Использование различных измерительных инструментов и

Алгоритм метода измерений погрешности действующей высоты
слоя зондирования ионосферы
Искам А.Я. - нс ИИТПМ
Использование различных измерительных инструментов и
методов измерения известны всем, но мало кто задумывался какова
точность того или иного инструмента измерения? Метода
измерения? И стоит ли заниматься вопросами точности измерения?
Наверняка, так как именно точность определяет степень доверия к
результату измерения. В локационных методах измерения, а
зондирование ионосферы относится к ним, для измерение высоты
слоя используют различные методы, каждый из которых имеет свою
степень доверия, свою погрешность. Часто, как это показано Л.С.
Тереховым результаты практических измерений в зависимости от
методов измерений различны и вызвано это прежде всего
погрешностью метода. Я не буду подробно останавливаться на
самом методе определения погрешности измерения действующей
высоты предложенном Л.С. Тереховым но скажу о присущих ему
недостатках и проблемах, которые необходимо было решить.
Первое, несмотря на простоту выражения, это ограничение
разложения функции представления высоты первыми двумя
членами ряда Тейлора, приводит к тому, что в области точек
перегиба (перехода от одного слоя к другому) первая производная
стремиться к 0, устремляя шаг измерения по частоте к большим
величинам, не позволяющим точно промерить переход между
слоями. Предложенный Л.С. Тереховым выход за счет увеличения
числа учитываемых членов разложения, верный по существу,
приводит к росту степени ряда и увеличению числа корней в части
случаев при точном традиционном решении приводит к появлению
многозначности определения шага измерения, отсутствию
наглядности представления результата. Осмелюсь предложить на
ваш суд следующий способ решения:
H
редставим функцию высоты в виде
ряда Тейлора:
dh
h(f) = h(f0)*(f-f0) + h’(f0)*(f-f0) +1/2*h’’(f0)*(f-f0)
1
2
введем df = f - f0 и перенесем
1
2
h(f) - h(f0) = dh = h’(f0)*(f-f0) +1/2*h’’(f0)*(f-f0)
Из (Терехов) известно, что оба члена входят в
величину погрешности измерения высоты с одинаков
весовыми коэффициентами. С учетом введенной
f
f +df
0
f
0
замены полная величина погрешности измерения
высоты слоя имеет вид:
С
2
+ h’ (f) * df + 1/2 * h’’ (f) df
dh(f) =
4 Pi Рс/Рш df
определим скорость нарастания величины погрешности в
зависимости от полосы df:
- С
dh(f)
=
2
+ h’ (f) + h’’(f )*df
0
4 Pi Рс/Рш df
d(df)
и прировняем к 0 для минимизации.
-
С
2
+ h’ (f) + h’’(f )*df = 0
0
4 Pi Рс/Рш df
или
С
2
3
+ h’ (f) * df + h’’(f )*df = 0 или
0
4 Pi Рс/Рш
-
С
h’ (f)
2
3
+
* df +df = 0
4 Pi Рс/Рш h’’(f ) h’’(f )
0
(1)
0
Решением кубического уравнения может быть три
действительных корня, но это нас не интересует, так как
порождается многозначность.
Вариант, когда один действительный корень, два других комплексносопряженных, приемлем в качестве решения. Найдем
его, для чего положим, что корни имеют следующий вид:
a = x + i*y: b = a = x - i*y; z = действительному корню
(df - z) * (df - a) * (df - b) = 0
2
(df - z*df - a*df + az) * (df - b) = 0
3
2
2
2
df -z*df -a*df + az*df - b*df + zb*df + ab*df - abz = 0
составим систему, приравняв коэффициенты при одинаковых
степенях df, получим :
h’ (f)
-(z + a + b)
=
h’’(f )
ab + (a + b)z=
0
0
С
abz
=
4 Pi Рс/Рш h’’(f )
0
Из теории комплексных чисел известно, что
2
2
ab
= (x +iy)*(x - i*y) = x - y
a+b =( x + iy + x - iy) = 2*x
с учетом чего система примет вид:
h’ (f)
-(z +2*х)
=
2 2
h’’(f )
x - y + 2*x*z
=
0
0
2
С
2
(x - y )*z
=
4 Pi Рс/Рш h’’(f )
0
из 3-го уравнения находим z
С
z
=
2
2
(2)
4 Pi Рс/Рш h’’(f ) (x - y )
0
где из 2-го уравнения выражаем 2*х
2
2
2
2 2
- (x - y) 4 Pi Рс/Рш h’’(f )
2*x = - (x - y)/z =
С
и подставим все в первое уравнение.
0
2
2 2
(x - y) 4 Pi Рс/Рш h’’(f )
С
0
2
С
2
4 Pi Рс/Рш h’’(f ) (x - y )
0
h’ (f)
=
(3)
h’’(f )
0
откуда любым из известных методов (деления пополам, хорд ...)
находим численно значение
2
2
x - y и используем для нахождения корня z подстановкой в
(2) . z и есть dfопт.оптимальный шаг после каждого измерения сетки
частот, в узлах которой проводятся измерения с минимальной
погрешностью dh.
Имеем:
С
dfопт
=
2
2
4 Pi Рс/Рш h’’(f ) (x - y )
0
(4)
С
С
+ h’ (f)
2
2
4 Pi Рс/Рш h’’(f ) (x - y )
dhопт(f) =
0
4 Pi Рс/Рш dfопт
С
2
+ 1/2 * h’’(f )*
2
0
2
4 Pi Рс/Рш h’’(f ) (x - y )
0
Полученная пара взаимосвязанных уравнений (4) определяет
алгоритм проведения измерительного эксперимента, при этом сетка
изменения шага зондирования dfопт.