Влияние флексоэлектрического эффекта на переход

Санкт-Петербургский государственный университет
Физический факультет
Кафедра статистической физики
Влияние флексоэлектрического эффекта на
переход Фредерикса в киральных жидких
кристаллах
Бакалаврская работа студента
дневного отделения
Оскирко Антона Дмитриевича
Научный руководитель:
д.ф.-м.н., проф. Романов В.П.
Рецензент:
д.ф.-м.н., проф. Ульянов С.В.
Санкт-Петербург
2014
2
Оглавление
1
Введение
3
2
Свободная энергия ХЖК во внешнем поле с учётом флексоэлектрического эффекта
5
3
Уравнения Эйлера-Лагранжа
8
4
Сокращение количества переменных в функционале свободной энергии
5
9
Влияние флексоэлектрической поляризации на пороговое поле перехода Фредерикса
10
5.1
Жёсткие симметричные граничные условия
5.2
Мягкие симметричные граничные условия . . . . . . . . . . . . 11
5.3
Мягкие несиметричные граничные условия . . . . . . . . . . . . 12
Литература
. . . . . . . . . . . 11
16
1
Введение
3
Применение жидких кристаллов (ЖК) в системах передачи и вывода информации вызвало в своё время увеличение интереса к эффекту переориентации
ЖК во внешних полях ([1]). Именно этот эффект и носит имя Фредерикса.
Данный эффект имеет место как в магнитном, так и в электрическом поле.
Класический эффект Фредерикса изучался в течение долгого времени и уже
описан как теоретически, так и экспериментально ([2-4]).
В последнее десятилетие интерес к изучению эффекта Фредерикса возрос ([5-7]), большинство исследований идут в сторону усложнения систем и
условий, в которых они находятся. Рассматриваются различные типы ЖК,
геометрии ячеек и граничные условия.
Данная работа посвящена изучению ЖК холестерического типа (ХЖК),
рассматриваемая геометрия ячейки – плоский слой конечной толщины, граничные условия – как мягкие, так и жёсткие. Отличительной особенностью
работы от, например, [8], является учёт вклада в свободную энергию от флексоэлектрической поляризации.
Флексоэлектричество по своей сути эквивалентно пьезоэффекту, различаются они лишь названием (имеется в виду идентичная природа эффектов –
появление при механическом искажении структуры разности потенциалов на
границах1 ). Для более наглядного описания рассмотрим несколько примеров.
Рис. 1: Асимметричные молекулы с дипольным моментом
На рисунке 1 изображён случай асимметричных молекул с ненулевым дипольным моментом. Видно, что при приложении поля 𝐸 молекулы выстраиваются по нему, что вызывает деформации, связанные с формой молекул.
Следующие два примера иллюстрируют случай симметричных молекул.
1 Имеет
место и обратный эффект – изменение структуры (пьезоэлектрический аналог – деформация
тела) ЖК во внешнем поле
4
Рис. 2: Симметричные молекулы – продольный изгиб
Рис. 3: Симметричные молекулы – поперечный изгиб
В обоих случаях в среднем слое при соответствующей деформации возникает объёмный дипольный момент, направленный вверх.
Как показано ниже в работе, величина вклада флексоэлектрической поляризации в свободную энергию зависит от суммы флексоэлектрических коэффициентов (𝑒1 + 𝑒3 ), являющихся параметрами ЖК. Характерными для
(𝑒1 + 𝑒3 ) считаются значения порядка 10−3 𝑐𝑔𝑠𝑢𝑛.
𝑐𝑚 , однако в [9] экспериментальным путём установлено существование систем ЖК с коэффициентом (𝑒1 +𝑒3 )
порядка 1 𝑐𝑔𝑠𝑢𝑛.
𝑐𝑚 .
