Обработка результатов эксперимента. (DOC, 464Кб)

1
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ФИЗИЧЕСКОГО ЭКСПЕРИМЕНТА
1. ЗАЧЕМ НУЖНО ОЦЕНИВАТЬ ПОГРЕШНОСТИ ЭКСПЕРИМЕНТА?
Измеряя какую-то физическую величину, мы никогда не сможем найти её точное
значение. Поэтому необходимо оценить, насколько полученный результат близок к истине, иными словами, указать возможную ошибку измерения.
Оценивать ошибки необходимо потому, что, не зная их, нельзя воспользоваться
результатами эксперимента. Допустим, мы хотим выяснить, зависит ли сопротивление
проводника от температуры. Измеренное сопротивление оказалось равным:
24,52 Ом при 10 С,
24,59 Ом при 20 С.
Какие выводы можно сделать по результатам экспериментов? Зависит ли сопротивление от температуры? На этот вопрос нельзя ответить, не зная погрешности эксперимента. Если ошибка составляет 0,02 Ом, то разница между найденными величинами
значима, и мы можем утверждать, что с ростом температуры сопротивление проводника растет. Если ошибка равна 0,09 Ом, то разница в сопротивлениях незначима, или,
как принято говорить, полученные значения совпадают в пределах экспериментальной
погрешности. Следовательно, в этом случае эксперимент не дал ответа на поставленный вопрос. Необходимо планировать и проводить измерения так, чтобы их точность
соответствовала поставленной цели.
Таким образом, оценка ошибки измерения очень важна для экспериментатора.
2. ИЗМЕРЕНИЯ И ИХ ПОГРЕШНОСТИ
Измерения подразделяются на прямые и косвенные.
Прямые измерения производятся с помощью приборов, которые непосредственно
определяют исследуемую величину. Так, длину можно измерить линейкой, время – секундомером, массу – с помощью весов.
К косвенно определяемым относятся физические величины, которые недоступны
прямому измерению, но могут быть выражены с помощью формул через другие, непосредственно измеряемые величины. Например, нахождение объема тела по его линейным размерам, нахождение плотности тела по измеренной массе и объему, расчет сопротивления по показаниям вольтметра и амперметра и т.п.
Качество измерений определяется их точностью. Точность характеризуется погрешностью (ошибкой). Термины «погрешность» и «ошибка» применительно к измерениям имеют один и тот же смысл, и мы будем использовать оба.
Абсолютная погрешность измерения х – это разность между результатом измерения хизм и истинным значением хист искомой величины:
x  xизм  xист .
(2.1)
Абсолютная погрешность выражается в единицах измеряемой величины. Например, абсолютная погрешность измерения длины выражается в метрах, силы тока – в
амперах. Так как результат измерения может отличаться от истины как в большую, так
и в меньшую сторону,  х может быть как положительной, так и отрицательной величиной.
Относительная погрешность измерения  – это отношение абсолютной погрешности к истинному значению измеряемой величины хист:
x

(2.2)
xист
Качество измерений, как правило, определяется именно относительной, а не абсолютной погрешностью. Одна и та же абсолютная погрешность в 1 мм при измерении
2
длины комнаты ( 5 м) не играет роли, при измерении размеров листа бумаги ( 200 мм)
может быть существенна, а при определении диаметра болта ( 5 мм) совершенно недопустима. Относительная ошибка измерений (которую часто выражают в процентах) в
первом случае составляет  0,02 %, во втором –  0,5 %, а в третьем случае –  20 %.
Выражения (2.1), (2.2) содержат истинное значение измеряемой величины хист. Но
если истинное значение известно, то незачем производить измерения. Цель измерений
состоит в том, чтобы узнать неизвестное заранее значение физической величины и найти
если не истинное ее значение, то хотя бы значение, достаточно мало от него отличающееся. Что касается погрешностей, то, строго говоря, они не вычисляются, а оцениваются.
При оценках (которые редко удается провести с точностью лучше 2030%) учитываются
методика эксперимента, условия его проведения, качество приборов и ряд других факторов.
Так как точное значение и знак ошибки измерения всегда остаются неизвестными,
результат измерений записывают в виде интервала:
х = хизм  х
(2.3)
Такая запись означает, что с некоторой вероятностью истинное значение измеряемой величины попадает в интервал (хизм  х, хизм + х). Вопрос о том, как найти
наилучшее значение хизм и ширину интервала х (которую также называют ошибкой измерения), подробно изучается в математической статистике. В данном пособии соответствующие правила обработки результатов измерений будут приведены без вывода.
