«Утверждаю» Председатель Ученого совета, декан математико-механического факультета СПбГУ

«Утверждаю»
Председатель Ученого совета, декан
математико-механического факультета СПбГУ
профессор Леонов Г.А. ________________
« 10» мая 2012 г.
Программа вступительного экзамена
по специальности научных работников
13.00.02
«Теория и методика обучения (по областям и уровням образования)»
«Математика и информатика»
Утверждена на заседании Ученого совета математико-механического
факультета СПбГУ, протокол № 5 от 10.05.2012 г.
Санкт-Петербург
2012
Специализация «Методика преподавания»
Раздел 1. Математика
1.1. Основные понятия «наивной» теории множеств и математической
логики. Счетные и несчетные множества. Мощности, теорема
Кантора-Бернштейна. Упорядоченные множества, порядковые типы.
Бинарные отношения. Исчисление высказываний.
1.2. Числа: натуральные, целые, рациональные, вещественные,
комплексные - аксиоматические определения, конструкции.
Различные формы аксиомы непрерывности (полноты) множества
вещественных чисел. Существование супремума ограниченного
множества. Несчетность отрезка.
1.3. Пределы числовых последовательностей. Существование предела
монотонной ограниченной последовательности; число e. Принцип
выбора Больцано-Вейерштрасса. Фундаментальные (сходящиеся в
себе) последовательности. Суммы числовых рядов. Признаки
сравнения и перестановка членов положительных рядов. Понятие
условной сходимости. Признак Лейбница. Пределы и непрерывность
функций. Теоремы Вейерштрасса, Больцано-Коши и Кантора.
1.4. Замечательные пределы; производные элементарных функций.
Основные теоремы дифференциального исчисления и его применения.
Неопределенный интеграл и его свойства. Определенный интеграл.
Теорема Барроу, формула Ньютона-Лейбница. Длина кривой.
Вычисление площади подграфика функции и объема тела вращения.
Принцип Кавальери. Дифференциальный критерий выпуклости функции.
Формула Тейлора. Радиус сходимости степенного ряда. Степенные
ряды элементарных функций. Формула Эйлера. Дифференцируемость
функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана.
Интегральная формула Коши.
1.5. Дифференцируемость гладких отображений. Стационарные
точки функции нескольких переменных. Понятие меры. Мера и
интеграл Лебега. Теорема Фубини и вычисление объемов.
1.6. Алгебраические действия, их основные свойства. Понятие
алгебраической структуры: группы, кольца, поля, векторные
пространства, алгебры. Группы: теорема Лагранжа об индексе,
гомоморфизмы, факторгруппы. Теорема о гомоморфизме. Циклические
группы. Кольцо целых чисел. Делимость. Теорема о делении с
остатком. Алгоритм Евклида. Простые числа. Сравнения, кольца
классов вычетов. Построение поля комплексных чисел.
Геометрический смысл операций над комплексными числами. Формула
Муавра. Корни из единицы.
1.7. Кольцо многочленов от одной переменной над полем.
Теорема о делении с остатком. Корни. Неприводимые многочлены.
Поле дробно-рациональных функций. Многочлены с целыми
коэффициентами. Многочлены нескольких переменных; симметрические
многочлены. Квадратичные формы.
1.8. Векторные пространства. Базис, размерность. Линейные
отображения и их матрицы. Определители. Системы линейных
уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Линейные операторы.
Собственные числа и собственные вектора. Инвариантные
подпространства; жорданова форма матрицы. Геометрия евклидовых и
унитарных пространств. Операторы в пространствах со скалярным
произведением.
1.9. Основные понятия аналитической геометрии: системы
координат; формулы перехода; задание множеств уравнениями и
неравенствами. Векторная алгебра евклидова пространства:
определение вектора; операции над векторами и их свойства;
базисы, координатное представление операций над векторами.
Уравнения прямых и плоскостей. Взаимное расположение прямых и
плоскостей. Кривые и поверхности второго порядка.
1.10. Движения плоскости и пространства. Движения в плоскости
Лобачевского. Группа симметрий множества.
1.11. Дифференциальная геометрия кривых: геометрические и
параметризованные кривые; касательная прямая и соприкасающаяся
плоскость; кривизна и кручение; натуральные уравнения и их
интегрирование в плоском случае. Дифференциальная геометрия
поверхностей: касательная плоскость и касательный вектор;
внутренняя геометрия поверхности; главные кривизны и формула
Эйлера. Формулы Дарбу. Геодезические. Поверхности постоянной
гауссовой кривизны.
1.12. Основные понятия выпуклой геометрии: два определения
выпуклой оболочки множества и их равносильность; теоремы
отделимости и существование опорной плоскости; структура
выпуклых многогранных множеств. Платоновы тела.
1.13. Топологические пространства и метрические пространства.
Связные и компактные подмножества. Топология евклидова
пространства. Равносильность метрического и топологического
определений непрерывного отображения. Обобщения классических
теорем анализа о непрерывных функциях.