5
В данной работе исследуется влияние флексоэлектрической поляризации
на переход Фредерикса в ХЖК в различных граничных условиях: жёстких
симетричных, мягких симметричных и мягких несимметричных. Для этого вначале получен вклад флексоэлектрической поляризации ℱ𝑓 𝑙 в свободную энергию ХЖК ℱ𝑡𝑜𝑡 , затем путём варьирования ℱ𝑡𝑜𝑡 найдены уравнения Эйлера-Лагранжа и граничные условия к ним. Далее, используя одно из
уравнений и соответствующее граничное условие, производится сокращение
переменных для упрощения численных расчётов. Наконец, после уменьшения
количества переменных проводится серия экспериментов, состоящих в прямой минимизации свободной энергии ℱ𝑡𝑜𝑡 при различных граничных условиях
и значениях коэффициента (𝑒1 + 𝑒3 ).
2
Свободная энергия ХЖК во внешнем поле с
учётом флексоэлектрического эффекта
Рассмотрим плоский слой 0 6 𝑧 6 𝐿 ХЖК с распределением директора в
пространстве n = n(r) во внешнем поле. Заметим, что работать удобнее всего
в следующих координатах:
Рис. 4: Новые переменные 𝜃 и 𝜙
𝑛𝑥 = sin 𝜃 cos 𝜙
𝑛𝑦 = sin 𝜃 sin 𝜙
𝑛𝑧 = cos 𝜃
6
Далее будем считать систему однородной в перпендикулярных оси 𝑧 плоскостях: n(r) = n(𝑧). Выражение для ориентационной свободной энергии ХЖК
ℱ(n) может быть разбито на четыре слагаемых:
(1)
ℱ𝑡𝑜𝑡 = ℱ𝑒 + ℱ𝑠𝑓 + ℱ𝑓 + ℱ𝑓 𝑙
Первое из них ℱ𝑒 – упругая энергия ЖК (энергия Франка, подробный
вывод формулы приведён в [10]):
∫︁𝑙2 [︁
]︁
2
2
2
𝐾11 (div n) + 𝐾22 (n rot n + 𝑞0 ) + 𝐾33 (n × rot n) 𝑑𝑧
𝑆⊥
ℱ𝑒 =
2
𝑙1
Переписывая это выражение в терминах переменных 𝜃 и 𝜙, получим:
𝑆⊥
𝑉
ℱ𝑒 = 𝐾22 𝑞02 +
2
2
∫︁𝑙2 [︁
′ 2
′ 2
𝒜(𝜃)(𝜃 ) + ℬ(𝜃)(𝜙 ) − 𝒞(𝜃)𝜙
′
]︁
(2)
𝑑𝑧
𝑙1
𝒜(𝜃) = 𝐾11 (sin 𝜃)2 + 𝐾33 (cos 𝜃)2
(︁
)︁
2
2
2
ℬ(𝜃) = (sin 𝜃) 𝐾22 (sin 𝜃) + 𝐾33 (cos 𝜃)
𝒞(𝜃) = 𝑞𝑎 𝐾22 (sin 𝜃)2
Здесь 𝑆⊥ – площадь поперечного оси 𝑧 сечения образца, 𝐾𝑖𝑖 – константы
Франка,
𝜋
𝑞0
– период спирали ХЖК.
Второе слагаемое в (1) – поверхностная энергия сцепления с подложкой.
ℱ𝑠𝑓
(︁
𝑆⊥ ∑︁
=
𝑤𝑗 n(𝑙𝑗 ),
2 𝑗=1,2
n
0(𝑗)
)︁
,
𝑙1 = 0,
𝑙2 = 𝐿
Для функции 𝑤𝑗 (𝜃, 𝜙) используем простейшую аппроксимацию:
𝑤𝑗
(︁
n(𝑙𝑗 ), n
0(𝑗)
)︁
= 𝑤𝑗 (𝜃, 𝜙) =
(𝑗)
(𝑗)
𝑊𝜃
(︁
𝜃−
(𝑗)
𝜃0
)︁2
+𝑊𝜙(𝑗)
(︁
𝜙−
(𝑗)
𝜙0
)︁2
,
(𝑗)
𝑊𝜃 , 𝑊𝜙(𝑗) > 0
(𝑗)
Здесь через 𝜃0 и 𝜙0 обозначены естественные координаты директора на
соответствующих границах (т.е. углы, задающие направление директора на
7
границах в отсутствие внешнего поля). Отметим, что такое выражение используется для более общего случая мягких граничных условий. Для расчё(𝑗)
тов, связанных с жёсткими гран. условиями, используется переход 𝑊𝜃,𝜙 → ∞.
