УДК 517. 93:519.46 Низамханов Э. Абдимухаммадиев Г. (студент) Каршинский ГУ, Узбекистан

УДК 517. 93:519.46
О ГРУППЕ УРАВНЕНИИ ШРЕДИНГЕРА
ДЛЯ СИСТЕМЫ ИЗ ДВУХ ЧАСТИЦ
Низамханов Э. Абдимухаммадиев Г. (студент)
Каршинский ГУ, Узбекистан
[email protected]
Аннотация: В работе исследуются теоретико-групповые свойства нелинейных
уравнений типа Шредингера для системы из двух частиц порядка 2n .
Рассмотрим уравнение типа Шредингера для из двух частиц порядка
n

1 2
1 2 
 P0 
Px 
Py  U  F U   0
2m1
2 m2





P0  i , P0  i
, P0  i
, a  1,2,3
t
xa
y a
где


(1)
2
U  U t  x0 , x, y , P  P12  P22  P32 ,
m1 , m2 - произвольные ненулевые постоянные,
n - произвольное натуральное число.
В случае, когда F  0, n  1 уравнение (1) совпадает с обычным линейным
уравнением Шредингера.
Уравнение (1) при F  0 инвариантно относительно 30-параметрической
группы Шредингера, генераторы которой имеют вид:
P0  i





, PA  i
,

, Pa 3  i
, J A, B  x A PB  x B PA
t
x A xa 3 y a
y a
где A, B  1,6 ,
J a ,b  xa Pb  xb Pa ,
J a 3,b3  y a Pb3  yb Pa 3 ,
a, b  1,3
J a 3,b  m2 y a Pb3  m1 yb Pa 3 ,
где M  m1 , m2 , Ga  tPa  m1 x A , Ga3  tPa3  m2 ya ,
G  tPA  Mx A
(2)

D
(n)
 2tP0  x A PA  4  n i,
A
(n)
x2
 t tP0  x A PA  4  n i   M
,
2
где по повторяющимся индексам, как обычно, подразумевается суммирование.
ТЕОРЕМА: Уравнение (1) инвариантно относительно 30 – параметрической
2n
группы Шредингера, если F U   U U 4n , где  – комплексный параметр.
Доказательство проведём методом математической индукции.
I. n  1. В этом случае уравнение (1) имеет вид
n

1 2
1 2 
 P0 
Pa 
Pa 3  U  F U   0
(3)
2m1
2m2


Чтобы найти, при каких F U  уравнение (3) инвариантно относительно алгебры
Шредингера, применяем метод Ли [1]. Уравнение (3) запишем для действительной и
мнимой части:
где U 0k 




U  U 1  iU 2 , F U   F 1 U 1 , U 2  iF 2 U 1 , U 2 .
1
1
2
2


U112  U 222  U 332   F 2 U 1 ,U 2   0
U 01 
U 112  U 22
 U 33

2m1
2 m2
1
1
1
1
1
1
1
1




 U 02 
U 11
 U 22
 U 33

U 11
 U 22
 U 33
 F 2 U 1 , U 2   0
2m1
2m2
(4)
(5)
U k
 2U k
 2U k
k
.
, k  1, 2, U k 
,
U

aa
t
xa2
xa23
Допускаемый оператор будем искать в виде
X 


 
x
U k
(6)
Для получения определяющих уравнений необходимо 2-е продолжение
оператора (6).
2
X 




 
  k
  kj
k
k
x
U
U 
U kj
(7)
где  k ,  kj вычисляются по известным формулам продолжения [1].
Запишем условиу инвариантности (4)-(5) относительно оператора Х:
2
 
X S1
2
S 0
 
X S2
  01 
1
S 0
2
2
1
1
F 2
2
2
2
2
2 F
 112   22
  33

 112   22
  33
 1


 0,
2m1
2m2
U 1
U 2

  01 



1
1
1
F 1
1
1
1
1
1
1
2 F
 11
  22
  33

 11
  22
  33
1


0
2m1
2m2
U 1
U 2


где


m1 1
1
1


U 11  U 22
 U 33
 2m1 F 1 ,
m2
m
2
2
2
 U 33
 1 U112  U 22
 U 33
 2m1 F 2 .
m2
1
1
1
S 1  0  U 11
 2m1U 02  U 22
 U 33

2
S 2  0  U 112  2m1U 01  U 22


После несложных, но довольно громоздких преобразований, находим систему
определяющих уравнений:
U  0,  A0  0,  00   AA ,  ba   ab  0, a  b.
k

a 3
b 3
1
  ab33  0, m1  ba3  m2 ab3  0, m1  0a   aU
2  0,
2
m1  0a   aU
m2  0a 3   a13,U 2  0,
2  0,
(8)
m2  0a 3   a13,U 1  0,
2
U1  U2  0,  1AU  0,  AU
 0, U1  U2 ,  01U  0,  02U  0.
2
 01 
2
2
2
1
2
2
1
1 2
1 2
F
F
 aa 
 a 3,a 3  F 2 U2 2  211  F 1U2 1   1
 2
 0,
1
2m1
2m1
U
U 2


2
2
1
1
1 1
1 1
1
2
1
2 1
1 F
2 F
 
 aa 
 a 3,a 3  F U 1  21  F U 2  

0
2m1
2m1
U 1
U 2
1
0


(9)
Используя формулы (2) в случае n  1, из (9) для определения функции F
получаем следующую систему уравнений:
2
F 2
1 F

U
 0,
U 1
U 2
2
F 2
2 F
5 F 1  3U 1

3
U
 0,
U 1
U 2
1
F 1
1 F
F 2 U 2

U
 0,
U 1
U 2
1
F 1
2 F
5 F 1  3U 1

3
U
0
U 1
U 2
F1 U 2
Решая эту систему, находим

F  U U
1
1
  U   ,
1 2
1
2 2 3

F  U U
2
2
  U  
1
2 2 3
1 2
(10)
2
èëè F U   U U 3 ,
где  - комплексное число.
II. Предположим, что (1) выполняется при n   1, т.е.
F U   U U
2  1
4 1
.
2
Докажем, что уравнение (1) выполняется при n   , F U   U U 4 остаётся
инвариантным относительно алгебры Шредингера. И этом случае (2) имеет вид
P0  i


, PA  i
,
t
x A
D ( )  2tP0  x A PA  3i    1i,
J A, B  x A PB  x B PA , G A  tPA  Mx A ,
A( )  t tP0  x A PA  3i    1i   m1
и на F U  получаем следующую систему уравнений:

2
a

2
a 3
x
x
 m1
2
2
2
F 2
1 F

U
 0,
U 1
U 2
2
2
2
1 F
2 F
4   F  4   U
 4   U
 0,
U 1
U 2
1
F 1
1 F
F 2 U 2

U
 0,
U 1
U 2
1
1
1
1 F
2 F
4   F  4   U
 4   U
 0.
U 1
U 2
F1 U 2
2
Из этой системы находим, что F U   U U 4 . Теорема доказана.
Список литературы
1. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. – М.:
Наука, 1978.
2. Фущич В.И. Симметрия в уравнениях математических физики. – В кн.:
Теоретико-алгебраические исследования в математической физике. – Киев: Ин-т
математики, 1981. – С. 6 – 23.