точки А, С и D имеют
следующие координаты: А(0,0), D( b ,0) и С(b,0).
y
2
II этап.
Обозначим координаты точки В через х и у. Тогда
используя формулу для нахождения расстояний между
двумя точками, заданными своими координатами,
получаем:
с2= х2+у2, a2= (x-b)2+y2.
(1)
b
По той же формуле BD 2  ( x  ) 2  y 2 .
(2)
2
Решив систему уравнений (1), найдем х и у:
(c 2  a 2  b 2 ) 2 .
c2  a2  b2 ;
y  c2 
x
2b
4b 2
Подставляя результат в формулу (2), получаем:
BD 2  (
c2  a2  b2 b 2
(c 2  a 2  b 2 ) 2 .
 )  c2 
2b
2
4b 2
BD2 
a 2  c2 b2 .

2
4
B
O(A) D
Рис.
C
x