В олимпиаде приняли участие 9 человек (студенты 2, 3 и... 1. Порохнов А.Н. 2. Петкович Е.В.

В олимпиаде приняли участие 9 человек (студенты 2, 3 и 5-го курсов).
1. Порохнов А.Н.
2. Петкович Е.В.
3. Яцин А.А.
4. Празян Т.Л.
5. Гутов А.Н.
6. Мальцев М.А.
7. Кузнецова А.С.
8. Хижняк А.В.
9. Коксин А.М.
Благодарим этих студентов за активное участие! Жаль, что студенты 1 курса
оказались пассивными!
Победители:
1. Празян Т.Л.
2. Коксин А.М.
3. Петкович Е.В.
Ниже – решения предложенных задач.
2 курс
Задача 1. Брусок массы m втаскивают за нить с постоянной скоростью вверх
по наклонной плоскости, составляющей
угол α с горизонтом . Коэффициент
трения равен μ. Найти угол β, который
должна составлять нить с наклонной
плоскостью, чтобы натяжение нити
было наименьшим. Чему оно равно?
Решение
По 2 закону Ньютона имеем равновесие сил:
T cos   mg sin   Fòð  0
T sin   N  mg cos   0
Fтр = μN .
Из (1) – (3) следует
T = mg sinα + μmg cosα/(cosβ+μ sinβ)
Tmin найдется из условия максимума
выражения cosβ+μ sinβ. Так что
Fтр
d (cos    sin  )
0
d
(1)
(2)
(3)
(4)
 tg   (5)
Таким образом, подставляя (5) в (4) найдем
Tmin 
mg (sin    cos  )
1  2
Задача 2. Однородный шар радиуса r скатывается без скольжения с вершины
сферы радиуса R. Найти угловую скорость шара после отрыва от сферы.
Начальная скорость шара пренебрежимо мала.
Решение
Запишем уравнение движения центра шара в
момент отрыва:
mv2/(R+r) = mg cos θ .
Из закона сохранения энергии следует
mgh 
1 2 1 2
mv  I ,
2
2
где момент инерции шара I 
2 2
mr . Далее
5
v = ωr, h = (R + r)(1 – cos θ) . В итоге получаем:
  10 g ( R  r ) / 17r 2
Задача 3. Объем идеального газа с показателем адиабаты γ изменяют по
закону V = a/T, где а – постоянная. Найти количество тепла, полученное
одним молем газа в этом процессе, если температура газа испытала
приращение ΔТ.
Решение
Элементарная работа, совершенная газом
dA  pdV 
RT 2 
a
a 
  2 dT  RdT .
 T 
T  T
Тогда
A
RdT  RT .
T
По первому закону термодинамики
Q  U  A  CV T  RT 
R
2
T  RT  RT
 1
 1 .
Задача 4.
Один моль идеального газа с показателем
адиабаты γ совершает цикл, в пределах
которого абсолютная температура
изменяется в τ раз. Найти к.п.д. η данного
цикла.
р
V
Решение
Так как на участке ВС цикла p = αV, то
p V

p 0 V0
Мы имеем

 1 (см. рис.).

Далее, по первому закону
термодинамики на участке
СА:
р
C
Q2  CV T0   1 .
τp0 , V0, τT0
Q1
На участке АВ:
Q2
 1
Q2  C pT0 1   .
 
A
B
V T
P0 , 0 , 0
 
Таким образом,
P0, V0, T0
Q2
V
Q2  Q2  Q2 
RT0
  11   
 1
 
.
Вдоль участка ВС:
1 
1
 
ÑdT  CV dT  pdV  CV dT  d  V 2    CV  R dT .
2 
2
 
Таким образом,
Q1 
1
(  1)(  1)
RT0
.
2
 1
Наконец,

1
 1  
Q2

 1
 
Q1
 1 .
К
+
-
ε
С
Q0
С
Задача 5. Два конденсатора емкостью С
соединены, как показано на рисунке и
подсоединены к источнику с ЭДС, равной
ε, через ключ К. До замыкания ключа один
из конденсаторов имел заряд Q0. Какие
напряжения установятся на конденсаторах
после замыкания ключа?
Решение
Составим систему уравнений:
U1 + U2 = ε .
q1 = CU1, q2 = CU2 .
К
+
-
+q1
-q2-Q0 = -q1
С
ε
+q2
-q2
С
По закону сохранения заряда
q1 – Q0 = q2 .
Решая эту систему уравнений,
находим
U1 
Q 
1 Q0
1
(
  ), U 2     0 
2 C
2
C 
.
3 – 5 курсы. Магистры
Задача 1. Частица движется, замедляясь, по окружности радиуса R так, что в
каждый момент времени ее тангенциальное и нормальное ускорения равны
друг другу. В начальный момент времени t = 0 скорость точки равна v0.
Найти зависимость: а) скорости точки от времени и пройденного пути S; б)
полного ускорения точки от скорости и пройденного пути.
Решение
dv
v2
a 
 ;
dt
R
v
t
dv
dt
v0 R
v v 2   0 R  v  R  v0t ;
0

