ЛЕКЦИЯ 3 Волновая функция частицы. Уравнение Шредингера

ЛЕКЦИЯ 3
ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ ЧАСТИЦЫ
УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
Рассмотрим простой пример движения частицы. Пусть ее состояние таково, что
координата частицы имеет определенное значение x. Это значит, что соответствующий
вектор |χx⟩ есть собственный для оператора координаты X$ :
X$ |χx⟩ = x|χx⟩.
Разложим по всем таким состояниям произвольный вектор |ψ⟩:
|ψ⟩ = ∫dx|χx⟩⟨χx|ψ⟩,
где учтено, что из физических соображений спектр координаты - чисто непрерывный.
Таким образом, вектор |ψ⟩ задается континуальным множеством чисел
⟨χx|ψ⟩ ≡ ψ(x),
т.е. фактически некоторой функцией ψ(x) от x. Она называется волновой функцией
частицы. Из нормированности вектора |ψ⟩ имеем:
1 = ⟨ψ|ψ⟩ = ∫dx′dx⟨ψ|χ x ′ ⟩⟨χ x ′ |χx⟩⟨χx|ψ⟩ =
= ∫dx′dx⟨ψ|χ x ′ ⟩ δ(x-x′)⟨χx|ψ⟩ = ∫dxψ*(x)ψ(x)dx = ∫dx|ψ(x)|2,
т.е. волновая функция нормируется условием
∫|ψ(x)|2 dx = 1.
Волновая функция ψ(x) -это координатная реализация вектора |ψ⟩ состояния ψ из
абстрактного гильбертова пространства квадратично интегрируемой функцией, т.е. вектором
из функционального пространства L2. Если векторы |ψ1⟩ и |ψ2⟩ нормируемы, то их скалярное
произведение теперь запишется как функциональное скалярное произведение:
⟨ψ1|ψ2⟩ = ∫dxψ*1 (x)ψ2 (x)
(доказательство такое же, как при получении условия нормировки).
Возьмем произвольный вектор |ψ⟩, подействуем на него оператором X$ и введем
обозначение
X$ |ψ⟩ ≡ | ψ~ ⟩.
~ имеем:
Для волновой функции состояния ψ
~ (x) = ⟨χx | ψ
~ ⟩ = ⟨χx| X$ |ψ⟩ ≡ (χx, X$ ψ) = ( X$ χx,ψ) =
ψ
= x (χx,ψ) = xψx.
Таким образом,
X$ ψ(x) = xψ(x) ⇔ X$ = x,
1
т.е. в координатной реализации оператор X$ есть просто оператор умножения на
независимую переменную x. Для среднего значения координаты в состоянии ψ имеем:
⟨x⟩ψ = ⟨ψ | X$ |ψ⟩ ≡ ⟨ψ1|ψ2⟩ = ∫ψ*1 (x)ψ2 (x)dx =
= ∫ψ* (x){xψ(x)}dx,
т.е.
⟨x⟩ψ = ∫dx⋅x|ψ(x)|2.
Это выявляет физический смысл волновой функции - квадрат ее модуля |ψ(x)|2 задает
плотность вероятности обнаружить частицу в точке с координатой x. Результат ясен и из
общей теории - из определения ψ(x) как ⟨χx|ψ⟩ и из вероятностной интерпретации ⟨χx|ψ⟩ (см.
РЕЗЮМЕ). Можно сказать также, что ψ(x) = ⟨χx|ψ⟩ есть амплитуда вероятности перехода
частицы из состояния ψ в состояние χx (см. постулат II).
Вообще говоря, волновая функция зависит не только от координаты, но и от времени.
В фиксированный момент времени t0 функция ψ(x,t0) однозначно определяет состояние ψ.
Очевидно из принципа причинности, что она должна определять и дальнейшую эволюцию
системы, т.е. состояние ψ в произвольный момент времени t, т.е. волновую функцию ψ(x,t).
Поэтому волновая функция должна подчиняться некоторому дифференциальному
уравнению первого порядка по времени, для однозначного отыскания решения которого как
раз и достаточно задать ψ(x,t0), (но не ее производные). Поэтому можно записать
∂ψ (x , t )
$ ψ (x , t ) .
i
=Ω
∂t
$ += Ω
$ - см. ниже), а Ω
$ Здесь множитель i выделен для удобства (чтобы было Ω
некоторый дифференциальный оператор, не включающий производных по времени. Он
должен быть линейным, чтобы соблюсти принцип суперпозиции.