Третье слагаемое ℱ𝑓 – это вклад внешнего электрического поля (см. [8])
ℱ𝑓 = −
𝑆⊥ 1 2
· 𝑈 · 𝐿
∫︀
2 4𝜋
1
ℰ(𝜃) =
,
ℰ(𝜃) 𝑑𝑧
1
𝜀⊥ + 𝜀𝑎 cos2 (𝜃)
0
Наконец, последнее слагаемое ℱ𝑓 𝑙 – это вклад флексоэлектрической поляризации. Из [10] известно, что выражение для поляризации имеет вид:
ф
P
(3)
= 𝑒1 n div n + 𝑒3 [rot n × n]
Здесь 𝑒1 и 𝑒3 – это флексоэлектрические коэффициенты. Зная (3), можно
записать вклад флексоэлектрической поляризации в свободную энергию:
ℱ𝑓 𝑙 = −(Pф ,
E)
Переходя к переменным 𝜃(𝑧) и 𝜙(𝑧) и принимая во внимание сонаправленность поля оси 𝑧 , получаем:
ℱ = 𝑆⊥
𝑒1 + 𝑒3
2
∫︁𝐿
∫︀𝐿
𝐷3 ℰ(𝜃)𝜃′ sin 2𝜃 𝑑𝑧 = 𝑆⊥
𝑒1 + 𝑒3
·𝑈 ·
2
0
ℰ(𝜃)𝜃′ sin (2𝜃) 𝑑𝑧
0
∫︀𝐿
(4)
ℰ(𝜃) 𝑑𝑧
0
Рассмотрим интеграл в числителе (4):
∫︁𝐿
ℰ(𝜃)𝜃′ sin (2𝜃) 𝑑𝑧 =
0
1
ln
𝜀𝑎
(︃
(︀
)︀ )︃
𝜀⊥ + 𝜀𝑎 cos 𝜃(0)
(︀
)︀
𝜀⊥ + 𝜀𝑎 cos 𝜃(𝐿)
Введём обозначения, которые упростят работу с вкладами поля ℱ𝑓 и
флексоэлектричества ℱ𝑓 𝑙 :
8
∫︁𝐿
ℰ(𝜃) 𝑑𝑧
𝐽2 [𝜃] =
0
−1
𝑘𝑓 =
4𝜋
𝑘𝑓 𝑙 = (𝑒1 + 𝑒3 )
1
ln
𝜀𝑎
(︃
(︀
)︀ )︃
𝜀⊥ + 𝜀𝑎 cos 𝜃(0)
(︀
)︀
𝜀⊥ + 𝜀𝑎 cos 𝜃(𝐿)
Упрощение состоит в том, что теперь сумму вкладов ℱ𝑓 и ℱ𝑓 𝑙 можно
записать в виде
)︁ 1
𝑆⊥ (︁
2
ℱ𝑓 + ℱ𝑓 𝑙 =
𝑘𝑓 𝑈 + 𝑘𝑓 𝑙 𝑈
2
𝐽2 [𝜃]
Отметим, что коэффициент 𝑘𝑓 𝑙 зависит от значений 𝜃 на границах (этот
факт будет использован при нахождении первой вариации ℱ𝑡𝑜𝑡 ).
