Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа №3 имени Тази Гиззата г.
Агрыз Агрызского муниципального района Республика Татарстан
2012 год
Содержание
0 Введение
0 Основные формулы
0 Примеры решения задач
0 Заключение
0 Список литературы
Введение
Изучению темы «Метод координат» в
программе по математике основной школы
уделяется достаточное внимание. Учащиеся
впервые овладевают навыками отыскания точки
на плоскости по заданным координатам, начиная с
6-го класса. В дальнейшем значительное место
отводится геометрическим задачам, связанным с
использованием метода координат.
При изучении математики в курсе основной
школы учащиеся знакомятся с понятием вектора, с
его свойствами, а также со скалярным
произведением векторов. В старшей школе тема
«Метод координат» изучается более подробно, и
раздел называется «Метод координат в
пространстве», так как именно в старшей школе
учащиеся начинают работать в трехмерном
пространстве.
В КИМ ЕГЭ по математике встречаются
некоторые задачи, которые решаются именно этим
методом.
Поэтому целью моей работы стало изучение
метода координат для решения экзаменационных
заданий, таких как С2.
Основные формулы
Координаты середины отрезка:
Расстояние между точками:
=
Скалярное произведение векторов:
   

a  b  a  b cos( a , b )
Угол между векторами:
Уравнение окружности:
( x  x0 ) 2  ( y  y0 ) 2  R 2
Уравнение сферы:
Уравнение плоскости:
Формула расстояния от точки до плоскости:
Примеры решения задач
Задача 1. Дана прямоугольная трапеция с основаниями a и b. Найдите
расстояние между серединами ее диагоналей.
Решение. 1. Введем систему координат как указано на рисунке. Тогда вершины
трапеции будут иметь координаты: A(0,0), B(0,y), C(b,y) и D(a,0). (Здесь y –
высота трапеции).
.
2. Найдем координаты середин диагоналей, учитывая, что середина делит
отрезок в отношении =1.
Для точки О:
Для точки О1:
xO 
xO1 
0b b
0 y y
 ; yO 

2
2
2
2
0a a
0 y y
 ; yO1 

2
2
2
2
a b
a b  y y
OO1         
2
2 2  2 2
2
Найдем расстояние между точками О и О1:
Ответ:
OO1 
a b
2
2
Задача 2. Медиана, проведенная к основанию равнобедренного
треугольника, равна 160 см, а основание треугольника равно 80 см.
Найдите две другие медианы этого треугольника.
Решение.
1. Введем прямоугольную систему координат так, как показано на
рисунке. В этой системе вершины треугольника будут иметь
координаты: А(-40,0), В(0, 160), С(40,0), а точка М2(0,0). Найдем
координаты середин двух других сторон.
0  (40)
160  0
xM 3 
 20; yM 3 
 80
Для М3 получим:
2
2
Для М1 аналогично находим:
xM1 
0  40
160  0
 20; yM1 
 80
2
2
2. Вычислим длины отрезков АМ1 и СМ3. Для АМ1 получим:
Длина второй медианы вычисляется аналогично.
Ответ:
AM1  CM 3  100 (см)
AM1  (20  (40))2  (80  0) 2  100 (см)
Задача 3. Тренировочный вариант 2011 год
Задача 4. Демо 2008 год. С4
Отрезок PN – диаметр сферы. Точки M, L лежат на сфере так, что
объем пирамиды PNML наибольший. Найдите синус угла между прямой
NT и плоскостью PMN, если T – середина ребра ML.
z
M
K
O
P
x
Решение
T
1) Введем систему координат. Тогда N (0;R;0), T (R/2;0;R/2).
2) K – проекция Т на плоскость PMN. K – середина ОМ, поэтому K (R/2;0;0).
3) N K - проекция вектора NT на плоскость PMN. Значит, ∟(NT;PMN)=
N
L
y
=∟(NT;NK)= ∟φ
4) NT {R/2;-R;R/2), NK {R/2;-R;0}
cos 𝜑 =
𝑅2
+𝑅 2 +0
4
6𝑅2 5𝑅2
4
sin 𝜑 =
Ответ: 1/√6.
1−
=
5
6
4
5
=
6
1
1
=
6
6
Задача 5. «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2012» Под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова
В правильной треугольной пирамиде SABC ребро
основания АВ равно боковому ребру АS=4. Точка
К является серединой апофемы боковой грани
ВС. Найдите угол между прямыми ВК и АС.
И в заключении хочется поделиться общими указаниями, которые помогут сориентироваться и
решить, можно ли в данной задаче использовать векторы и координаты:
Во-первых, естественно, нужно применять координатный или векторный метод, если в
условиях задачи говорится о векторах или координатах;
Во-вторых, координатный метод может помочь, если в задаче требуется определить
геометрическое место точек (т.е. спрашивается, какую фигуру образуют точки, удовлетворяющие
некоторому условию);
В-третьих, очень полезно применить координатный метод, если из условия задачи не
понятно, как расположены те или иные точки;
В-четвертых, полезно и удобно применять координаты и векторы для вычисления
углов и расстояний;
В-пятых, вообще, часто, когда не видно ни каких подходов к решению задачи, или вы не
можете составить уравнения, попробуйте применить координатный метод. Он не обязательно даст
решение, но поможет разобраться с условиями и даст толчок к поиску другого решения.
В своей работе я рассмотрела эффективные и универсальные приемы использования «Метода
координат» при решении стереометрических задач, а также задачи, при решении которых
используется материал, выходящий за рамки школьной программы.
Данный материал можно использовать при подготовке учащихся к ЕГЭ, на факультативных
занятиях по математике, на элективных курсах. Также этот материал могут применять учителя.
Изучив данную проблему, я думаю, что справлюсь с решениями геометрических задач, используя
метод координат.

Л.С. Атанасян , В.Ф. Бутузов , Геометрия,7-9, М. Просвещение, 2005.

.С. Атанасян , В.Ф. Бутузов , Геометрия,10-11, М. Просвещение, 2005.

Математика. Подготовка к ЕГЭ - 2011. Вступительные испытания. Под редакцией
Ф.Ф. Лысенко. – Ростов–на – Дону: Легион, 2011.

ЕГЭ 2012. Математика. Типовые тестовые задания. Под редакцией А.Л.
Семенова, И.В. Ященко. М.: Экзамен, 2011.

http://www.edu.ru/abitur/ege/d_mat.html

http://www.samarov.ru/math/mathege/2008.pdf

fipi_matematika.doc

http://www.math.ru

http://www.alleng.ru/d/math/math968.htm

http://jointhejoy.ru/content/neobychnyj-spisok-literatury

http://vsegdz.ru/65-gdz-po-geometrii-11-klass-atanasyan-ls-reshebnik-pogeometrii-za-11-klass-atanasyan-ls.html

http://ru.123rf.com/photo_8665139_sign-question-and-exclamation-onwhite-isolated-3d-image.html

http://www.solnet.ee/gallery/knk-sh3.html

http://na-golove.ru/akademicheskaya-shapochka-shapka-magistra/