$ . Имеем очевидное равенство
Докажем эрмитовость оператора Ω
d
2
dx ψ ( x, t ) = 0 ,
∫
dt
так как дифференцируется полная вероятность, т.е. 1. Вносим производную под знак
интеграла и дифференцируем:
∂ψ ∗
∂ψ
∫ dx ( ∂t ψ + ψ ∗ ∂t ) = 0 .
Подставляем производные
∂ψ
∂ψ ∗
и
из уравнения и сопряженного ему:
∂t
∂t
∗
∂ψ
$ ψ , ∂ψ = i ψ ∗ Ω
$ +.
= −i Ω
∂t
∂t
Получаем
$ +ψ - ψ * Ω
$ ψ),
0 = ∫ dx (ψ∗ Ω
т.е.
$ ψdx = ∫ Ω
$ +ψdx ⇔ (ψ, Ω
$ ψ) = (ψ, Ω
$ + ψ).
∫ ψ∗ Ω
2
$:
В силу произвольности ψ это и означает эрмитовость Ω
$ =Ω
$ +.
Ω
Рассмотрим систему, на которую не действуют нестационарные внешние силы. Это
$ не зависит от времени, и решение уравнения можно искать методом
значит, что оператор Ω
разделения переменных. Ищем частное решение в виде
ψ(x,t) = Θ(t)ψ(x)
и подставляем в уравнение
1 dΘ(t )
1 $
=
Ωψ (x ) = ω ,
Θ(t ) dt
ψ (x )
где ω - константа разделения переменных, не зависящая от x и t. Для Θ(t) сразу
получаем решение
Θ (t) = const.e-iωt.
$:
Значения же ω находятся как собственные значения оператора Ω
$ ψ(x) = ωψ(x).
Ω
Их может быть много, а значит, будет много и частных решений с разными ω. Считая
их спектр дискретным, запишем общее решение как
ψ(x,t) =
∑
e− i ω n t ψn (x)
n
(коэффициенты линейной комбинации включаем в ψn (x)).
Разложим функции ψn (x) в интеграл Фурье и подставим в ψ(x,t):
ψ(x,t) =
∑
~
~ (k).
∫dk e− i ω n t +ikx ψ
n
n
Вводя обозначения h
E ≡ ħω,
p ≡ ħ k,
получим:
ψ(x,t) =
∑
i
i
− En t + px
h
h
∫dp e
~ (p) ,
ψ
n
n
где
1~ p
~ (p) .
ψ( ) ≡ ψ
n
h
h
Смысл E-энергия, p - импульс (см. волны де Бройля в лекции 1).
Теперь мы хотим извлечь отсюда явный вид операторов энергии и импульса. Для
этого сделаем отступление. Пусть A$ - произвольный оператор, и |ϕn⟩ - его собственные
функции. Разложим по ним произвольный вектор |ψ⟩:
|ψ⟩ = ∑ cn|ϕn⟩
n
3
и подействуем на него оператором A$ :
A$ |ψ⟩ =
∑
cnAn|ϕn⟩ .
n
Характерный признак действия оператора на разложение: он «вышибает» из каждого
слагаемого соответствующее свое собственное значение. Берем теперь найденное
∂
разложение для ψ(x,t) и действуем на него оператором i h :
∂t
i
i
∂
− − En t + − px
~ (p)
h
i ⋅ h ψ(x,t) = ∑ ∫dpEn e h
ψ
n
∂t
n
Так как «вышиблись» значения энергии En, то оператор энергии есть
∂
E$ = i h .
∂t
Аналогично,
i
i
∂
− − En t + − px
~ (p) ,
h
− ih
ψ(x,t) = ∑ ∫dp⋅p e h
ψ
n
∂x
n
а потому оператором импульса является
∂
P$ = − i h
.
∂x
Возьмем теперь наше исходное уравнение и умножим его обе части на ħ:
∂ψ (x , t )
$ ψ(x,t).
=ħ Ω
ih
∂t
Слева стоит оператор энергии, а значит справа - оператор Гамильтона
$ = H$ .
ħΩ
В итоге приходим к основному динамическому уравнению квантовой механики - к
уравнению Шредингера
ih
∂ψ (x , t )
= H$ ψ(x,t).
∂t
Мы рассмотрели одномерный случай. В трехмерном случае ψ = ψ(r,t), где r=(x, y, z).
Общее решение уравнения Шредингера запишется как
ψ(r,t) =
∑
i
i
h
h
− − En t + − pr
∫dp e
~ (p) .
ψ
n
n
Операторы
∂
P$k = − i h
∂x k
есть операторы k-х компонентов импульса. Сам же оператор вектора импульса будет
таким:
r
P$ = − i h∇ .
