Использование уравнения Шредингера в вязкой среде Е.Г. Якубовский

1
Использование уравнения Шредингера в вязкой среде
Е.Г. Якубовский
Пользуясь аналогией между уравнением Шредингера и Навье Стокса,
мнимая величина i / m , где  - постоянная Планка, m масса частицы,
имеющая размерность кинематической вязкости, рассматривается как
мнимая
кинематическая
вязкость
вакуума
и
к
ней
добавляется
кинематическая вязкость среды, в которой находится тело. При этом
уравнение Шредингера описывает вероятности при наличии усредненной
кинематической вязкости системы. Полученное уравнение, может быть
использовано в нанотехнологиях, для описания процессов в твердом теле,
жидкости или газе.
Уравнение Шредингера решается для движения электронов вокруг ядра
в вакууме см. [1]. Предлагается решать его для движения центра тяжести
ядра атома в среде с учетом кинематической вязкости среды. При этом
решение уравнения Шредингера соответствует статистическим значениям
решения, что позволяет вводить такие статистические характеристики как
вязкость. Тогда, так как величина i / m в уравнении Шредингера играет роль
кинематической вязкости, добавка к ней величины l /  b , где 
кинематическая вязкость жидкости,  l плотность жидкости,  b плотность
тела, определяет уравнение
(  iml /  b ) 2

i(  iml /  b )

  U ,
t
2m
Подставляя временную зависимость   exp[ iEt /(  iml / b )] (1)
в уравнение Шредингера, получим уравнение
 
2m p
(  im pl /  b ) 2
( E  U 0 )  0 ,
где m p масса ядра, состоящего из нуклонов, и потенциал отличен от нуля на
2
интервале. Построение одномерной координаты описано в книге [2]. При
этом пространственные компоненты выражены в виде одной функции от
трех переменных. Эти функции для разных состояний вещества - твердом,
жидком и газообразном состоянии разные. Но они описываются одним
уравнением, зависящим от одной функции одинаковым образом. Т.е.
изменение симметрии при переходе из одного состояния в другое
описывается инвариантно, за счет изменения связи функции w( x1 , x2 , x3 ) с
трехмерным пространством. При этом существует размер молекулы тела, при
котором энергия молекулы определится одинаковой для всех одномерных
координат. Обозначим этот характерный масштаб через  . Тогда уравнение
Шредингера имеет вид
d 2
dw 2

2(U 0  En )m p
[m pl /  b  i]2
  0,
(2)
решение его приобретает вид
  exp[ En t /( m pl /  b  i)] cos[
an 
где
параметр
w
2(U 0  En )m p
m pl /  b  i
( w  2an )]
m pl /  b  i
,
2(U 0  En )m p
находится на отрезке 2kan  k  kw  k  2kan с
потенциальной энергией U 0 , где 
характеризует размер атома или
молекулы, величина a n характеризует кристаллическую решетку, среднее
расстояние между молекулами в жидкости или газе, если молекула находится
в n состоянии. При остальных значениях w , находящихся вне атома или
молекулы, имеем уравнение с нулевой потенциальной энергией
  exp[ E n t /( m pl /  b  i)] exp{
 2En m p
m pl /  b  i
| w  2kan |} ,
причем En отрицательно и определится из уравнений для равенства волновой
функции и ее производной в точке | w |  .
3
2(U 0  E n )m p
d
cos[
w]
dw
(m pl /  b  i )
cos[
2(U 0  E n )m p
(m pl /  b  i )
w]


| w 
k 0
 2En m p
d
exp[ 
| w  2a n |]
dw
(m pl /  b  i)


exp[ 
k 0
 2En m p
(m pl /  b  i )
| w ,(3)
| w  2a n |]
откуда получим уравнение инвариантное движению вдоль цепочки, которая
определяет сдвиг на одну ячейку в трехмерном пространстве. Вычисляя эти
выражения, получим
tan[
2(U 0  En )m p (m pl /  b  i)
(m pl /  b ) 2   2
] 
 En
,
U 0  En
(4)
т.е. энергия состояния от размера цепочки a n не зависит, а наоборот энергия
состояния определяет размер кристаллической цепочки по формуле
an 
m pl / b  i
2(U 0  En )m p
разная.
и для разных энергий состояния системы эта величина
Так как для одной энергии состояния возможно большое,
ограниченное количеством частиц, число реализаций состояний из-за
принципа Паули, этих значений имеется несколько.
При U 0  0 получаем
tan[
Откуда имеем  En 
 2 En m p (m pl / b  i )
(m pl / b ) 2   2
(m pl /  b  i) 2  2
16m p 2
 ]  1.
.
Полагаем  En /(U 0  En )   , получим уравнение
(  im pl /  b ) arctan 2 
En

  im pl /  b
2 m p 2
2
2
2
  1 [  (m pl /  b )  2im pl /  b ](  1) arctan 
U 0  En


2 m p 2
(5)
Величина NU 0 соответствует энергии осцилляторов минус энергия
давления, равная давлению, умноженному на сумму объемов атомов. Тогда
получим соотношение, определяющее энергию одного моля вещества
4
NU 0  [3

 p 4an3 / 3]N . Величина p это внешнее давление,
exp( / kT )  1
включающее напряжение нагрузки, приложенной к телу, величина a n это
постоянный размер решетки, или расстояние между атомами и молекулами,
равный an 
m pl / b  i
2(U 0  En )m p
, N это число Авогадро. При этом из второго
уравнения (5), приравнивая его энергии осцилляторов, определим размер
атома или молекулы. Энергию осцилляторов можно определить по
теплоемкости и температуре данного вещества.
При этом правые части уравнения (5) должны быть действительны,
для образования стационарного состояния. Откуда определится дискретный
набор комплексных значений  , и значит дискретный набор стационарных
состояний молекул вещества. Зная дискретный набор состояний тела, можно
определять его фазовое состояние, и количества тепла, выделившегося при
реакции перехода из одного состояния в другое. Для этого нужно вычислить
энергию состояния вступающих в реакцию веществ и образовавшихся
веществ. Использование данных идей позволило определить переход в
пластическое состояние и вычислить энергию фазового перехода из жидкого
состояния в газообразное состояние.
Литература
1. Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц Квантовая механика Нерелятивистская
теория М., «Наука», 1989г, 768с.
2. Е. Якубовский Квазилинейные уравнения в частных производных
LAP Lambert Academic Publishing, 2012г., 93с.