Вопросы к экзамену по алгебре (2 семестр) 1. Основные понятия

Вопросы к экзамену по алгебре (2 семестр)
1. Основные понятия теории множеств. Операции над множествами, свойства
операций.
2. Отображения множеств: инъективные, сюръективные и биективные.
Равномощность множеств. Прообраз при отображении. Обратное отображние,
теорема о существовании обратного отображения.
3. Отношение. Отношение эквивалентности. Классы эквивалентности, теорема о
классах эквивалентности, фактор-множество.
4. Понятие делимости целых чисел. НОД и НОК. Взаимно простые числа. Связь
между НОД и НОК. Представление НОД в виде линейной комбинации чисел.
5. Алгоритм Евклида.
6. Простые и составные числа. Решето Эратосфена. Основная теорема арифметики.
7. Функция Эйлера.
8. Сравнимость чисел по модулю. Основные свойства сравнений. Полная система
вычетов.
9. Теорема о количестве решений сравнения первой степени.
10. Теоремы Эйлера и Ферма.
11. Элементы комбинаторики: перестановки, размещения, сочетания.
12. Группы, порядок группы, порядок элемента группы. Теорема об однозначной
разрешимости уравнений вида ax = b и yc = d в группе. Примеры групп.
13. Подстановки. Четные, нечетные подстановки. Количество подстановок степени n.
Теорема о количестве четных и нечетных подстановок. Теорема о представлении
любой транспозиции в виде нечетного числа транспозиций соседних элементов.
14. Симметрическая группа Sn. Знакопеременная группа An.
15. Подгруппы, критерий подгруппы. Примеры подгрупп.
16. Группа, порожденная элементами a, b, …, циклическая группа.
17. Смежные классы. Условие равенства смежных классов. Теорема о смежных
классах. Индекс подгруппы.
18. Теорема о порядке подгруппы конечной группы. Следствия.
19. Нормальные (инвариантные) подгруппы, фактор-группы.
20. Гомоморфизм, изоморфизм групп. Основная теорема о гомоморфизмах.
21. Основные понятия теории колец. Делители нуля. Целостные кольца. Примеры.
22. Поле. Строение аддитивной и мультипликативной групп поля. Теорема о конечных
целостных кольцах.
23. Кольцо классов вычетов по простому и составному модулю. Числа, взаимно
обратные по модулю.
24. Кольцо многочленов над кольцом с единицей. Оперции над многочленами. Связь
свойств R и R[x].
25. Понятие делимости (слева/справа) в кольце R, условие делимости. Делимость
многочленов (слева/справа) с остатком. Условие однозначной делимости с
остатком в кольце многочленов.
26. Значение многочлена в точке. Корень многочлена. Теорема Безу.
27. Теорема о существовании единственного многочлена степени, меньшей n,
принимающего заранее определенные значения в n различных точках. Следствие.
28. Ассоциированность элементов коммутативного кольца. Обратимость многочленов
над полем. Унитарный многочлен.
29. Понятия НОД, НОК многочленов. Взаимно простые многочлены.
30. Собственный делитель. Неприводимые многочлены над полем. Аналог основной
теоремы арифметики для кольца многочленов над полем. Каноническое
разложение многочлена.
31. Теорема о количестве неприводимых многочленов над полем. Следствие.