По характеру проявления погрешности делятся на систематические и случайные.
Систематические погрешности сохраняют свою величину и знак на протяжении
всей серии измерений. Они могут быть связаны с дефектами приборов (неточная шкала, неравномерно растягивающаяся пружина, неравномерный шаг микрометрического
винта, неравные плечи весов) и с самой постановкой опыта. Сущность систематических
ошибок, обусловленных методом измерений, можно пояснить на примере определения
электрического сопротивления по показаниям амперметра и вольтметра, при котором
возникает систематическая ошибка, вызванная сопротивлением соединительных проводов и внутренним сопротивлением приборов в измерительной схеме.
Опасность систематических ошибок в том, что их бывает трудно обнаружить. Избежать их можно, тщательно продумав методику измерения. Наилучший способ избежать систематической ошибки – измерить неизвестную величину несколькими принципиально разными способами. Если систематические погрешности выявлены и рассчитаны, они могут быть устранены путем внесения поправок в результаты измерений.
Случайные погрешности меняют величину и знак от опыта к опыту. Их легко обнаружить, проводя повторные измерения. Наблюдается разброс значений, полученных
при одних и тех же условиях опыта. Чаще всего неизвестно, чем вызван этот разброс,
так как он обусловлен многими неконтролируемыми факторами.
Случайные погрешности могут быть связаны, например, с трением, из-за которого
стрелка прибора вместо того чтобы останавливаться в правильном положении, «застревает» где-то вблизи него; с люфтом в механических приспособлениях; с вибрацией, которую в городских условиях трудно исключить; с несовершенством объекта измерений
(например, при измерении диаметра проволоки, которая имеет не вполне круглое сечение) или с особенностями самой измеряемой величины. Примером в последнем случае
может быть число космических частиц, регистрируемых счетчиком за 1 минуту.
Величину случайных ошибок можно уменьшить путем многократного повторения
измерений.
3
3. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
ПРИ НАЛИЧИИ СЛУЧАЙНЫХ ПОГРЕШНОСТЕЙ
Если в эксперименте присутствуют случайные ошибки, то повторные измерения в
одних и тех же условиях дают разные результаты. В этом случае необходимо провести
серию из n измерений (n  5  10).
Пусть в результате серии измерений величины х получено n значений: х1 , х2 ,
…xi,…, хn .
В качестве наилучшего значения измеряемой величины принимают среднее
арифметическое  х  всех полученных результатов:
x  x2      xn 1 n
 x  1
  xi .
(3.1)
n
n i 1
Для оценки точности измерений используют так называемую среднюю квадратичную ошибку среднего  (её также называют стандартной ошибкой):
n
( x1   x ) 2  ( x2   x ) 2    ( xn   x ) 2
1
 xi   x 2 , (3.2)


n(n  1)
n(n  1) i 1
Расчет стандартной ошибки  по этой формуле строго обосновывается в математической статистике, мы же просто отметим, что она соответствует общим представлениям
о случайных погрешностях. Очевидно, что ошибка среднего будет тем больше, чем
больше разброс результатов измерений в серии (чем больше значения  хi   х  ). Кроме
того, отклонение  х  от хист должно уменьшаться с ростом числа измерений n. Легко
убедиться, что , рассчитанная по формуле (3.2), удовлетворяет этим положениям. Числитель подкоренного выражения в этой формуле растет пропорционально числу измерений n, а знаменатель пропорционален n2. Таким образом, стандартная ошибка с увеличением числа измерений уменьшается как ( 1 ).

n
Чтобы указать, насколько точно значение  х  определяет измеряемую величину,
используют так называемый доверительный интервал (рис. 3.1).
Доверительный интервал – это числовой интервал, в который с определенной вероятностью попадает истинное значение измеряемой величины.
Доверительная вероятность (коэффициент надежности)  – это вероятность, с
которой истинное значение попадает в доверительный интервал.
За середину доверительного интервала принимается среднее значение, рассчитанное по формуле (3.1).
Рис. 3.1.
Ширина доверительного интервала пропорциональна стандартной ошибке :
x  t  ,n   .
Коэффициент пропорциональности t,n называется коэффициентом Стьюдента.
Он зависит от доверительной вероятности  и от числа опытов п. Очевидно, что чем
выше доверительная вероятность , тем шире должен быть доверительный интервал, и
тем больше должна быть величина коэффициента Стьюдента t,n,. С увеличением количества опытов оценки становятся надежнее, поэтому при той же вероятности  коэффициент Стьюдента будет уменьшаться. Значения коэффициентов Стьюдента для некоторых доверительных вероятностей и различных n приведены в табл. 3.1.