Чтобы записать в явном виде уравнение Шредингера, надо знать явный вид оператора
Гамильтона H$ . Он строится по принципу соответствия. Один из его аспектов гласит:
4
Если в классической механике некоторая динамическая величина есть
функция каких-то других динамических величин, то при переходе к квантовой
механике функциональная зависимость между величинами сохраняется.
Пример применения этого правила для написания оператора Гамильтона будет
рассмотрен чуть ниже, а сейчас подведем некоторые итоги.
РЕЗЮМЕ
В квантовой механике волновая функция зависит от (обобщенных) координат q и
времени t: ψ = ψ (q, t), и ее эволюция определяется уравнением Шредингера
∂ψ(q, t )
ih
= H$ ψ (q, t ) ,
∂t
где H$ - оператор Гамильтона. Это - реализация принципа причинности. Если
внешние поля не зависят явно от времени, то частные решения имеют вид
ψ (q, t) = Θ(t)⋅ψ (q),
причем функции ψ и Θ подчиняются уравнениям
dΘ E (t )
H$ ψE (q) = E ψE (q), iħ
= EΘ E (t).
dt
Первое из них есть уравнение на собственные значения оператора Гамильтона и
называется стационарным уравнением Шредингера. Оно определяет энергетический
спектр {Е} системы и собственные функции ψE(q), т.е. функции состояний, в которых
энергия имеет определенные значения E. Если найдены значения E, то можем решать
второе уравнение:
i
− − En t
ΘE (t) = e
h
.
В результате получим набор состояний с волновыми функциями
i
− − En t
ψE(q, t) = e
h
ψE (q) ,
в которых энергия имеет определенные значения. Такие состояния называются
стационарными. Они обобщают понятие боровских стационарных орбит. В стационарном
состоянии плотность вероятности
ρ (q, t) = | ψE (q, t) |2 = | ψE (q) |2 ,
т.е. она не зависит от времени. Не зависят от времени и средние значения
физических величин.
Рассмотрим теперь пример. Пусть частица движется во внешнем поле. В
классической механике ее функция гамильтона есть
p2
H=
+ V (r , t ) .
2µ
В квантовой механике получим оператор Гамильтона
h2 2
pˆ 2
$
H =
+ V (r, t ) = −
∇ +V(r,t).
2µ
2µ
Уравнение Шредингера будет записываться как
h2 2
∂ψ (r , t )
ih
= {−
∇ + V (r , t ) }ψ(r,t).
∂t
2µ
Стационарное уравнение Шредингера имеет вид:
5
h2 2
H$ ψE (r) = Е ψE (r) ⇒ { −
∇ +V(r) } ψE (r) = Е ψE (r)
2µ
(здесь уже считается, что V не зависит от времени, иначе разделение переменных
не возможно).
Запишем уравнение, сопряженное уравнению Шредингера (УШ):
− ih
∂ψ ∗ (r , t )
h2 2
= {−
∇ +V(r)}ψ* (r,t).
2µ
∂t
Умножая УШ слева на ψ∗, а сопряженное УШ - слева на ψ и производя вычитание,
получим:
2
∂ψ
∂ψ 
h2
 ∗ ∂ψ
i h ψ
+ψ
= −
( ψ ∗ ∇2ψ - ψ ∇2ψ ∗ ) ≡
 ≡ ih


∂t
∂t
2µ
∂t
2 r
r
r
h
≡
∇ ( ψ ∗ ∇ψ − ψ ∇ψ ∗ ) .
2µ
Величина
ρ (r,t) = |ψ(r,t) |2
есть плотность вероятности. Введем вектор
r
r
h
j(r,t) =
(ψ∗ ∇ψ − ψ ∇ψ ∗ ) ,
2µi
чтобы записать в компактной форме полученное соотношение:
∂ρ
+ div j = 0.
∂t
Это есть уравнение непрерывности. Оно выражает закон сохранения вероятности.
Поскольку ρ - плотность вероятности, то j следует интерпретировать как плотность
потока вероятности.
В стационарном случае, когда V = V(r) волновые функции стационарных
состояний имеют вид
i
− − En t
ψ(r,t) = e
h
ψE (r),
где ψE подчиняется уже выписанному стационарному уравнению Шредингера. Для
плотности вероятности и плотности потока вероятности получаем не зависящие от
времени величины:
r
r
h
ρ = | ψE (r)|2, j =
ψ E ∗ (r )∇ψ E (r ) − ψ E (r )∇ψ E ∗ (r ) .
2µi
{
}
6