Наконец, собирая воедино все слагаемые из (1), получим следующую
формулу для ℱ𝑡𝑜𝑡
ℱ𝑡𝑜𝑡
𝑆⊥
𝑆⊥
=
𝐿𝐾22 𝑞02 +
2
2
∫︁𝐿 [︁
′ 2
′ 2
𝒜(𝜃)(𝜃 ) + ℬ(𝜃)(𝜙 ) − 𝒞(𝜃)𝜙
′
]︁
𝑑𝑧 + ℱ𝑠𝑓 +
0
)︁ 1
𝑆⊥ (︁
2
𝑘𝑓 𝑈 + 𝑘𝑓 𝑙 𝑈
(5)
+
2
𝐽2 [𝜃]
3
Уравнения Эйлера-Лагранжа
Займёмся далее нахождением уравнений Эйлера-Лагранжа и граничных условий к ним. Для этого сосчитаем первую вариацию свободной энергии:
𝛿ℱ𝑡𝑜𝑡
𝑆⊥
=
2
∫︁𝑙2
[𝒜′ 𝜃′2 𝛿𝜃 + 2𝐴𝜃′ (𝛿𝜃)′ + ℬ ′ 𝜙′2 + 2ℬ𝜙′ (𝛿𝜙)′ − 2𝒞 ′ 𝜙′ 𝛿𝜃 − 2𝒞(𝛿𝜙)′ ] 𝑑𝑧+
𝑙1
)︁ 1
𝑆⊥ (︁
2
+ 𝛿ℱ𝑠𝑓 −
𝑘𝑓 𝑈 + 𝑘𝑓 𝑙 𝑈
2
𝐽22
∫︁𝐿
0
ℰ ′ 𝛿𝜃 𝑑𝑧 (6)
9
После интегрирования по частям получим требуемый вид первой вариации свободной энергии. Необходимое условие минимума ℱ𝑡𝑜𝑡 на некоторой
𝜃(𝑧) – равенство нулю выражений при 𝛿𝜃 и 𝛿𝜙. Приведём полученные уравнения Эйлера-Лагранжа:
𝒜′ 𝜃′2 + 2𝒜𝜃′′ = ℬ ′ 𝜙′2 − 2𝒞 ′ 𝜙′ + (𝑘𝑓 𝑈 2 + 𝑘𝑓 𝑙 𝑈 )ℰ ′
1
𝐽22
(7)
)︀
𝑑 (︀ ′
ℬ𝜙 − 𝒞 = 0
(8)
𝑑𝑧
Граничные условия можно получить из условия обращения в ноль коэффициентов при 𝛿𝜃 и 𝛿𝜙 в подстановках 𝑧 = 𝑙𝑗 , где 𝑗 = 1, 2 и 𝑙1 = 0, 𝑙2 = 𝐿
[︂
]︂⃒
⃒
1
𝜕𝑤
𝑗
+ 𝑈 (𝑒1 + 𝑒3 )ℰ(𝜃) sin (𝜃) ⃒⃒
=0
2(−1)𝑗 𝒜𝜃′ +
𝜕𝜃
𝐽2
𝑧=𝑙𝑗
[︂
]︂⃒
𝜕𝑤
𝑗 ⃒⃒
2(−1)𝑗 (ℬ𝜙′ − 𝒞) +
=0
𝜕𝜙 ⃒𝑧=𝑙𝑗
4
(9)
(10)
Сокращение количества переменных в функционале свободной энергии
Зададимся целью получить ℱ𝑡𝑜𝑡 как функционал только от 𝜃(𝑧). Для этого
проинтегрируем уравнение (8) и выразим из полученного выражения 𝜙′ :
𝜙′ =
𝐶1 + 𝒞(𝜃)
ℬ(𝜃)
(11)
Здесь 𝐶1 – произвольная константа. Подставляя 𝜙′ в выражение для объёмной упругой энергии (2), получим