1.14. Различные аксиоматики евклидовой геометрии. Общее
понятие полноты, непротиворечивости системы аксиом и их
независимость; понятие модели. Модели геометрии Лобачевского.
1.15. Понятия площади и объема. Число  . Равновеликость и
равносоставленность. Третья проблема Гильберта. Инвариант Дена.
1.16. Математические модели явлений, приводящие к дифференциальным
уравнениям. Теорема существования и единственности (для уравнений
первого, n-го порядка и систем). Линейные уравнения и системы.
Зависимость решений от начальных данных и параметров. Устойчивость
по Ляпунову.
1.17. События, операции над событиями, вероятность. Статистическое
определение вероятности, аксиоматическое определение вероятности.
Вероятностное пространство. Понятие независимости событий.
Повторные испытания, схемы Бернулли, формула Бернулли. Определения
и примеры случайных величин и их распределений. Независимость
случайных величин. Математическое ожидание и дисперсия случайных
величин и их основные свойства. Неравенство Чебышева. Закон больших
чисел. Центральная предельная теорема.
1.18. Основные формулы комбинаторики. Числа сочетаний и формула
бинома. Понятие производящей функции. Формула Бине для чисел
Фибоначчи.
1.19. Выпуклые функции, классические неравенства и их
экстремальные свойства. Экстремальные задачи на графах. Примеры
постановки задач линейного программирования. Двойственность в
задачах линейного программирования.
Раздел 2. Методы, их обоснование и примеры использования
при решении математических задач
2.1. Понятие равносильности уравнений, неравенств и их систем.
Схемы логических рассуждений; доказательства методом
«от противного». Необходимые и достаточные условия.
2.2. Метод интервалов для решения неравенств.
2.3. Решение иррациональных уравнений и неравенств.
2.4. Решение уравнений и неравенств с параметрами.
2.5. Исследование функций и построение их графиков.
2.6. Приближенное вычисление значений функций и определенных
интегралов.
2.7. Метод математической индукции.
2.8. Методы комбинаторных рассуждений.
2.9. Задачи на построение. Метод геометрических мест точек.
2.10. Метод координат в геометрических задачах.
2.11. Вектора в геометрических задачах.
2.12. Геометрические преобразования в задачах.
2.13. Доказательство неравенств в алгебре и геометрии.
2.14. Остатки и сравнения по модулю целого числа.
2.15. Задачи на принцип Дирихле.
2.16. Четность и симметрии в играх и графах.
Раздел 3. Методика обучения математике
3.1. Общие дидактические принципы обучения. Формы организации
учебной деятельности учащихся.
3.2. Цели обучения математике в школе. Основные познавательные
компоненты школьного курса математики. Содержательные линии
школьного курса математики. Роль задач в процессе обучения.
Виды и методы контроля и оценки знаний, умений и навыков.
3.3. Особенности углубленного изучения математики. Методы
проблемного обучения. Эвристические методы решения задач.
Внеклассная работа со школьниками.
Рекомендуемая основная литература
А.Д.Александров, Н.Ю.Нецветаев. Геометрия. Наука, 1990.
Ю.Н.Бибиков. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений.
М., Наука. 1991.
С.А.Генкин, И.В.Итенберг, Д.В.Фомин. Ленинградские
математические кружки. Киров, 1994.
О.А.Иванов. Избранные главы элементарной математики. СПбГУ,
1995.
О.А.Иванов. Практикум по решению задач. Алгебро-аналитические
методы. СПбГУ, 1998.
А.П.Карп. Сборник задач для подготовки к выпускным экзаменам по
алгебре и началам анализа. "Игрек", 1996.
А.Н.Колмогоров, А.Г.Драгалин. Введение в математическую логику.
МГУ, 1982.
А.Н.Колмогоров, С.В.Фомин. Элементы теории функций и
функционального анализа. Наука, 1968.
Методика преподавания математики (сост.: Столяр А.А.,
Черкасов Р.С.). Просвещение, 1980.
Д.Пойа. Математика и правдоподобные рассуждения. Наука, 1975.
Программа по математике для средней школы.
А.А.Столяр. Педагогика математики. Минск, 1986.
Д.К.Фадеев. Лекции по алгебре. Наука, 1984.
И.Ф.Шарыгин. Факультативный курс по математике. Решение задач.
Просвещение, 1989.
И.Ф.Шарыгин, В.И.Голубев. Факультативный курс по математике.
Решение задач. Просвещение, 1991.
Г.Е.Шилов. Математический анализ. Наука.
Дополнительная литература
Ж.Адамар. Исследование психологии процесса изобретения в области
математики. Советское радио, 1970.
А.Д.Александров. Основания геометрии.
Ф.Клейн. Элементарная математика с точки зрения высшей.
У.У.Сойер. Прелюдия к математике. Просвещение, 1972.
ГФройденталь. Математика как педагогическая задача. Просвещение, 1982.