Математический аппарат (часть 4).

32
4. Уравнение Шредингера.
Вопрос 1.
Ответ:
Записать уравнение Шредингера для:
А). Одномерного движения изолированной частицы;
Б). Одномерного гармонического осциллятора.
В). Частицы с одной степенью свободы в однородном поле.
Г). Одномерного гармонического осциллятора в однородном поле.
∂ψ (x | t)
2 ∂ 2 ψ (x | t)
i
=−
+ u(x)ψ (x | t),
где
∂t
2m ∂x 2
mω2 x 2
mω2 x 2
А). u = 0
; Б). u =
В). u = −eεx
Г). u =
− eεx
2
2
Вопрос 2.
Ответ:
−
Записать стационарное уравнение Шредингера для систем А) – Г).
2
ψ′′E (x) + u(x)ψ E (x) = Eψ E (x)
2m
С указанными выражениями для u(x)
Вопрос 3. Записать уравнение Шредингера для частицы с одной степенью свободы в
однородном поле, гармонически меняющемся во времени с амплитудой ε0 и частотой ω .
Записать для этой системы стационарное уравнение Шредингера.
∂ψ (x | t)
2 ∂ 2 ψ (x | t)
Ответ: i
=−
− ε 0 cos ωt ⋅ ψ (x | t)
∂t
2m ∂x 2
Стационарное уравнение Шредингера не имеет смысла, так как ∂Ĥ ≠ 0
и
∂t
энергия не сохраняется.
Вопрос 4. Показать, что стационарное уравнение Шредингера для частицы с одной
степенью свободы в поле u(x) = Const ≡ u 0 сводится к одномерному стационарному
уравнению Шредингера для изолированной частицы.
2
Ответ. −
ψ′′E (x) = E′ψ E (x), E′=E − u 0
2m
Вопрос 5.
Записать уравнение Шредингера для
А) Трехмерного движения изолированной частицы.
Б). Трехмерного изотропного осциллятора.
В). Трехмерного движения частицы в однородном поле.
Г) Электрона в атоме водорода.
Д). Электрона в атоме водорода, помещенного в однородное электрическое
поле.
Ответ:
i
∂ψ ( r | t)
2 2
=−
∇ ψ ( r | t) + u( r )ψ ( r | t) , где
∂t
2m
mω2 2
А). u = 0
Б). u =
r
В).
2
e2
e2
Г).
u=−
Д).
u = − + e( ε r )
r
r
u = −e ( ε r )
33
Вопрос 6.
Ответ. −
Записать стационарное уравнение Шредингера для систем А) – Д).
2 2
∇ ψ E ( r ) + u( r )ψ E ( r ) = Eψ E ( r ) .
2m
Вопрос 7. Записать стационарное уравнение Шредингера для атома водорода,
учитывая конечность массы ядра.
 2 2 2 2 
−e 2
−
∇
−
∇
ψ
+
ψ E ( r , R) = Eψ E ( r , R)
Ответ:
(
r
,
R)

r
R  E
2µ
r −R
 2m

Вопрос 8.
тяжелым.
Записать уравнение Шредингера для атома гелия, считая ядро бесконечно

 ψ ( r1 , r2 | t)

Вопрос 9. Записать стационарное уравнение Шредингера для многоэлектронного
атома, считая ядро бесконечно тяжелым.
Ответ:
i
Ответ: −
 e2 e 2
∂ψ ( r1 , r2 | t)
2
e2
2
2
=−
∇
+
∇
ψ
(
r
,
r
|
t)
+
−
−
+
( 1 2 ) 1 2  r r r−r
∂t
2m
 1
2
1
2
2
z
2  z 2 
e 2 
 z − ze
(
r
,...,
r
)
∇
ψ
+
+

 ψ E ( r1 ,..., rz ) = Eψ E ( r1 , r2 ,..., rz )
∑
∑
∑
k
E 1
z
2m  k =1 
k < l rk − rl 
 k =1 rk

Вопрос 10.
Ответ
Чему равна плотность тока вероятности?
j=
Вопрос 11.
Ответ:
i
( ψ∇ψ∗ − ψ∗∇ψ )
2m
Чему равна плотность тока вероятности для одномерного движения?
i  dψ ∗
dψ 
j=
− ψ∗
ψ
.
2m  dx
dx 
Вопрос 12. Записать плотность тока вероятности для одномерного движения
частицы, обладающей определенным импульсом.
v
1
 p
=
, A=
.
i

px
2 p
2
 2πm 2π
2π
Ответ: ψ(x) = A ⋅ e ; j = A
= A v⇒
m
p

= v; A = 1

m
2
1
Вопрос 13. Волновая функция частицы есть ψ( r ) =
sin ky ⋅ e −αr
.
2π
Чему равна плотность тока вероятности?
Ответ:
Для любой вещественной волновой функции
j=0 .
Вопрос 14. Волновая функция частицы, рассеянной на силовом центре, имеет вдали
от него вид расходящейся сферической волны:
eikr
p
ψ( r ) = f ( θ, ϕ | k )
, k≡
.
r
34
Вычислить радиальный компонент плотности тока вероятности.
Ответ:
i  dψ∗
dψ  p f ( θ, ϕ | k )
jr =
− ψ∗
ψ
=
2m  dr
dr  m
r2
2
.