v Rdt
R  v0t
v
S   vdt   0
 R ln
 R ln 0  v  v0e R ;
R
v
0
0 R  v0t
t
S
t
2S
2v 2
2 2 R
a  a  an 

v0 e
R
R
Задача 2. Автомобиль движется равномерно по горизонтальной траектории,
2
2
имеющей форму синусоиды y = b sin(x/α), где b, α – постоянные.
Коэффициент трения между колесами и дорогой равен μ. При какой скорости
движение автомобиля будет происходить без скольжения?
Решение
Ясно, что допустимая скорость движения автомобиля без скольжения
при его равномерном движении по траектории (в отсутствие тангенциальной
составляющей ускорения a ) должна удовлетворять неравенству:
v2
g
R
(1)
При этом, чем меньше радиус кривизны, тем большую величину может иметь
максимально допустимая скорость. Далее, при движении по синусоиде ее
наибольшая кривизна (наименьший радиус кривизны) имеет место при
x



2
. Полное ускорение автомобиля равно: a 
y  x
b

cos
x

; y  
b
2
x 2 sin
x

x2  y2 ;
b
x
 x cos

(2)

Согласно (2) в точке наибольшей кривизны :
b 2
b 2 b 2 v2
2
y   2 vx , v y  0 ; an  y  2 vx  2 v 
 R ;



R
b
С учетом (1): v  
g
b
.
Задача 3. Найти емкость батареи
конденсаторов между точками А и В.
Решение
Исходя из симметрии схемы
представим возможное распределение
зарядов после подключения
источника, как показано на рисунке.
При обходе по контуру 21652 имеем
q2 q1 q1  q 2


 0.
(1)
C 2 C1
C3
Емкость эквивалентного конденсатора
равна по определению:

C0 
q1 q 2
U AB
(2)
U AB 
По пути А54В:
q1 q 2

C1 C 2
.
(3)
Решая совместно систему уравнений (1) – (3), получим
C0 
2C1C2  C3 (C1  C2 )
.
C1  C2  2C3
Задача 4. Требуется изготовить параллельную оптической оси кварцевую
пластинку, толщина которой не превышала бы 0,50 мм. Найти максимальную
толщину этой пластинки, при которой линейно поляризованный свет с
длиной волны λ = 589 нм после прохождения ее:
а) испытывает лишь поворот плоскости поляризации;
б) станет поляризованным по кругу.
Примечание: для кварца показатель преломления для необыкновенного луча
ne = 1,553; для обыкновенного луча n0 =1,544 при λ = 589 нм.
Решение
В кварцевой пластинке, разрезанной параллельно оптической оси, плоскость
поляризации падающего луча света перпендикулярна лучам,
распространяющимся в том же направлении обыкновенным и
необыкновенным лучам света (но различными скоростями ) Как результат
разность фаз между соответствующими световыми волнами

2

( n e  n 0 )d ,
где d – толщина кварцевой пластинки. Вообще говоря, это соответствует
эллиптической поляризации выходящего луча света.
(а) Для выходящего луча, испытывающего только поворот плоскости
поляризации: δ = (2k + 1)π, k = 0, 1, 2, 3, … В этом случае

0,589
  ( 2k  1)
 ( 2k  1)
ìì .
2( ne  n0 )
18
Максимальное значение (2k+1), для которого d меньше, чем 0,5 мм равно
15,28 . Тогда мы должны положить k = 7 и d = 0,4908 мм.
(б) При круговой поляризации  
Тогда d  ( 4k  1)

4( ne  n0 )
 ( 4k  1)

2
с периодом 2π, т.е.   ( 4k  1)

2.
0,589
.
36
Теперь (4k+1) = 30,56. Ближайшее целое, меньшее этого значения, равно 29.
Ему соответствует k = 7. Тогда d = 0,4749 мм.
Задача 5. Вода массы m = 20 г находится при температуре 00С в
теплоизолированном сосуде под невесомым поршнем, площадь которого S =
410 см2 . Внешнее давление равно нормальному атмосферному. На какую
высоту поднимется поршень, если воде сообщить количество тепла
Q = 20 кДж.
Решение
Некоторое количество теплоты подйт на нагревание воды до точки кипения Т
= 373 К. Оставшаяся часть тепла Q' = Q – mcΔT расходуется на образование
пара. Если поршень поднимется на высоту h, то объем, занимаемый
паром ,будет равен приблизительно Sh (пренебрегая объемом воды). Его
P0 Sh
M , а теплота испарения
масса будет равна
RT
P0 Sh
Mq . К этому
RT
надо добавить работу по подъему поршня насыщенным паром P0Sh.
Таким образом,
Q  mcT
 qM 
Q  mcT  P0 Sh1 
 20 ñì .
  h
RT 
 qM 

P0 S 1 

RT 
