Дискретная математика и математическая логика, задачи для

Дискретная математика и математическая логика, задачи для семинаров (Лисица А. Ю.)
Листок 2. Счетные и несчетные множества. Мощность континуума.
Забегая немного вперед (в нашем курсе пока не дано определение понятия отображения, но мы беззастенчиво пользуемся тем, что в том или ином виде оно известно слушателю, например, из курса алгебры
или анализа), дадим точное определение последовательности и конечной последовательности элементов
данного множества:
Определение 4. Если задано некоторое множество X, то бесконечной последовательностью (чаще говорят просто: последовательностью) элементов этого множества называется произвольное отображение a : N → X. Вместо a(k) чаще пишут ak и этот элемент множества X называют k-ым ("катым")
элементом последовательности (здесь везде, разумеется, k ∈ N). Конечной последовательностью элементов множества X называется отображение a : {1, 2, 3 . . . n} → X, где n ∈ N – произвольное натуральное
число. Иногда, особенно когда хотят подчеркнуть, что данная конечная последовательность имеет именно
n членов, ее называют, несколько жаргонно, n-кой ("энкой", им. п.: "энка").
1. Доказать, что множества всех "одинок", "двоек" и "троек" элементов счетного множества счетно.
Доказать, что то же верно и для множества всех "n-к". Вывести отсюда, что множество всех конечных
последовательностей элементов счетного множества счетно.
2. Доказать, что множество всех многочленов с целыми (или рациональными) кэффициентами счетно.
3. Доказать, что множество алгебраических чисел счетно. (Вещественное или комплексное число называется алгебраическим, если оно является корнем многочлена с целыми – или, что равносильно (кстати:
а почему?) с рациональными, – коэффициентами). Примечание: Результат этой задачи, соединенный с
результатами нижеследующих задач 7 и 14, доказывает замечательную Теорему: Существуют трансцендентные числа. (Число называется трансцендентным, если оно не является алгебраическим.)
4. Доказать, что любое бесконечное множество содержит счетное подмножество.
5. Доказать, что объединение бесконечного множества X и счетного (или конечного) множества Y
равномощно X.
6. Доказать, что декартово произведение X × Y счетных множеств X и Y счетно. (Декартовым произведением двух множеств называется множество "двоек", первый элемент которых берется из первого
множества, а второй – из второго. Однако будьте осторожны: только что мы дали очень неточное определение – скорее, это описание того, с чем мы хотим иметь дело. Точное определение появится вместе с
определением отображения, а вернее – предваряя его.) Сравните эту задачу с 15-й предыдущего листка.
7. Доказать, что множество I01 – множество всех последовательностей, состоящих из нулей и единиц
(или, точнее и в соответствии с определением 4, множество всех бесконечных последовательностей элементов множества {0, 1}) – не является счетным. (Указание: Рассуждая от противного, попробуйте записать
все последовательности в бесконечную таблицу, после чего пройдитесь по ее "диагонали", выписывая в
отдельную последовательность числа, противоположные элементам этой диагонали.)
Определение 5. Про множества, равномощные множеству I01 , говорят, что они имеют мощность
континуума (или континуальны).
8. Доказать по определению (т. е. построив взаимно однозначное соответствие), что множество I0123
(множество всех бесконечных последовательностей, состоящих из чисел 0, 1, 2 и 3) континуально.
9. Доказать, что множество множество I012 также континуально. (Примечание: и здесь можно действовать по определению, т. е. построить напрямую нужное взаимно однозначное соответствие, и это, к
слову, чрезвычайно полезное упражнение. Но быстрее и эффективнее поступить иначе. – Как именно?)
10. Доказать, что множество I01 равномощно множеству P (N) всех подмножеств множества натуральных чисел (другими словами, доказать что множество всех подмножеств множества натуральных чисел
имеет мощность континуума).
11. Доказать, что множество I01 равномощно I01 × I01 .
Определение 6. Канторовым множеством называется подмножество отрезка [0; 1], получаемое
следующим образом: на первом шаге из отрезка "выкидывается" средняя треть, т. е. интервал (1/3; 2/3)
(это очень важно, что выкидывается именно интервал, а не полуинтервал или отрезок!), на втором шаге
в каждом из оставшихся отрезков выкидывается по средней трети, т. е. также по соответствующему
интервалу, и т. д. Все, что останется (другими словами, бесконечное пересечение конечных объединений
отрезков, получаемых на каждом шаге), и есть канторово множество.
12. Записать единой формулой указанное только что "бесконечное пересечение конечных объединений
отрезков". Также подсчитать общую длину "выкидываемых" при построении канторова множества из
отрезка интервалов.
13. Доказать, что канторово множество имеет мощность континуума (результат, учитывая ответ предыдущей задачи, весьма неожиданный).
14. Доказать, что и весь отрезок [0, 1] также имеет мощность континуума. Вывести отсюда, что множество вещественных чисел R тоже континуально.
15. Доказать, что квадрат равномощен отрезку.
16. Доказать, что прямая равномощна плоскости. Верно ли, что прямая равномощна всему пространству (R3 )? Что можно сказать в этой связи про Rn ?
17. Какова мощность множества всех прямых плоскости?