Задачи на делимость. Олимпиадные задания по математике. 9 класс. 1. Доказать, что из любых 5 целых чисел можно найти 3, сумма которых делится на 3. 2. Доказать, что если р- простое число и р>3, то число р 2 1 делится на 24. 3. Если х 2 у 2 делится на 3 и х, у целые, то х и у делятся на 3. 4. Доказать, что сумма квадратов трёх целых чисел не может при делении на 8 дать в остатке 7. 5. Найти все такие натуральные числа, которые увеличиваются в 9 раз, если между цифрой единиц и цифрой десятков вставить нуль. 6. Найти наибольший общий делитель чисел 2п+3 и п+7. 7. Некоторое двузначное число кратно 3. Если между его цифрами вставить нуль и к полученному трёхзначному числу прибавить удвоенную цифру его сотен, то получится число в 9 раз большее первоначального. Найти исходное двузначное число. 8. Сумма цифр трёхзначного числа равна 7. Доказать, что число делится на 7 тогда и только тогда, когда равны его цифры десятков и единиц. 9. Может ли квадратное уравнение ах 2 вх с 0 с целыми коэффициентами иметь дискриминант, равный 23 ? 10. Числа р и 2р+1 простые и р>3. Доказать, что число 4р+1 составное. 11. В школе 953 ученика. Одни из них знакомы, другие не знакомы друг с другом. Доказать, что хотя бы у одного из них число знакомых среди учеников этой школы чётно. 12. Доказать, что общее наименьшее кратное чисел 1, 2, 3,…,2п равно общему наименьшему кратному чисел п+1, п+2,…,2п. 13. Доказать, что если s-число всех делителей натурального числа п, то произведение всех делителей равно п s . 14. Сократите дробь 123456788...87654321 , если цифра 8 в числителе 1234567899...987654321 встречается 2000 раз, а цифра 9 в знаменателе -1999 раз (в результате надо получить несократимую дробь). 15. Все обыкновенные правильные несократимые дроби, числители которых- двузначные числа, упорядочили по возрастанию. Между какими двумя последовательными дробями расположено число 5 ? 8 16. Найти обыкновенную дробь с наименьшим положительным знаменателем, лежащую между дробями 96 97 и . 36 35