4
Таблица 3.1
n

0,70
2
3
4
5
6
7
8
9
10
15
20
30
60
120
2,0
1,3
1,3
1,2
1,2
1,1
1,1
1,1
1,1
1,1
1,1
1,1
1,0
1,0
0,80
0,90
0,95
0,99
3,1
6,3
12,7
63,7
1,9
2,9
4,3
9,9
1,6
2,4
3,2
5,8
1,5
2,1
2,8
4,6
1,5
2,0
2,6
4,0
1,4
1,9
2,4
3,7
1,4
1,9
2,4
3,5
1,4
1,9
2,3
3,4
1,4
1,8
2,3
3,3
1,3
1,8
2,1
3,0
1,3
1,8
2,1
2,9
1,3
1,8
2,0
2,8
1,3
1,8
2,0
2,7
1,3
1,8
2,0
2,6
Окончательный результат измерения представляют доверительным интервалом с
указанием значения доверительной вероятности 
(3.4)
x  x  х при  = ....
Ширину доверительного интервала х также называют погрешностью или ошибкой измерения.
Следует отметить, что доверительная вероятность никак не связана с результатами измерений. Величину  задают заранее, исходя из требований к надежности или
безопасности. На практике чаще всего используют  = 0,7 и  = 0,95. Это вызвано тем,
что, как видно из таблицы 3.1, при достаточно большом числе измерений n коэффициенты Стьюдента для этих вероятностей близки к 1 и 2 соответственно. Так как не имеет
смысла оценивать погрешности с точностью выше 20%, для  = 0,7 можно считать
х =  , а для  = 0,95  х = 2 .
Так как стандартная ошибка  уменьшается с ростом n, может показаться, что,
увеличивая число измерений, можно получить очень точные результаты. Но, с увеличением числа измерений уменьшается случайная погрешность опытов, а систематические
ошибки, связанные с несовершенством приборов, не меняются. Число опытов следует
выбирать разумно, не завышая его неоправданно.
4. ОЦЕНКА СИСТЕМАТИЧЕСКИХ ПОГРЕШНОСТЕЙ
Систематические ошибки чаще всего связаны с приборными погрешностями. В
зависимости от вида измерительного устройства абсолютная приборная погрешность
определяется одним из ниже перечисленных способов.
1. Погрешность указана непосредственно на приборе. Так, на микрометре есть
надпись «0,01 мм». Если с помощью этого прибора измеряется, например, диаметр шарика D, то погрешность его измерения D = 0,01 мм.
2. На электроизмерительном приборе указан класс точности. Класс точности К
представляет собой отношение абсолютной погрешности к пределу измерения шкалы
хmах, выраженное в процентах:
х
К
100 % ,
(4.1)
x max
где предел измерения хmах – максимальное значение величины, которое может быть измерено с помощью данной шкалы прибора.
Класс точности прибора указывается на шкале без символа %. Существует восемь
классов точности электроизмерительных приборов: 0,05; 0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 4.
Согласно формуле (4.1) абсолютная приборная погрешность
К  xmax
.
x 
100
5
Так, миллиамперметр класса точности 1,5
(рис. 4.1) с пределом измерения 5 мА имеет погрешность I = 1,55/100 = 0,075 мА.
Класс точности стрелочных электроизмерительных приборов определяет максимальную
абсолютную погрешность, величина которой не
меняется вдоль всей шкалы. Относительная же
погрешность при этом существенно меняется,
поэтому приборы обеспечивают более высокую
точность при отклонении стрелки почти на всю
Рис. 4.1
шкалу. Отсюда следует рекомендация: выбирать
прибор или шкалу многопредельного прибора так, чтобы стрелка прибора при измерениях находилась во второй половине шкалы.
3. Систематические погрешности цифровых электроизмерительных приборов
оцениваются по формулам, приводимым в инструкциях по эксплуатации.
Если приходится использовать прибор, инструкция к которому утеряна и информация о точности отсутствует, то абсолютную приборную погрешность можно оценить
по величине наименьшего деления шкалы:
x
x  max ,
N
где хmax – предел измерения шкалы прибора, N – общее количество делений шкалы.
Так, при измерении промежутка времени t секундомером с ценой деления 0,2 с погрешность t = 0,2 с.
Если при обработке результатов задают доверительную вероятность  = 0,95 то
ширина доверительного интервала принимается равной приборной погрешности, а при
 = 0,7  половине приборной погрешности.