𝐹𝑒 =
𝑆⊥
𝑆⊥
𝐿𝐾22 𝑞02 +
2
2
∫︁𝐿 [︃
𝒜(𝜃)(𝜃′ )2 +
𝐶12
2
]︃
− 𝒞 (𝜃)
𝑑𝑧
ℬ(𝜃)
(12)
0
Интегрируя выражение (11) от 0 до 𝐿, получим:
𝜙𝑡𝑜𝑡 = 𝐶1 𝐼1 + 𝐼2 ,
где введены следующие обозначения:
(13)
10
𝜙𝑡𝑜𝑡 = 𝜙(𝐿) − 𝜙(0)
∫︀𝐿 𝑑𝑧
𝐼1 =
ℬ(𝜃)
0
𝐼2
=
∫︀𝐿 𝒞(𝜃)
0
ℬ(𝜃)
𝑑𝑧
Совмещая граничное условие (10) и выражение (11), получаем:
2𝐶1
(0)
+ 𝜙𝑡𝑜𝑡 − 𝜙𝑡𝑜𝑡 = 0
ℎ
𝑊𝜙
(14)
(1,2)
Здесь через 𝑊𝜙ℎ обозначено среднее гармоническое чисел 𝑊𝜙
(1)
𝑊𝜙ℎ
=
, то есть
(2)
2𝑊𝜙 𝑊𝜙
(1)
(2)
𝑊𝜙 + 𝑊𝜙
Наконец, подставляя 𝜙𝑡𝑜𝑡 из (14) в (13) и выражая из полученного равенства 𝐶1 , находим
(0)
𝜙 − 𝐼2
𝐶1 = 𝑡𝑜𝑡 2
𝐼1 + 𝑊 ℎ
(15)
𝜙
Замещая данным выражением 𝐶1 в (12), находим ℱ𝑒 как функционал
лишь от 𝜃(𝑧):
(︁
)︁2
)︃
(0)
∫︁𝐿 (︃
𝒞 2 (𝜃)
𝑆⊥ 𝜙𝑡𝑜𝑡 − 𝐼2
𝑆⊥
𝑆⊥
2
′ 2
ℱ𝑒 [𝜃] =
𝐿𝐾22 𝑞0 +
𝒜(𝜃)(𝜃 ) −
𝑑𝑧 +
2
2
ℬ(𝜃)
2 𝐼1 + 2/𝑊𝜙ℎ
(16)
0
Именно такое выражение позволит упростить в дальнейшем численные
расчёты.
5
Влияние флексоэлектрической поляризации
на пороговое поле перехода Фредерикса
Исходя из полученных аналитических результатов, исследовалось влияние
флексоэлектричества на равновесную конфигурацию ХЖК во внешнем электрическом поле. В таблице 1 указаны основные значения параметров2 :
2 это
следует понимать следующим образом: данный параметр имеет соответствующее значение, если
в разделе не сказано обратное
11
𝑆⊥ , 𝑐𝑚2
1
𝜀‖
16.2
𝜀𝑎 = 𝜀‖ − 𝜀⊥
9
𝜀⊥
7.2
𝐾11 , 𝑑𝑦𝑛 𝐾22 , 𝑑𝑦𝑛 𝐾33 , 𝑑𝑦𝑛
4.2 · 10−7 2.2 · 10−7 5.3 · 10−7
(1)
(2)
𝜃0 , 𝑟𝑎𝑑
𝜋/2
𝜃0 , 𝑟𝑎𝑑
𝜋/2
(1)
𝑒𝑟𝑔
𝑊𝜃 , 𝑐𝑚
2
−3
2.5 · 10
𝑒3 ,
𝑐𝑔𝑠𝑢𝑛.
𝑐𝑚
3
0
(2)
𝑒𝑟𝑔
𝑊𝜃 , 𝑐𝑚
2
−3
0.5 · 10
𝑞0 , 𝑟𝑎𝑑
𝑚
500
𝐿, 𝑚
6 · 10−3
(1)
(2)
𝜙0 = −𝑞20 𝐿 , 𝑟𝑎𝑑 𝜙0 = 𝑞02𝐿 , 𝑟𝑎𝑑
−1.5
1.5
(1)
𝑒𝑟𝑔
𝑊𝜙 , 𝑐𝑚
2
−4
2.5 · 10
(2)
𝑒𝑟𝑔
𝑊𝜙 , 𝑐𝑚
2
−4
10
Таблица 1: Основные значения параметров ХЖК-системы
5.1
Жёсткие симметричные граничные условия
Такие граничные условия соответствуют равенству 𝜃(0) ≡ 𝜃(𝐿) ≡ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, что
означает, что коэффициент
(︂
)︂
𝜀⊥ + 𝜀𝑎 cos (𝜃(0))
1
≡0
𝑘𝑓 𝑙 = (𝑒1 + 𝑒3 ) ln
𝜀𝑎
𝜀⊥ + 𝜀𝑎 cos (𝜃(𝐿))
Это означает, что в ХЖК-системах в жёстких симметричных граничных
условиях флексоэлектричество не проявляется.
5.2
Мягкие симметричные граничные условия
При рассмотрении системы в таких условиях вопрос ставится следующим
образом: «Может ли флексоэлектрический эффект проявиться в системе с
симметричными, но мягкими граничными условиями?».
Симметрию в данном случае следует понимать так:
⎧
(1)
(2)
⎪
⎪
𝑊
= 𝑊𝜃 = 𝑊𝜃
⎪
⎨ 𝜃
(1)
(2)
𝑊𝜙
= 𝑊𝜙 = 𝑊𝜙
⎪
⎪
⎪
(2)
⎩𝜃(1)
= 𝜃0 = 𝜃0
0
В нашем случае численный эксперимент представляет собой прямую минимизацию функционала свободной энергии путём изменения параметров,
задающих 𝜃(𝑧).
𝑒𝑟𝑔
Рассматривалась ситуация с 𝜃0 = 𝜋/2, 𝑊𝜃 = 0.5 · 10−3 𝑐𝑚
2 , 𝑊𝜙 = 2.5 ·
𝑒𝑟𝑔
10−4 𝑐𝑚
2.
3 Здесь
и далее без ограничения общности полагаем 𝑒3 = 0, оставляя варьироваться только 𝑒1
12
Рис. 5: Проявление флексоэлектричества в ХЖК с мягкими симметричными
граничными условиями
Представление 𝜃(𝑧) – сумма отрезка ряда синусов с нулями на концах
промежутка и линейной функции, заданной своими значениями в точках 𝑧 =
0 и 𝑧 = 𝐿:
(︂
)︂
𝑀
∑︁
𝜋
𝛿2 − 𝛿1
𝜋𝑘𝑧
𝜃(𝑧) = + 𝛿1 +
𝑧+
sin
2
𝐿
𝐿
(17)
𝑘=1
«Приложенное к обкладкам напряжение» было выбрано в размере 𝑈 =
1.2 𝑉 , что больше порогового поля для данной конфигурации. Результат представлен на Рис. 5
Из данных результатов следует, что флексоэлектрический эффект способен проявляться в системах с симметричными граничными условиями, но
только с мягкими.
Появление несимметрии 𝜃(𝑧) явным образом связано с линейностью ℱ𝑓 𝑙
по полю 𝑈 .
5.3
Мягкие несиметричные граничные условия
В заключительном эксперименте рассмотрим более общий случай (несимметричные мягкие гран. условия) в ячейке ХЖК с параметрами, приведёнными
в Таблице 1.
Вновь используем для 𝜃(𝑧) представление (17).
13
Существенное отличие от предыдущего эксперимента состоит в том, что
здесь наша задача, – перебирая различные значения коэффициента 𝑒1 в определённом интервале, определить для каждого пороговое поле перехода Фредерикса 𝑈𝑐 .
Заметим, что ℱ𝑓 𝑙 ∼ 𝑈 , а значит, знак данного вклада зависит от направления поля. В свою очередь, это означает, что случаи 𝑈 > 0 и 𝑈 < 0 следует
рассматривать отдельно.
Результаты численного эксперимента представлены в виде графиков зависимости 𝑈𝑐 (lg 𝑒1 ) на рисунках 6 и 7.