5. ПОЛНАЯ ОШИБКА. ЗАПИСЬ РЕЗУЛЬТАТА ИЗМЕРЕНИЙ
В реальных опытах присутствуют как систематические, так и случайные ошибки.
Пусть они характеризуются погрешностями  xсист и  xслуч, найденными с одной и той
же доверительной вероятностью. Полная абсолютная погрешность (ошибка)  находится квадратичным сложением погрешностей
2
2
.
  (x) сист
 ( x) случ
(5.1)
Выражение (5.1) показывает, что при наличии случайной и систематической погрешностей полная ошибка опыта больше, чем каждая их них в отдельности.
Если одна из погрешностей более чем в три раза превышает другую (например,
( x)случ > 3( x)сист), то полная ошибка  принимается равной этой большей величине
(в приведенном примере  = ( x)случ).
Поскольку результат измерений представляется в виде интервала значений, величину которого определяет полная абсолютная погрешность, большое значение имеет
правильное округление результата и погрешности.
Округление начинают с погрешности. Погрешность измеряемой величины не
имеет смысла определять с точностью выше чем 20-30 %. Поэтому расчет погрешностей следует выполнять с точностью до двух значащих цифр, не более, причем две значащие цифры оставляют если первая из них равна 1, а в других случаях ограничиваются одной. После этого  x  округляется до того же десятичного разряда, которым
оканчивается округленное значение абсолютной погрешности.
Значащими называют цифры числа, кроме нулей, стоящих в начале числа.
Например, в числе 0,00807 имеется три значащих цифры: 8, ноль между цифрами 8 и 7,
и 7; первые три нуля незначащие. В числе 8,12·103 три значащих цифры: 8, 1 и 2.
Записи 15,2 и 15,200 различны. Запись 15,200 означает, что сотые и тысячные доли равны нулю, а в записи 15,2 – сотые и тысячные доли неизвестны.
6
Результаты физических экспериментов записывают только значащими цифрами.
Нули, стоящие в начале или конце числа, как правило, не записывают. Например, числа
0,00435 и 234000 записывают так: 4,35·10-3 и 2,34·105. Подобная запись упрощает вычисления.
Запись окончательного результата измерений должна включать в себя следующие
обязательные элементы.
1. Доверительный интервал с указанием значения доверительной вероятности 
x  x  х при  = ....
2. Значение полной относительной погрешности.
x

.
x
6. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
Во многих физических экспериментах искомая величина и не измеряется непосредственно каким-либо прибором, а определяется косвенным образом на основании
функциональной связи искомой величины с другими величинами x, y, z,…, непосредственно измеряемыми приборами:
u  f ( x, y, z, ...) .
(6.1)
Абсолютная погрешность косвенного измерения  и зависит от погрешностей
прямых измерений  x,  y,  z,…(найденных с одной и той же доверительной вероятностью) и от вида функции (6.1). Величину  и можно оценить по формуле:
2
 f 
 f 
 f 
(6.2)
 u     (x) 2     (y ) 2     (z ) 2  ... ,
 x 
 z 
 y 
f
где обозначение
– частная производная функции f по x, т.е. производная, при
x
нахождении которой со всеми остальными аргументами (y, z,…) обращаются как с постоянными. Значения производных в формуле (6.2) берутся при измеренных (средних)
значениях x, y, z,….
На практике зависимость (6.1) чаще всего имеет вид степенной функции
u( x , y , z , ...)  C  x k  y l  z m  ... ,
где С – постоянный коэффициент; показатели степеней k, l, m, … – вещественные числа. В этом случае абсолютная погрешность и оценивается по формуле
2
 u  u 
2
k   x 2  m   y 2  n   z 2  ... ,
(6.3)
y
x
z
, y 
, z 
– относиx
z
y
тельные приборные погрешности прямых измерений величин x, y, z.
При расчетах по (6.3) необходимо помнить следующее:
1. Измеряемые величины и их абсолютные погрешности (например, х и  х)
должны быть выражены в одних и тех же единицах.
2. Расчеты не требуют высокой точности вычислений и должны иметь оценочный
характер. Если одна из этих величин (например, | kx | ) по модулю превышает
наибольшую из остальных ( | my | , | nz | ,…) более чем в три раза, то можно, не прибегая к вычислениям по формуле (6.3), принять абсолютную ошибку равной
u  u  k x . Если же одна из них более чем в три раза меньше наименьшей из
где  u  – среднее значение величины и;  x 
остальных, то при расчете ею можно пренебречь.