Рис. 6: Зависимость 𝑈𝑐 (lg (𝑒1 )) при 𝑈 > 0
14
Рис. 7: Зависимость 𝑈𝑐 (lg (𝑒1 )) при 𝑈 < 0
Все напряжения определены с точностью до ±5 · 10−4 𝑉 .
Из графиков видно, что в обоих при уменьшении 𝑒1 критическое поле выходит (асимптотически) на значение |𝑈𝑐 | ≃ 0.985 𝑉 , которое является пороговым для данной ячейки ХЖК в отсутствие флексоэлектричества (данный
результат совпадает с полученным в [8])
В случае 𝑈 < 0 (Рис. 7) с ростом 𝑒1 наблюдается уменьшение по модулю
порогового напряжения 𝑈𝑐 , причём при 𝑒1 = 3 · 10−3 𝑠𝑡𝑎𝑡𝐶
𝑚 получить устойчивую структуру не удаётся.
В дальнейшем планируется аналитически исследовать природу обнаруженного явления и оценить «критическое» значение 𝑒1 , выше которого устойчивая структура, возможно, не образуется. Возможно, это связано с определённым дефектом нашей модели: при 𝜃 = 0 угол 𝜙 корректно не определён,
всвязи с чем интеграл 𝐼2 , входящий в выражение (16), являющееся базовым
для машинных расчётов, становится расходящимся. Аналитически это приводит к обращению в ноль слагаемого, в знаменатель которого входит 𝐼2 , однако
вычисления в ЭВМ устроены так, что сначала необходимо вычислить значение 𝐼2 и лишь затем подставить его в формулу. Из-за этого в вычислениях
происходит сбой, результаты которого бывают малопредсказуемы, поэтому в
рамках данной модели рекомендуется отдельно обрабатывать распределения
𝜃(𝑧), в которых у функции 𝜃(𝑧) существует хотя бы один нуль.
Заключение
15
В данной работе получены следующие результаты:
1 Получено выражение для вклада флексоэлектрической поляризации в
свободную энергию ХЖК;
2 Доказано отсутствие проявлений флексоэлектричества в ХЖК с жёсткими симметричными граничными условиями;
3 С помощью численного эксперимента подтверждена возможность проявления флексоэлектричества в ХЖК с мягкими симметричными граничными условиями;
4 Проведено первичное исследование4 зависимости порогового поля 𝑈𝑐 от
значения флексоэлектрических коэффициентов (𝑒1 + 𝑒3 ). В ходе данного эксперимента было обнаружено аномальное поведение системы при
значениях 𝑒1 , превышающих некоторый порог.
4 Под
первичным исследованием здесь понимается простейший численный эксперимент, направленный
на численную оценку обозначенной зависимости
16
Список литературы
1. Wu S.-T., Yang D.-K.,
Fundamentals of Liquid Crystal Devices
(Chichester:
John Wiley & Sons, 2006)
2. Пикин С.А.
Структурные превращения в жидких кристаллах
(М.: На-
ука, 1981)
3. de Gennes P.-G., Prost J.,
The physics of Liquid Crystals
, (Oxford: Claredon
Press, 1993)
4. Stewart I. W., The Static and Dynamic Continuum Theory of Liquid Crystals:
A Mathematical Introduction
, (London: Taylor & Francis, 2004)
5. Brown C. V., Mottram N. J.,
Phys. Rev. E
68
6. Smith A. A. T., Brown C. V., Mottram J. N.
7. Makarov D. V., Zakhlevnykh A. N.,
031702 (2003)
Phys. Rev. E
Phys. Rev. E
8. Val’kov A. Yu., Aksenova E. V., Romanov V. P.,
81
75
041704 (2007)
051710 (2010)
Phys. Rev. E
87
022508
(2013)
9. Harden J., Mbanga B., Éber N., Fodor-Csorba K., Sprunt S., Gleeson J. T.,
Jákli A.
Phys. Rev. Letters
10. де Жен П.
97
157802 (2006)
Физика жидких кристаллов
(М.: Мир, 1977)